Multiplex網(wǎng)絡下基于鷹鴿博弈的公平演化研究

李曉龍

摘要：本文通過研究在Multiplex網(wǎng)絡下基于鷹鴿博弈的交互演化來研究網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)對人類社會公平演化的影響。研究發(fā)現(xiàn)，Multiplex網(wǎng)絡的最大超拉普拉斯特征值決定了系統(tǒng)達到公平狀態(tài)時自私度的臨界上限和下限。同時，在計算機生成的Multiplex網(wǎng)絡上進行了大量的數(shù)值實驗，證明了理論分析的正確性。

關(guān)鍵詞：Multiplex網(wǎng)絡;鷹鴿博弈;超拉普拉斯矩陣;公平演化

中圖分類號：TV663? ?文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1007-9416（2018）10-0000-00

復雜網(wǎng)絡遍布于人類社會和自然界中，扮演著重要的角色。隨著網(wǎng)絡科學的發(fā)展，研究者們逐漸認識到現(xiàn)實世界中不同的系統(tǒng)之間存在著一定的耦合關(guān)系，從而使得多層網(wǎng)絡逐漸引起研究者們的廣泛關(guān)注[1]。演化博弈理論是將經(jīng)典博弈理論與自然選擇理論結(jié)合的產(chǎn)物，為研究揭示人類社會與自然界中利他行為的產(chǎn)生提供了新視角。由于網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)和博弈方式的改變會對處于其中的節(jié)點的行為產(chǎn)生重大影響，因此將不同博弈方式拓展到多層復雜網(wǎng)絡的演化博弈研究上，可以更好地揭示現(xiàn)實世界中合作和公平的涌現(xiàn)機制[1]。

1 系統(tǒng)模型

本文考慮由M層網(wǎng)絡，每層由N個節(jié)點組成的multiplex網(wǎng)絡，第層的第個節(jié)點表示選手，每個選手都與層內(nèi)鄰居和層間鄰居進行對稱兩人鷹鴿博弈。不損失一般性，我們假定網(wǎng)絡的層內(nèi)權(quán)重和層間權(quán)重都為。每個選手采取的混合策略為，表示選手采取策略D的概率，表示采取H策略的概率，他們的博弈收益矩陣如下：

（1）

為了簡化，假定所有選手的自私度相同，表示為，故可得所有選手在每輪的歸一化收益如下：

，為的列向量，表示所有選手采取D策略的概率向量，E表示的單位向量，表示以中元素為主對角元素的對角矩陣，表示multiplex網(wǎng)絡的歸一化超拉普拉斯矩陣，為其超拉普拉斯矩陣中每個元素除以此元素所在行的對角線元素， 被表示如下：

（2）

表示第層網(wǎng)絡的拉普拉斯矩陣，表示層間網(wǎng)絡的拉普拉斯矩陣。本文借鑒網(wǎng)絡同步的思想[2]，采用平均一致性協(xié)議作為選手的策略更新規(guī)則，表示如下：

（3）

此處，表示選手的期望策略，同時也保證了選手的策略始終為概率向量。我們通過李雅普諾夫第一方法來判斷式的穩(wěn)定性，可得在平衡點且處的雅克比矩陣為：

（4）

此處，，

和。只要保證式的所有特征值均小于0，即可得系統(tǒng)可收斂到公平狀態(tài)。由于的所有特征值均位于區(qū)間[0，2），故可得臨界條件為：

（5）

則臨界自私度下界為，下界為。

2 數(shù)值仿真

我們通過計算機產(chǎn)生的3層multiplex網(wǎng)絡，每層網(wǎng)絡為50個選手，且層內(nèi)網(wǎng)絡模型為BA無標度網(wǎng)絡，仿真結(jié)果如圖1（結(jié)論同樣適用于WS小世界網(wǎng)絡）。初始策略服從均值為（0，1）的隨機分布。從圖1中可以看出自私度的實際臨界值始終位于理論預測值的上限和下限之間，從而證明了理論結(jié)果正確性。

3 結(jié)語

綜上所述，在本文中我們將Multiplex網(wǎng)絡中對稱最后通牒博弈的公平演化研究擴展到Multiplex網(wǎng)絡上的對稱Hawk-Dove博弈公平演化，系統(tǒng)變?yōu)榉蔷€性系統(tǒng)。理論分析和實驗驗證表明，Multiplex網(wǎng)絡的最大超拉普拉斯特征值決定了系統(tǒng)可以達到公平的臨界自私度的上下限。

參考文獻

[1] 曹崀.復雜網(wǎng)絡上的演化博弈動力學研究[D].上海交通大學，2008.

[2]Zhang W， Yao J， Wang H O. The evolutionary ultimatum game on multiplex networks[C]// American Control Conference. IEEE， 2016：3752-3757.

Fair Evolution Research Based On The Hawk-Dove Game Under Multiplex Networks

LI Xiao-long

（Tongji University，Shanghai? 201804）

Abstract：This？paper？studies？fairness？evolution？in？symmetric？Hawk-Dove？game？on？multiplex？networks？to？explore？the？impact？of？network？structure？on？the？fair？evolution？of？human？society.？It？is？found？that？the？largest？supra？laplacian？eigenvalue？of？the？multiplex？network？almost？determines？the？upper？and？lower？limits？of？the？critical？selfishness？of？reaching？fairness？for？system.？Considerable？numerical？experiments？on？computer？generated？multiplex？networks？prove？the？correctness？of？theoretical？analysis.

Keywords：multiplex？network;Hawk-Dove？game，？super？laplacian？matrix;fair？evolution