幾類雙單葉函數(shù)類的系數(shù)估計(jì)

郭 棟, 李宗濤

(1.滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，安徽 滁州 239000；2.廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，廣東 廣州 510403)

引 言

令H表示在單位圓U={z:|z|<1}內(nèi)具有下述形式的解析函數(shù)類

(1)

Ma[5]介紹了更一般化的函數(shù)類S*(φ),K(φ),滿足下式:

其中φ(z)=1+B1z+B2z2+B3z3+…(Bn∈R,B1>0),φ(z)是U內(nèi)解析的正實(shí)部函數(shù)且滿足φ(0)=1,φ′(0)>0。

f-1(f(z))=z(z∈U),

這里

(2)

函數(shù)f(z)∈H在U內(nèi)稱為雙單葉函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f(z)和f-1(w)在U內(nèi)都是單葉函數(shù)?，F(xiàn)記∑表示單位圓U內(nèi)所有具有(1)式的雙單葉函數(shù)。M.Lewin[6]首先引入了雙單葉函數(shù)族,證明了f(z)∈∑,則|a2|1.51。隨后許多作者研究了雙單葉函數(shù)族子類|a2|、|a3|的上界問題(文獻(xiàn)7-11)。

Guo[12]定義了函數(shù)類M(α,λ,ρ),若f(z)∈H滿足

其中α≥0,λ≥0,0ρ<1,則稱函數(shù)類f(z)∈M(α,λ,ρ)。令α=0,λ=α∈R,ρ=0,則有此函數(shù)類稱為α-凸函數(shù)。

定義1令μ≥0,λ則稱如果f(z)滿足

其中g(shù)(w)=f-1(w)。

定義2令μ≥0,λ≥0,0

其中g(shù)(w)=f-1(w)。

其中g(shù)(w)=f-1(w)。

定義4令λ≥1,μ≥0,0

其中g(shù)(w)=f-1(w)。

在定義1、3中,令參數(shù)取一些特殊值就得到我們熟知的雙單葉函數(shù)類。例如:

本文的主要工作是利用分析的技巧討論了上述四類函數(shù)類的前兩項(xiàng)系數(shù)估計(jì),所得結(jié)果推廣了一些作者的相關(guān)結(jié)論。

1 預(yù)備知識(shí)

為了得到本文的結(jié)果需要以下引理。

引理[13]設(shè)ω(z)=d1z+d2z2+d3z3+…在U內(nèi)解析且滿足|ω(z)||z|,則有

|d1|1, |d2|1-|d1|2。

2 主要結(jié)果及證明

|a2|

(3)

|a3|

(4)

(5)

(6)

將f(z)、g(w)的冪級(jí)數(shù)展開式代入(5)、(6)式,比較z和z2的系數(shù)及w和w2的系數(shù),得

(1+λ)(1+μ)a2=B1b1,

(7)

(8)

-(1+λ)(1+μ)a2=B1c1,

(9)

(10)

由(7)和(9)式可得

b1=-c1,

(11)

(12)

由(8)和(10)式可得

(13)

將(11)和(12)式代入(13)式,化簡得

(14)

由(11),(12)和(14)式可得

(15)

利用引理及(15)式,可得

所以

|a2|

(16)

由(11),(8)和(10)式,可得

(17)

利用引理,由(16),(17)和(7)式,可得

|a3|

所以

|a3|

定理得證。

在定理1中,令μ=1,λ=0得下面推論。

|a3|

注釋：推論1就是文獻(xiàn)[2]中定理2.1。

在定理1中,令μ=0,λ=α得下面推論。

|a3|

注釋：推論2比文獻(xiàn)[2]中定理2.3的估計(jì)更精確。

在定理1中,令μ=v,λ=0得

|a2|

|a3|

注釋：推論3比文獻(xiàn)[10]中定理2.1的估計(jì)更精確。

在定理1中,令μ=0,λ=0得

|a3|

在推論2中,令α=1得

推論5如果f(z)∈M∑(1,φ),則有|a2|和

|a3|

定理2假設(shè)f(z)∈M∑(μ,λ,k),則有

|a2|

(18)

|a3|

(19)

證明：因?yàn)閒(z)∈M∑(μ,λ,k),則存在u(z)=b1z+b2z2+b3z3+…,v(w)=c1w+c2w2+c3w3+…滿足

(20)

(21)

將f(z)、g(w)的冪級(jí)數(shù)展開式代入(20)、(21)式,比較z和z2的系數(shù)及w和w2的系數(shù),得

(1+λ)(1+μ)a2=-kb1,

(22)

(23)

(1+λ)(1+μ)a2=kc1,

(24)

(25)

由(22)和(24)式得

b1=-c1,

(26)

(27)

用(23)加上(25)式,可得

(28)

利用引理及(28)和(22)式,可得

(1+μ)(2λ+μ+2)|a2|2k(|b2|+|c2|)

所以

|a2|

(29)

用(23)式減去(25)式,可得

(30)

利用引理,由(22),(26),(29)和(30)式,可得

|a3|

推論6如果f(z)∈M∑(μ,0,k),則有|a2|和

|a3|

在推論6中,令μ=0,k=1得

推論7如果f(z)∈M∑(0,0,1),則有|a2|和|a3|

在推論6中,令μ=1,k=1得

推論8如果f(z)∈M∑(1,0,1),則有|a2|和|a3|

推論9如果f(z)∈M∑(0,α,k),則有|a2|和

|a3|

在推論9中,令α=1,k=1得

推論10如果f(z)∈M∑(0,1,1),則有|a2|和|a3|

類似于定理1的證明,有

|a2|

|a3|

在定理3中,令μ=1得

|a2|

|a3|

注釋:此推論就是文獻(xiàn)[7]中定理2.5。

類似于定理2的證明,有

定理4假設(shè)f(z)∈N∑(μ,λ,k),則有|a2|和

|a3|

推論12假設(shè)f(z)∈N∑(1,λ,k),則有|a2|和

|a3|

在推論12中,令λ=0,k=1得

推論13假設(shè)f(z)∈N∑(1,0,1),則有|a2|和|a3|1。