導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題應(yīng)用中的策略探究

張艷玲

【摘要】在高中數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中經(jīng)常會(huì)利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)。導(dǎo)數(shù)知識(shí)能夠解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題，例如我們常見(jiàn)的不等式或者是函數(shù)。學(xué)生要想掌握更多的解題技巧，首先要掌握導(dǎo)數(shù)知識(shí)，能夠合理地應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，只有這樣才能提高自己的解題效率。在具體解決問(wèn)題的過(guò)程中，先復(fù)習(xí)一遍導(dǎo)數(shù)知識(shí)，這樣在解題的過(guò)程中思維就會(huì)更加靈活。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)；解題；策略

導(dǎo)數(shù)能夠連接初等數(shù)學(xué)以及高等數(shù)學(xué)，是—種比較簡(jiǎn)單的解題方式。尤其是高中試題，采用常規(guī)的方式很難解決，而且過(guò)程會(huì)花費(fèi)大量的精力，一個(gè)不小心就會(huì)出錯(cuò)誤，如果利用導(dǎo)數(shù)，就能快速解決問(wèn)題。本文將對(duì)導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題應(yīng)用中的策略進(jìn)行分析，并提出一些建議。

一、在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的價(jià)值

上過(guò)高中的人都知道，導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)微積分必不可少的基礎(chǔ)概念。如果一個(gè)學(xué)生沒(méi)有學(xué)好導(dǎo)數(shù)，那么這個(gè)學(xué)生就需要花費(fèi)更多的時(shí)間解題，數(shù)學(xué)成績(jī)也不會(huì)很理想。高中數(shù)學(xué)對(duì)一個(gè)學(xué)生來(lái)說(shuō)十分重要，而導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，是學(xué)生必須要掌握的知識(shí)點(diǎn)。而且大多數(shù)高中數(shù)學(xué)題都需要解題，所以掌握好的解題技巧，是取得數(shù)學(xué)好成績(jī)必不可少的辦法。在解答數(shù)學(xué)題的過(guò)程中，記好某個(gè)公式、某個(gè)概念并不是最重要的，還要合理應(yīng)用這些公式，在解答的過(guò)程中，靈活思維，掌握正確的解題方法才是最重要的。在高中數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維邏輯，讓學(xué)生從多個(gè)角度來(lái)解答數(shù)學(xué)題。導(dǎo)數(shù)既普遍又重要，能夠幫助學(xué)生快速理解解題技巧，并合理應(yīng)用這些解題技巧，這樣無(wú)論多么復(fù)雜的數(shù)學(xué)題，解答起來(lái)也就不那么困難了，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)就會(huì)提高很快。所以導(dǎo)數(shù)在解決高中數(shù)學(xué)題的過(guò)程中有著非常重要的地位。

二、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用分析

1.導(dǎo)數(shù)在求極值中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)題中，函數(shù)問(wèn)題比較普遍，其中有一些問(wèn)題，也就是求取最大值或者是最小值的函數(shù)問(wèn)題，學(xué)生十分容易出錯(cuò)，而且這些題也是高考的必考題。我們?nèi)绻扇鹘y(tǒng)的解題方式，也能解決極值問(wèn)題，但是如果利用導(dǎo)數(shù)，掌握一定的解題技巧，那么這種方法能夠解決絕大部分的極值問(wèn)題，所以我們更應(yīng)該重視導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)。我們以二次函數(shù)中求極值為例子，比較普遍的就是給出一個(gè)函數(shù)，給出一個(gè)區(qū)間，求最大值或者是最小值，這是近幾年高考的熱點(diǎn)。一些學(xué)生會(huì)采用常規(guī)的解題思路來(lái)解決問(wèn)題，也就是數(shù)形結(jié)合，這種方式能夠解決較為簡(jiǎn)單的函數(shù)問(wèn)題，如果問(wèn)題較為復(fù)雜，那么就要花費(fèi)更多的時(shí)間，解決起來(lái)也比較困難。而利用導(dǎo)數(shù)，就能快速解決這些問(wèn)題。我們根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義——無(wú)論是最大還是最小，該點(diǎn)的變化斜率都為零，找出這個(gè)區(qū)間內(nèi)求導(dǎo)為零的點(diǎn)，之后代入原函數(shù)，比較這兩個(gè)點(diǎn)的大，就能知道這一點(diǎn)是最大值還是最小值，這樣就能解決函數(shù)問(wèn)題了。

例1：已知f（x）=ln（1+x）-x，求解出最大值，那么要找到函數(shù)的定義域，1+x>0，即x∈（-1，∞），經(jīng)過(guò)求導(dǎo)之后，我們可以得到f′（z）l/（1+x）-1，只要令1/（1+x）-1=0，即可求得極值點(diǎn)x，在簡(jiǎn)單地變換之后，我們可以解出x=0，再將0代入原函數(shù)中，得f（0）=0。

2.導(dǎo)數(shù)知識(shí)在曲線切線問(wèn)題解答中應(yīng)用

在解決幾何問(wèn)題的過(guò)程中，我們也經(jīng)常利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決問(wèn)題，這種方式能夠節(jié)省解題的步驟，盡可能地減少出錯(cuò)，提高解題的效率。一般情況下，我們?cè)谇笕∏芯€題目的過(guò)程中經(jīng)常會(huì)利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)。例如解決切線方程，代入導(dǎo)數(shù)知識(shí)后，就能判斷出對(duì)坐標(biāo)點(diǎn)，之后再根據(jù)基本的求解方式，得出已知曲線C：y=f（x），曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（x1，y1），求過(guò)點(diǎn)M的切線方程。在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中利用了導(dǎo)數(shù)知識(shí)的概念和性質(zhì)。在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，首先，要判斷點(diǎn)M是否在曲線上，之后進(jìn)行分類討論，盡可能利用f′（x）的基本性質(zhì)解決問(wèn)題，無(wú)論解決哪種問(wèn)題，首先要經(jīng)過(guò)討論，探討出可能會(huì)出現(xiàn)的情況，之后再進(jìn)行具體分析，最終得出切線方程。

例2：有直線P：x+4y-4 0，有曲線C：y=x4，其中直線P與曲線C的一條切線N相互垂直，求曲線的切線N的方程。

解析：我們首先對(duì)題目進(jìn)行了仔細(xì)分析，能夠了解到在求解的過(guò)程中可以利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)。分析完題目之后，通過(guò)題目得出三個(gè)條件，分別是x+4y-4=0（直線），y=x4（曲線），切線Ⅳ（與曲線相切，并與直線垂直），我們提煉出有價(jià)值的條件，求出直線P的斜率，由于P與N垂直，由此求出直線Ⅳ的斜率，之后再計(jì)算出這條曲線的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)置具體值，計(jì)算出和曲線相切部分的切點(diǎn)，最終得出方程。具體過(guò)程如下：y=x4的求導(dǎo)結(jié)果為y′=4x3，直線P的斜率為-14，由于P與N垂直，兩者斜率相乘得-1，由此可得切線Ⅳ的斜率=4，令y′=4x3=4，即可求出x=1，切線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），確定了切點(diǎn)的坐標(biāo)與切線的斜率，即可求出切線方程為y=4x-3。

在解決切線方程問(wèn)題的過(guò)程中，借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)得到切點(diǎn)，之后利用切點(diǎn)和斜率解決最終的問(wèn)題。這個(gè)過(guò)程要求循序漸進(jìn)，一個(gè)環(huán)節(jié)為后一個(gè)環(huán)節(jié)做好鋪墊，最終計(jì)算整個(gè)求解過(guò)程，得到結(jié)果。利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)求解問(wèn)題能夠開(kāi)拓更多的思路，創(chuàng)造更多的解題空間。

3.重視導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)不僅能夠應(yīng)用在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題上，還能解決現(xiàn)實(shí)生活的問(wèn)題。所以，高考試題的考查更偏向于用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決實(shí)際生活問(wèn)題。例如我{門(mén)比較常見(jiàn)的優(yōu)化問(wèn)題、解決成本問(wèn)題、求出最短路徑等等，在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)就能快速求得答案。具體的步驟如下：仔細(xì)閱讀仔細(xì)審題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，之后合理設(shè)置函數(shù)變量，尋找相關(guān)的關(guān)系式，得到結(jié)果，檢驗(yàn)結(jié)果是否正確，是否符合實(shí)際。

例3，假設(shè)一個(gè)工廠在生產(chǎn)產(chǎn)品的過(guò)程中，成本為a、產(chǎn)量為M，那么成本和產(chǎn)量的關(guān)系式設(shè)置為A=100+4m，最終的售價(jià)為c，而售價(jià)格產(chǎn)量也存在關(guān)系式，c=25-m，那么為了獲取最大的利潤(rùn)值，產(chǎn)量M多少最合適？

解析：收入減去成本得到利潤(rùn)，也就是R-A=l，而最終的收入，則是產(chǎn)量和價(jià)格二者的乘積，那么，我們就能得出最終的關(guān)系式，之后再代入導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題得到答案：

因?yàn)槌杀続與產(chǎn)量m的函數(shù)關(guān)系式為A=100+4m，價(jià)格c與產(chǎn)量m的函數(shù)關(guān)系式為c=25-1/8m，所以利潤(rùn)L=（25-1/8m）m-（100+4m）=-1/8m²+21m-100。

和公式相對(duì)應(yīng)的拋物線開(kāi)口向下，那么，我們得出M為84時(shí)，總利潤(rùn)值是最大的結(jié)論。在解決上述問(wèn)題的時(shí)候，對(duì)整個(gè)題目進(jìn)行分析，從抽象的知識(shí)點(diǎn)中獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，利用一定的表達(dá)式，代入導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，最終得到了答案。

三、結(jié)語(yǔ)

在高中階段，我們要掌握導(dǎo)數(shù)最基本的定義以及最基本的公式，并且能夠合理地運(yùn)用這些公式，只有這樣在解決較為復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，我們才能在第一時(shí)間尋找最佳的解決方案，進(jìn)而簡(jiǎn)化解題步驟，提高做題的正確率。