小刀的“秘密”

邵志湉　尹語凡

原題呈現(xiàn)：下圖是我們常用的折疊式小刀，若將刀柄外形缺少的半圓補(bǔ)全，如圖1，則兩條邊緣線AB和CD可以看成兩條平行的線段，且∠ACD=90°，刀片的兩條邊緣線EF和GH也可以看成兩條平行的線段.在整個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)刀片的過程中，若將∠EFC記為∠1，將∠CHG記為∠2，試探究∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

解答過程如下：

第一種情況，如圖2，刀片的邊緣線可以看作兩條平行線，由此我們不難想到，用添加平行線的方式輔助答題.觀察∠1和∠2的位置，過C點(diǎn)作EF的平行線MN.根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線互相平行，所以MN∥GH.于是解題的思路就很明確了.將∠ACN記為∠3，∠NCD記為∠4，解題過程如下：

因?yàn)镸N∥EF，MN∥GH，所以∠1=∠3，∠2=∠4，又因?yàn)椤?+∠4=∠ACD=90°，所以∠1+∠2=90°.

然而，刀片在旋轉(zhuǎn)的過程中，并不一定只存在圖2這樣一種情況.我們嘗試著改變刀片旋轉(zhuǎn)的角度，發(fā)現(xiàn)了第二種情況的“秘密”.

第二種情況，如圖3，我們可以確定∠1和∠2的位置，由于我們不能直接看出∠2和∠1的聯(lián)系，所以我們應(yīng)該找到一個(gè)和∠2相等且與∠1有關(guān)系的角.因?yàn)轭}目中說“刀片的兩條邊緣線EF和GH可以看成兩條平行線段”，所以將∠CPE記為∠3，∠FPH記為∠4，通過“兩直線平行同位角相等”，可以得到∠2=∠3，或通過“兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等”得到∠2=∠4，又因?yàn)椤?為△FCP的外角，所以通過“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”，可得∠3=∠1+∠ACD，因?yàn)椤螦CD=90°，∠3=∠2，所以∠2=∠1+90°，即∠2-∠1=90°.如果選擇內(nèi)錯(cuò)角∠4，也同樣可以證明，解題過程如下：

因?yàn)镠G∥FE，所以∠2=∠3，又因?yàn)椤?=∠1+∠ACD，∠ACD=90°，所以∠2=∠1+90°，得到∠2-∠1=90°.