《墨子》的幾何學(xué)與圖學(xué)成就及其科學(xué)價值

劉克明

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《墨子》的幾何學(xué)與圖學(xué)成就及其科學(xué)價值

劉克明

(華中科技大學(xué)人文學(xué)院，湖北 武漢 430074)

《墨子》是我國古代最早論述圖學(xué)知識、圖學(xué)思想的科技史著作。《墨子》一書中的論述與記載表明：圖形、圖樣與文字、數(shù)字一樣，在人類的社會進(jìn)步和科技發(fā)展過程中起著不可替代的作用。對《墨子》的研究，特別是對其圖學(xué)基本概念與基本理論的探討及其歷史地位；仍是一個有待深入和系統(tǒng)闡明的課題。本文通過考察《墨子》對有關(guān)圖學(xué)理論研究的嘗試，探討中國古代科學(xué)技術(shù)中的圖學(xué)實踐與圖學(xué)知識的成果，以及這些圖學(xué)成果所體現(xiàn)的中國圖學(xué)傳統(tǒng)與科學(xué)探索精神。

圖樣；圖學(xué)；墨子

《墨子》一書是墨子(約公元前476年—前390年)及其弟子的代表作?！赌印芬粫?，“圖”字僅出現(xiàn)兩次，“圖”在書中的意思，并無圖學(xué)的意義。《墨子》中的“圖”字，一是作為動詞之用；二是作為名詞之用，如“綠圖”之圖。

《墨子》中的“圖”字，盡管沒有今天所稱之為的“圖學(xué)”或“圖樣”的涵義，但《墨子》一書，記載了當(dāng)時人們對圖學(xué)知識及其理論研究的嘗試，涉及幾何學(xué)與圖學(xué)的基本內(nèi)容，較之先秦文獻(xiàn)，確實最為詳實?！赌印钒▓D學(xué)的基本概念有：點、線、面、體的定義及相互邏輯關(guān)系，圖形空間的比較方法，有窮與無窮的問題，方、圓、直線等幾何性質(zhì)等等。墨子及其弟子，多為工程技術(shù)工作者，所以《墨子》中的圖學(xué)知識、對圖學(xué)理論研究的探討，多側(cè)重于工程技術(shù)所急需的幾何學(xué)知識與圖學(xué)問題?！赌印分杏嘘P(guān)圖學(xué)的內(nèi)容與論述，極大地豐富了中國古代人們對圖形的實踐與認(rèn)識，以及先秦時期中國人對圖學(xué)知識與理論的看法。

1 墨子時代的幾何作圖及《墨子》對幾何基本概念的論述

《墨子》一書所討論的圖學(xué)、幾何學(xué)基本概念及其定義、對投影的認(rèn)識，是中國先秦數(shù)學(xué)理論及其圖學(xué)理論研究最為精彩的論述。

1.1 墨子時代的幾何作圖

在科學(xué)技術(shù)的各門學(xué)科之中，圖學(xué)是一門應(yīng)用十分廣泛的橫斷學(xué)科，其以圖形系統(tǒng)來研究和認(rèn)識客觀世界，從構(gòu)成圖的要素來看，圖形或圖樣是由點、線、面、體等幾何要素所構(gòu)成，這些幾何要素的不同變化和組合構(gòu)成了不同的圖形。幾何作圖最能代表人們對幾何學(xué)的認(rèn)識。這是因為在工程技術(shù)中，常常會遇到大量由點、線、面、體組合的圖形。因此，幾何作圖的基本方法及其技術(shù)水平，不僅能提高工程制圖的速度和準(zhǔn)確性，也能反映每一時代工程制圖技術(shù)的發(fā)展程度；同時，按照已知條件，作出所需要的幾何圖形，是圖學(xué)技術(shù)、圖樣繪制必不可少的組成部分，也是表現(xiàn)制圖者幾何觀點和作圖技能的重要手段，反映了圖樣繪制者的邏輯思維能力。

“幾何作圖”需要考慮點、線、面、體等幾何要素。中國古代工程制圖師們在長期的幾何作圖中，總結(jié)了很多簡便的作圖方法。墨子時代的圖學(xué)成就，以幾何作圖為例，可見之于1978年夏重出人世的隨州戰(zhàn)國曾侯乙墓的文物與1986年發(fā)掘的包山楚墓文物，這兩大古墓都是蘊藏先秦文物的寶庫，反映了中國古代圖學(xué)和幾何作圖及其繪圖技術(shù)的成就，反映了當(dāng)時人們對形體的認(rèn)識與圖繪的技術(shù)水平。

在曾侯乙墓和包山楚墓出土文物中，無論是青銅器、漆器，每件文物上面，都繪有各種變化的幾何形圖案，其集工程幾何作圖之大成；如等分線段、平行線、對角線、菱線、切線、矩形、圓、同心圓、橢圓、圓弧連接，等分圓周；包括4、5、6、7、8、12、16、20等分圓周，表現(xiàn)了極其熟練和準(zhǔn)確的幾何作圖能力；同時這些幾何圖案加上鳥獸紋、龍鳳紋等裝飾紋樣的機(jī)械重復(fù)，使造型更具有幾何線條與藝術(shù)繪畫理智統(tǒng)一的、明快的感覺。漆器的幾何圖案由點、線、面構(gòu)成，由圓點紋、菱形紋、三角形紋、網(wǎng)紋、圓圈紋、圓渦紋等組成。其出現(xiàn)于西元前5世紀(jì)的戰(zhàn)國之際，確實令人嘆為觀止。

先秦時期在幾何作圖方面的實踐，反映了當(dāng)時的制圖能力，也是制圖技術(shù)發(fā)達(dá)的標(biāo)志。以曾侯乙墓和包山楚墓出土文物為代表，幾乎涵括了幾何作圖技術(shù)的各個方面，既有尺規(guī)作圖，即標(biāo)準(zhǔn)幾何作圖，又有近似幾何作圖，即非標(biāo)準(zhǔn)幾何作圖。尺規(guī)作圖是用工具；即用規(guī)與矩來完成作圖，這種作圖是無誤差及精確的。標(biāo)準(zhǔn)幾何或正規(guī)作圖均屬于尺規(guī)作圖的范籌。近似幾何作圖是指實際應(yīng)用較多的圖形，如繪制五等分圓周、七等分圓周等幾何圖形時，用尺規(guī)作圖是無法實現(xiàn)的；因此，人們往往采取一種基本上近似的作圖方法，故稱近似幾何作圖。數(shù)學(xué)上，這種幾何畫法是不能用公理、定理等來證明的，而這些幾何作圖恰恰是曾侯乙墓與包山楚墓出土文物中圖形、圖案造型中的重要內(nèi)容，如圖1～4所示。曾侯乙?guī)着c墨子同時代，為公元前5世紀(jì)中期；包山楚墓則在墨子之后[1-3]。

圖1 曾侯乙墓出土文物中的幾何作圖

圖2 曾侯乙墓出土文物中的近似幾何作圖

圖3 包山楚墓出土文物中的幾何作圖

圖4 包山楚墓出土文物中的幾何作圖

1.2 《墨子》對幾何基本概念的論述

圖形的來源是形，“形是由點、線、面、體等幾何要素構(gòu)成的”。從圖學(xué)自身發(fā)展的歷史來考察，人們對圖形與圖樣基本概念的定義，也是不斷在發(fā)生變化的，并隨著人類文明的進(jìn)步而逐步完善。今天，人們談?wù)摰膱D形與圖樣，大多是指能用數(shù)學(xué)方法描述的圖形，其構(gòu)成了科學(xué)與工程技術(shù)的基礎(chǔ)；圖學(xué)的核心是幾何，圖學(xué)與幾何學(xué)是同步發(fā)展的科學(xué)，圖學(xué)的歷史也是幾何的歷史，早期的畫法幾何也是幾何的一部分。因此，對圖學(xué)基本概念；譬之點、線、面、體的定義，往往反映了人們對圖學(xué)的基本及其認(rèn)識水平。

《墨子》中關(guān)于圖學(xué)，特別是幾何學(xué)概念及定義，見之于《經(jīng)上》、《經(jīng)下》、《經(jīng)說上》、《經(jīng)說下》4篇，凡十九條?！督?jīng)》所載為定義，《經(jīng)說》則為對《經(jīng)》中各條的解釋和說明。

1.2.1 《墨子》關(guān)于點的定義

《墨子》將點稱“端”，其具有數(shù)學(xué)上幾何學(xué)“點”的涵義，并具有由點組成線，由線組成面，由面組成體的幾何學(xué)思想。

《經(jīng)上》：“端，體之無序而最前者也?！?/p>

《經(jīng)說上》：“體也，若有端。”“端是無同也?！?/p>

“端”字在《墨子》、《經(jīng)》與《經(jīng)說》中，出現(xiàn)了15次，主要是指幾何學(xué)上的點而言，是《墨子》有關(guān)幾何學(xué)的基本概念之一?！岸恕钡淖至x意，其一、相當(dāng)于幾何學(xué)中的“點”。其二、為物體的最前端，或直線線段的兩極端。這兩個字義雖有不同，但互相聯(lián)系。“序”為“順序”、“秩序”之義，一個物體與另一個物體依次排列，謂之“有序”?，F(xiàn)在“端”是物體最前的一點，不可能有更之前的點，因而“端”是“最前”，不可能次于另一點之后。故《經(jīng)》言：“端，體之無序而最前者也”。既然是端，其本質(zhì)就是“點”，根據(jù)幾何學(xué)的定義：點是沒有大小，沒有厚薄的。因此不可能有兩個點處在完全相同的位置，否則其就不是“無序而最前”，就不能成其為“端”?！督?jīng)說上》言“端是無同也?！薄赌印穼Α岸恕钡姆治龊驼撟C，由簡至繁，其數(shù)學(xué)概念，甚為嚴(yán)密。

1.2.2 《墨子》關(guān)于線的定義

《墨子》多次討論直線的性質(zhì)和直線與其他幾何圖形的關(guān)系?！赌印し▋x》云：“百工為方以矩，為圓以規(guī)，直以繩，衡以水，正以懸。”“直以繩”是工程技術(shù)中取直的重要方法。治木求直，以拉緊直線作為標(biāo)準(zhǔn)，是古代工匠在工程制造中所取得的關(guān)于直線性質(zhì)的認(rèn)識，這種認(rèn)識對直線的感性經(jīng)驗已在逐步地上升到理論形態(tài)。

“直以繩”幾乎接近于幾何學(xué)對直線性質(zhì)的論述，即經(jīng)過兩點有并且只有一條直線；簡單地說兩個點決定一條直線，在“直以繩”的基礎(chǔ)上，《墨子》還提出了直線性質(zhì)的另一條規(guī)律，即《經(jīng)上》：“直，參也。”

參：《廣雅·釋言》：參，三也，所謂“參”是數(shù)量上的“三”，為數(shù)詞?！蹲髠鳌る[公元年》：“先王之制，大都不過三國之一?！倍蓬A(yù)注：“三分國城之一。”參且有羅列，并立之意?！逗鬂h書·張衡傳》：“參輪可使自轉(zhuǎn)，木雕，猶參獨飛?！薄墩撜Z·衛(wèi)靈公》：“立，則見其參于前也。在輿則見其倚于衡也?！奔囱匀水?dāng)前正立車上。幾何學(xué)中直線的定義是線段向兩方無限延伸而形成，一條直線上有無限多個點。

《墨子》用“直，參也”這一簡短的關(guān)于直線的定義式的命題，對直線的認(rèn)識是頗有見地的。意同歐幾里得(前330年—前275年)所謂“某點介于另兩點之間”，確切地說：“同在一直線上的三點，有一點恰好介于其余兩點之間?！薄爸?，參也?！币簿褪钦f，中正不曲叫直線，“參”是中正不曲的意思。也可以說，三點共線：即為直線，漢代以后“弩機(jī)”上的瞄準(zhǔn)器“望山”就是據(jù)此發(fā)明的。

同時《墨子》中用“參”“直”互訓(xùn)?！督?jīng)下》：“參，直之也?！?/p>

《說文》：直，正見也。清代段玉裁《說文解字注》：《左傳》曰，正直為正，正曲為直，其引申之義也。見之審則必能矯其枉，故曰正曲為直，直為會意之字。

1.2.3 《墨子》關(guān)于平行線的定義

《經(jīng)上》：“平，同高也?！?/p>

《經(jīng)說上》：“必，謂臺執(zhí)者也：若弟兄。一然者，一不然者，必不必也。是非必也。”

“平”，《詩經(jīng)·小雅·伐木》鄭箋云：“平，齊等也?！?，《廣韻》：“平，正也?！薄芭_執(zhí)者”，“猶言二人抬物而各以雙手執(zhí)持也。二人抬物其高必等。”故經(jīng)說當(dāng)解釋為：“‘平’，所講的就像弟兄二人共同抬持物體一樣，故其高必然相等?！?/p>

這里平的定義作為幾何學(xué)而論，即指平行線。“同高”是指兩條線平行，則兩線之最短的距離，即垂線——高相等?！赌?jīng)》關(guān)于平行線的認(rèn)識，如圖5所示。高度1與2相等，那么直線平行于直線。

圖5 《墨子》“平，同高也”示意圖

1.2.4 《墨子》關(guān)于等長線段的定義

《經(jīng)上》：“同長，以缶相盡也?！?/p>

《經(jīng)說上》：“同，楗輿狂之同長也?！?/p>

《墨子》中的“缶”字，即“正”字，這是對兩線段相等的定義，“缶相盡”即“正相盡”，是說兩線段正好重合的意思。

1.2.5 《墨子》關(guān)于面的定義

《經(jīng)上》：“有間，中也。”

《經(jīng)說上》：“有間，謂夾之者也?！?/p>

《經(jīng)上》：“間，不及旁也?！?/p>

《經(jīng)說上》：“間，謂夾者也。尺，前于區(qū)穴，而后于端，不夾于端與區(qū)內(nèi)?！?/p>

“間”者，即今“間”字。間者，所間也。有間者，能間也。惟點無間，線、面、體皆有間，凡形之可分析者皆有間?！皡^(qū)”者，如幾何學(xué)所稱之面，有長有寬，成一界域，故謂之區(qū)。先有點而后有線，先有線而后有面，故曰：“尺前于區(qū)而后于端”。尺既在端前區(qū)后，則似尺在端與區(qū)之間；而其實不然，蓋“間”之義并非如此?！督?jīng)說》又舉“尺不夾于端與區(qū)間”作為反證。

1.2.6 《墨子》關(guān)于圓的定義

《墨子》中，寫圓為圜?！吨芏Y·冬官考工記》：“輿人為車，圜者中規(guī)，方者中矩?！薄耙?guī)之以視其圜也。”《漢書·梅福傳》：“昔高祖納善若不及，從諫若轉(zhuǎn)圜。”注：“與圓同?！倍斡癫谩墩f文解字注》：“依許則言天當(dāng)作圜。言平?當(dāng)作?。言渾圓當(dāng)作圓。”

《經(jīng)上》：“圜，一中同長也。”

《經(jīng)說上》：“圜，規(guī)寫攴也。”

《經(jīng)上》：“中，同長也?！?/p>

《經(jīng)說上》：“心中，自是往相若也?！?/p>

以上是關(guān)于圓的定義及其性質(zhì)的研究，“一中”，是指圓有一個圓心，“一中同長”是說到一個中心有相等距離的點所構(gòu)成的圖形。

根據(jù)幾何對圓的定義，即平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合，定點為圓心，定長為圓的半徑，設(shè)為一圓，為圓心，則，，，各線俱等，故《墨子》以“心”為喻，“自是往者”自中心而往。故自圓心至圓之半徑必相等，故曰“相若”。

“圓，一中同長”即討論圓的幾何性質(zhì)，由圓的定義，可知圓的幾何性質(zhì)，即圓上各點到圓心的距離都等于定長半徑。到圓心的距離等于定長的點都在圓上。故曰“一中同長。”如圖為圓。為圓心，過作，兩線，其中必與同長?！队衿罚骸耙?guī)，正圓之器也。”“規(guī)寫交攴”即今幾何學(xué)所稱之為作圖，如圖6~7所示。

圖6 《墨子》“圜，一中同長也”示意圖

圖7 《墨子》“圜，規(guī)寫攴也”示意圖

墨子及弟子從事技術(shù)工作，精通手工技藝，可與當(dāng)時的巧匠魯班相比；他們從生產(chǎn)實踐以及傳聞和親聞中，得到了“為圓以規(guī)”的經(jīng)驗知識，并“循所聞而得其義”，抽象出了“圓，一中同長也”的認(rèn)識，并以此為法則，“量度天下之圓與不圓”，“曰中吾規(guī)者謂之圓，不中吾規(guī)者謂之不圓。是以圓與不圓，皆可得而知也”。由是觀之，墨子關(guān)于圓的認(rèn)識，就較前人的認(rèn)識前進(jìn)了一大步。

1.2.7 《墨子》關(guān)于矩形的定義

《經(jīng)上》：“方，柱隅四讙也?！?/p>

《經(jīng)說上》：“方，矩見攴也?！?/p>

這里關(guān)于正方形和矩形的定義。柱隅之柱，即方之邊，隅為方之角。四讙即四權(quán)，方之四柱皆正邊。四隅皆為直角。如圖，，，四柱，皆為正邊，∠，∠，∠，∠為四隅，皆為直角，故云：“柱隅四讙也?！薄赌印贰疤熘尽敝幸嘤校骸爸形峋卣咧^之方，不中吾矩謂之不方，是以方與不方，皆可得而知之?！?/p>

唐人楊倞《荀子·不茍》注：“矩，正方之器也?！睂懹挟嬕狻Ｒ跃禺嫹?，其四邊相接且互相垂直?！吨荀滤憬?jīng)》卷上“圓出于方，方出于矩，”漢趙爽(約182—250年)注述：圓規(guī)之?dāng)?shù)，理之以方，方；周匝也。方正之物，出之以矩；矩，廣長也?！比缯叫危渲?、二線相交于。，二線相交于。推之兩點，同樣以兩線相交，故云：“矩寫攴也”?！赌印分嘘P(guān)于矩形的定義，如圖8所示。

圖8 《墨子》“方，柱隅四讙也”示意圖

1.2.8 《墨子》關(guān)于體的定義

《經(jīng)上》：“厚，有所大也?！?/p>

《經(jīng)說上》：“厚，惟無所大?！?/p>

《說文》：“厚，山陵之厚也。垕：古文厚，從后土?！卑春笸良粗^大地。大地山陵，形成立體，故此厚系指立體形。

設(shè)與為二平面形，連結(jié)與二平面，使成一正方立體形，而任一邊可以擴(kuò)大為此正方立體形之厚，故與《經(jīng)上》所云：“有所大”，蓋所謂厚者即為所積之體故也。《墨子》中關(guān)于體的定義，如圖9所示。

圖9 《墨子》“厚，有所大”示意圖

關(guān)于體的定義及其性質(zhì)，《墨子》亦有所論述。

《經(jīng)上》：“體，分于兼也?！?/p>

《經(jīng)說上》：“體，若二之一，尺之端也?！?/p>

《墨子》以端為譬，詳釋“體”義。說明“體”和“兼”的區(qū)別及其關(guān)系，也就是給“體”作了定義?！吧w并眾體則為兼，分之則為體?！薄绑w”為個體，就是部分?！凹妗笔遣糠种?。“體”和“兼”的關(guān)系就是部分和整體的關(guān)系。所以《經(jīng)上》言：“體，分于兼也?！薄督?jīng)說上》舉例，以明經(jīng)意?！绑w，若二之一，尺之端也?！背?，即幾何學(xué)所謂的線，“尺之端”者，線之點也，“若二之一”中的“二”是兩個“一”合并，“線”是許多“點”集合，也是“兼”與“體”的關(guān)系的例證。《墨子》只說“體分于兼”不說體分于全，頗具特色?！耙弧笔恰岸钡牟糠?，但“二”并不是全體?！包c”是“線”的部分，但不能說“線”就是全體?？臻g和時間是無限的，所謂“全體”，只可能有相對的意義[4-5]。

《墨子》中有關(guān)幾何等概念的命題與定義，稱點為端，稱線為尺，稱面為區(qū)，界內(nèi)部分為間，形體的界為有間等是，墨子用端、尺、區(qū)的概念，即從點、線、面、體的角度來理解空間物體存在的形狀。蘊涵了圖形問題幾何化，復(fù)雜問題簡單化的思想！這與今天的工程圖學(xué)、計算機(jī)圖形學(xué)、計算機(jī)圖像學(xué)等學(xué)科在理解“圖形學(xué)與可視化”、“視覺與圖像”、“幾何設(shè)計與計算”所作的表述方法，是完全一致的。《墨子》從“形”的幾何學(xué)的角度揭示圖的本質(zhì)，給出了“形”與“圖”的科學(xué)表述。

2 《墨子》對投影理論的論述

確實，《墨子》中《經(jīng)上》、《經(jīng)說上》、《經(jīng)下》、《經(jīng)說下》所論幾何學(xué)的概念，并不是打算用演繹推理的辦法去證明任何幾何定理，而是探討投影幾何與測量有關(guān)的事實；這在墨子的圖學(xué)思想與理論中表現(xiàn)得十分明顯。這是因為在人類文明歷史的進(jìn)程中，圖學(xué)一直是人們認(rèn)識自然，表達(dá)、交流思想的主要形式與工具。從象形文字的產(chǎn)生到現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人類的活動始終與圖學(xué)有著密切的聯(lián)系[6]。圖學(xué)的重要性可以說是其他任何表達(dá)方式所不能替代的。而圖學(xué)要解決的問題包括圖示法和圖解法兩部分內(nèi)容。圖示法主要研究用投影法將空間幾何元素——點、線、面的相對位置及幾何形體的形狀表示在圖紙平面上，同時必須可以根據(jù)平面上的圖形完整無誤地推斷出空間表達(dá)對象的原形。即是要在二維平面圖形與空間三維形體之間建立起一一對應(yīng)的關(guān)系。

投影法的基本概念；一是要有光線，二是要有被投影的物體，三是要有投影所在的平面。此三者就構(gòu)成投影的基本條件。當(dāng)人們將物體放在光源和預(yù)設(shè)的平面之間時，在該平面上便呈現(xiàn)出物體的影像。如果將這種自然現(xiàn)象加以幾何抽象，就可得到投影方法。

現(xiàn)代圖學(xué)理論的投影原理示意圖，如圖10所示，設(shè)定平面為投影面，不屬于投影面的定點。(如光源)為投射中心，投射線均由投射中心發(fā)出。通過空間點的投射線與投影面相交于點，則稱為空間點在投影面上的投影。

這種按幾何法則將空間物體表示在平面上的方法稱為投影法。投影法是圖學(xué)的基本理論[7]。

《墨子》論投影的理論，見之于“經(jīng)”、“經(jīng)說”所論光學(xué)部分。共有八條，總字?jǐn)?shù)343字，《墨子》論及圖學(xué)部分，共計二十余條。光學(xué)八條者。首條論述陰影的定義與生成，其次解釋光與影的關(guān)系，而嘗試論述光有直線運動之性質(zhì)。第三條則論述光具有直線運動之性質(zhì)。

圖10 現(xiàn)代圖學(xué)理論中投影原理的基本概念示意圖

2.1 對投影幾何基本概念的認(rèn)識

投影幾何是現(xiàn)代圖學(xué)最為重要的基礎(chǔ)，投影幾何的方法就是將三維空間的幾何圖形畫在二維的平面上、解決空間幾何問題，是制圖技術(shù)的出發(fā)點，《墨子》中對投影幾何的認(rèn)識，見《經(jīng)下》及其《經(jīng)說下》：

《經(jīng)下》：“景不徙，說在改為。”

《經(jīng)說下》：“景，光至，景亡。若在，盡古息?！?/p>

《墨子》在此論述了運動中的物體與其投影的物理性質(zhì)?！熬啊弊衷凇赌印分谐霈F(xiàn)三十六次，除“景公”是人名，出現(xiàn)四次外，其他都與論及的圖學(xué)、光學(xué)諸條相關(guān)，并屢屢出現(xiàn)于《經(jīng)下》、《經(jīng)說下》之中?！赌印分小熬啊绷x有三。

其一：解釋為光。如《說文解字》：“日光也”，如同投影幾何中的投影中心。

其二：即物體蔽住光線所成之陰影。《釋文》，景本或作影。如《經(jīng)典釋文》“爾雅音義”：“景，境也。明所照處有境限也”。物之陰影?！墩f文解字》：“名光中之陰曰：影?！本埃瑸楣庞白?。已見高誘淮南子註，宋郭忠恕《佩觿卷上》：“形景”，“爲(wèi)影”，“本乎稚川”。

其三：為光由反射面所反射而成之圖形、圖像。段玉裁《說文解字注》：“左傳曰。光者遠(yuǎn)而自他有燿者也。日月皆外光。而光所在處物皆有陰。光如鏡故謂之景?！?/p>

此三者已闡明投影理論的三大要素，①光，即投影中心；②投影物體；③投影，物體的投影。墨子所論與現(xiàn)代投影幾何理論的思想方法是一致的。

由是可知，《經(jīng)下》：“景不徙，說在改為?！奔啊督?jīng)說下》的“景”俱訓(xùn)作第二義，即物體遮蔽光線所成的投影。而“為”，段玉裁《說文解字注》云：“凡有所變化，曰為?！薄稜栄拧贰搬屟浴保骸白髟鞛橐病！薄案臑椤闭?，光源運動、或物體運動之意。

因此，《經(jīng)下》此文可釋為：影不徙；若改徙，其故在光源或被投影的物體之間有移動?！督?jīng)說下》：“景，光至，景亡?！币徽Z，宜作“被投影物體遮蔽光線所成之陰影”之義。投影是因物體遮蔽了投射到地面或屏上的光線而形成的。當(dāng)物體運動時，若前一瞬間的光被遮住出現(xiàn)投影的地方，后一瞬間就被光所照射，投影便消失了。若新出現(xiàn)的影子是在后一瞬間光被遮住的地方出現(xiàn)的，已經(jīng)不是前一瞬間的投影。因此，墨子說：“景不徙。”如果物體運動后原先的投影不消失，就會永遠(yuǎn)存在于那個地方，即“盡古息”，那是難以想象的。那么，為什么投影又似乎隨著物體而運動呢？這是因為物體的運動在時間和空間中表現(xiàn)是連續(xù)的，前后瞬間的投影也是隨之連續(xù)不斷地更新的，即“改為”，因此，看起來就仿佛影子隨著物體在運動。墨子關(guān)于“景不徙”的論述，反映了墨子觀察的敏銳，見解的準(zhǔn)確，理論的獨到。

《墨子》在論述了光源與投影物體之間的物理性質(zhì)之后，接著論述了光源、投影物體與物體的投影三者之間的關(guān)系。

《經(jīng)下》：“景二。說在重?！?/p>

《經(jīng)說下》：“景二，光夾。一，光一。光者，景也?！?/p>

此條所及，進(jìn)一步論述了光線與成影之間的關(guān)系，較上條更進(jìn)了一步。“一”，謂光線唯一，《經(jīng)說下》末句：“光者，景也”，此景字如“景不徙，說在改為”，解釋為光義。此條亦在論述光源、物體以及投影三者地位與關(guān)系，略具一斑，而對于認(rèn)識光為直線的觀念，亦可其端緒。

2.2 《經(jīng)》、《經(jīng)說》論述投影幾何的性質(zhì)

毋庸置疑，《墨子》所論投影幾何的基本概念與現(xiàn)代投影理論的思想方法是一致的。今天，人們在研究物體的形狀、大小及相對位置等幾何性質(zhì)時，是用光線照射物體，在某個平面；如地面、墻壁等上得到的影子叫做物體的投影(projection)，照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面。有時光線是一組互相平行的射線，例如太陽光或探照燈光的一束光中的光線。由平行光線形成的投影是平行投影(parallel projection)，由同一點(點光源發(fā)出的光線)形成的投影叫做中心投影(center projection)。投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影。投影線不垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做斜投影。物體投影的形狀、大小與其相對投影面的位置和角度有關(guān)。陰影理論是假定在光線的照射下，平面上有一部分因被物體阻擋，光線照射不到，則將這部分圖形，稱為物體落在平面上的影。影在輪廓線為影線，影是由于光線被物體向光的一面擋住而產(chǎn)生的，因此，面向光的一面與背向光的一面的分界線的影，就是影的輪廓線。無論是陰影，或是投影，都必須具備光源，及被投影的物體和投影所在的平面?！赌印氛撌鐾队拔矬w與投影光源——即投影中心的關(guān)系，以及投影空間位置、大小、及其實驗的結(jié)果，如《經(jīng)下》及《經(jīng)說下》所云。

《經(jīng)下》云：“景之小大，說在地缶遠(yuǎn)近?！?/p>

《經(jīng)說下》云：“景：木柂，景短、大；木正，景長小。大小于木，則景大于木。非獨小也。遠(yuǎn)近?！?/p>

“木”即木表或標(biāo)木，用以作實驗以成像的物體。孫詒讓(1848—1908年)《墨子閒詁》解釋：“地”當(dāng)為“柂”，柂即迤之假字?！皷薄罢蔽恼鄬Α！稜栄拧め層?xùn)》，“迤邐，旁行也?！碑呫?1730—1797年)云：“木柂即木斜也”?！罢f在地缶遠(yuǎn)近”中的“缶”字，亦“正”字之誤?！赌印吩诖岁U述了光源與物體的位置關(guān)系，從而決定投影之大小的原理及其規(guī)律；即視點與物體的位置變化，確定被投影的物體在投影面上的形狀。

《經(jīng)下》云：“景之小大”，言投影之短長。與《經(jīng)說下》中的“景短大”、“影長小”之“短”“長”兩字相應(yīng)?！肮庑∮谀尽闭?，光之形體小于木也。景大于木者，即投影之形狀大于木也。最后的“小”字與“光小于木”之“小”字同義。“經(jīng)說下”之“非獨小木”，景亦大于木?！斑h(yuǎn)近”為“木遠(yuǎn)，景短大；木近，景長小”。木遠(yuǎn)，木近者，木遠(yuǎn)于或近于光的位置。遠(yuǎn)則小，近則大。木正者，在與地垂直平面中，木與光線成正交。木柂者，不同于木正之方向。

《墨子》中這條原理可用數(shù)學(xué)予以證明：設(shè)光源自定點方向，投射于地平面上，與地平線成夾角。木竿以為中心，在平面中轉(zhuǎn)動，畫成一半圓形如12，木竿之投影，即在上長短變化。設(shè)木竿與地平面所成之角為，則其在上的投影為。如圖11所示。

圖11 《墨子》投影理論的數(shù)學(xué)原理

∵D=D–D=–

D=D=–，即平行線間的內(nèi)錯角相等。

三角形內(nèi)角和為p

∴D=p–D–D=p–(–)–=p–

∴代入式(1)，得

以上所述實驗，與《墨子》中“柂，短；正長”的論述，適相吻合。

有光源如，其形體小于木竿，如圖12所示，置投影面于其后，則得投影為ˊˊ恒較實物為大，故曰“光小于木，景大于木”。反之，若光源大于木竿，如圖13所示，則投影面上所得之投影ˊˊ亦大于木竿，雖其本影小于CD。若投影面愈向后移，則本影亦可大于。故曰“光大于木，景亦大于木”[8]。

圖12 《墨子》“光小于木，景大于木”示意圖

圖13 《墨子》“光大于木，景亦大于木”示意圖

在以上的論述中，不論小于或大于，投影面與光源間之距離若一定，則愈遠(yuǎn)于，投影ˊˊ愈短；故半影ˊˊ部分愈小，即影色愈深。反之，愈近于，則投影ˊˊ愈長，而半影ˊˊ部分愈大，即影色愈淺。故曰：“木柂，影短大；木近，景長小”。

《經(jīng)說下》云：“大小于木，則景大于木。非獨小也。遠(yuǎn)近”中的“遠(yuǎn)近”二字亦為省略句，該句意為：“遠(yuǎn)近亦同?！比魧⒃摼溲a(bǔ)充完整，當(dāng)為：“光木遠(yuǎn)，則景??；光木近，則景大?！币饧矗骸肮庠磁c標(biāo)木距離遠(yuǎn)，則所成之像小；光源與標(biāo)木距離近，則所成之像大?！笨芍?，墨子的闡述，是建立在視點與投影物體、投影面相應(yīng)的比例關(guān)系之上，《墨子》論中心投影及其性質(zhì)，見表1[9]。

表1 《墨子》論中心投影及其性質(zhì)

由是觀之，墨子對投影幾何的論述，已涉及視點與物體的位置變化確定被物體在投影面上的形狀——這一原理及其規(guī)律?！督?jīng)下》與《經(jīng)說下》前部分，講標(biāo)木斜正與成像大小的關(guān)系；中間部分，講光源大小與成像大小的關(guān)系；后部分，講光源和物體——標(biāo)木距離的遠(yuǎn)近與成像大小的關(guān)系，前后內(nèi)容非常統(tǒng)一?！熬爸〈?，說在地缶遠(yuǎn)近”，基于平行投影，用平行光束來說明投影關(guān)系，太陽光為天然平行光束之光源，平行投影是在一束平行光線照射下形成的投影。“木柂，景短大；木正，景長小?！敝v的是中心投影，有一光源和一個物體，光源是以分散的方式照射到物體上的投影，這就是中心投影的原理。

故本條《經(jīng)說下》之意為：標(biāo)木傾斜，則所成之投影短而濃寬；標(biāo)木正立，則所成之投影長而淡窄。光源小于標(biāo)木，那么所成的投影就大于標(biāo)木本身；但是，光源不會獨獨小于標(biāo)木，如果光源大于標(biāo)木，那么所成的投影就小于標(biāo)木本身。光源與標(biāo)木距離遠(yuǎn)，則所成之投影?。还庠磁c標(biāo)木距離近，則所成之投影大。

《墨子》中論及投影的生成，為光學(xué)諸條之首，且開宗明義，投影之定義，光源與投影的關(guān)系，淺顯明了，與現(xiàn)代投影理論中投影形成的三條件，正相吻合。盡管《墨子》中未及圖解法來解決空間幾何圖形的作圖問題，但其所囊括了投影幾何以及畫法最基本的概念，是《墨子》那個時代對投影理論認(rèn)識成果的反映。

3 《墨子》中有關(guān)制圖工具的記載

圖與圖樣是語言以外最重要的傳遞信息的方式，圖學(xué)作為工程技術(shù)的基礎(chǔ)語言，可投射人們的想象于真實世界，也就是說圖與圖樣可將工程師的想象，實現(xiàn)于真實世界里。而實現(xiàn)這一過程的關(guān)鍵就是制圖，而在制圖的過程中，常用的繪圖工具是保證繪圖準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)，也是衡量繪圖水平的重要方面。正確地使用繪圖工具是工程技術(shù)人員必須具備的基本技能，也是學(xué)習(xí)和鞏固制圖學(xué)理論知識的重要方法。在圖學(xué)發(fā)展的歷史上，無論東方還是西方，都是如此。

《墨子》中有關(guān)古代繪圖工具的“規(guī)”與“矩”，記載詳實，出現(xiàn)頻率較高，這在先秦文獻(xiàn)中，是不多見的。雖《墨子》的文字，人稱難讀，但論及其“規(guī)”與“矩”，條理嚴(yán)密，邏輯性強(qiáng)；其書中，“規(guī)”字共十一見，“矩”字共十見：俱出現(xiàn)于“法儀”、“天志”、“經(jīng)說”諸篇之中。其云：

《墨子·法儀》第四，子墨子曰：“天下從事者不可以無法儀，無法儀而其事能成者無有也。雖至士之為將相者，皆有法，雖至百工從事者，亦皆有法，百工為方以矩，為圓以規(guī)，直以繩，正以縣?！?/p>

《墨子·天志上》第二十六，子墨子言曰：“我有天志，譬若輪人之有規(guī)，匠人之有矩，輪匠執(zhí)其規(guī)矩，以度天下之方圜，曰：‘中者是也，不中者非也?！裉煜轮烤又畷豢蓜佥d，言語不可盡計，上說諸侯，下說列士，其于仁義則大相遠(yuǎn)也。”

《墨子·天志中》第二十七：“是故子墨子之有天之，辟人無以異乎輪人之有規(guī)，匠人之有矩也。今夫輪人操其規(guī)，將以量度天下之圜與不圜也，曰：‘中吾規(guī)者，謂之圜；不中吾規(guī)者，謂之不圜。’是故圜與不圜，皆可得而知也。此其故何？則圜法明也。匠人亦操其矩，將以量度天下之方與不方也，曰：‘中吾矩者，謂之方；不中吾矩者，謂之不方?！且苑脚c不方，皆可得而知之。此其故何？則方法明也?！?/p>

《墨子·天志中》第二十八：“故子墨子置立天之以為儀法，若輪人之有規(guī)，匠人之有矩也。今輪人以規(guī)，匠人以矩，以此知方圜之別矣。是故子墨子置立天之，以為儀法?！?/p>

《墨子·經(jīng)說上》第四十二：“圜：規(guī)寫支也?！?/p>

《墨子·經(jīng)說上》第四十二：“法：意、規(guī)、員三也，俱可以為法?！?/p>

《墨子·經(jīng)說上》第四十二：“方：矩見支也?！?/p>

由茲可知，《墨子》所載“規(guī)”、“矩”，其意有二：其一、作為繪圖的工具“規(guī)”。其二、“矩”與作為規(guī)范與標(biāo)準(zhǔn)的“規(guī)”與“矩”。

3.1 作為繪圖的工具“規(guī)”與“矩”

作為繪圖工具的“規(guī)”與“矩”，在先秦時期已經(jīng)是人所周知的制圖工具，墨子所云“中吾規(guī)者，謂之圜；不中吾規(guī)者，謂之不圜”，“為方以矩，為圓以規(guī)，直以繩，正以縣”，反映了當(dāng)時使用繪圖工具的事實。

在幾何里，被限定用直尺和圓規(guī)畫圖，稱為尺規(guī)作圖，最基本、最常用的尺規(guī)作圖，稱基本作圖。由于只用幾種基本尺規(guī)作圖的方法就可完成一大類圖形的制作，也就是說以形為核心，綜合地、巧妙地融合幾何、數(shù)學(xué)進(jìn)行平面幾何作圖的問題，故最能將各學(xué)科的長處融合在一起，尺規(guī)作圖的畫法本質(zhì)上是一種“形計算”。因此，尺規(guī)作圖能夠反映一個時代幾何發(fā)展水平。

《墨子》同時代的曾侯乙墓中出土文物的幾何作圖，足以代表墨子同時代尺規(guī)作圖的高度成就；曾侯乙器物中的尺規(guī)作圖，不僅有嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)幾何作圖，而且還有大量的非標(biāo)準(zhǔn)幾何作圖，如五等分圓周的近似幾何作圖，其繪制之精，畫法之嚴(yán)，線條之準(zhǔn)；即使二千五百年以后觀之，仍令人嘆為觀止！這是比曾侯乙晚一百多年的古希臘尺規(guī)作圖遠(yuǎn)遠(yuǎn)所不能企及的?？v覽古今，對比中西，至今都沒有看到古希臘時期有象曾侯乙墓那樣的近似幾何作圖與非標(biāo)準(zhǔn)幾何作圖。

3.2 作為規(guī)范與標(biāo)準(zhǔn)的“規(guī)”與“矩”

作為規(guī)范與標(biāo)準(zhǔn)的“規(guī)”與“矩”。如《天志》諸篇之中，《墨子》不僅詳細(xì)地論述了古代作圖工具——“規(guī)”與“矩”，以及用“規(guī)”與“矩”測圓與不圓、方與不方的事實。而且以規(guī)矩之用，比喻標(biāo)準(zhǔn)法度，以喻“為政之道”、“為事之法”、“為人之儀”；這在西方的科技文獻(xiàn)中是不多見的。

即令是科學(xué)技術(shù)日益發(fā)達(dá)的今天，任何研究項目、施工工程，也是沒有規(guī)矩，不成方圓的?！赌印吩趶?qiáng)調(diào)規(guī)矩所云：“天下從事者不可以無法儀，無法儀而其事能成者無有也”，如同今日強(qiáng)化圖繪標(biāo)準(zhǔn)化建設(shè)的重要性一樣。圖和圖樣作為科學(xué)、工程、藝術(shù)等的交流語言，一種傳遞構(gòu)想與交換知識的工具，需要遵循一定的規(guī)范與標(biāo)準(zhǔn)。圖形標(biāo)準(zhǔn)化支持人類創(chuàng)意的交流，其出自學(xué)科創(chuàng)新，又不斷地促進(jìn)學(xué)科創(chuàng)新，也作為圖學(xué)的成果及共享展現(xiàn)，因此，“其于仁義則大相遠(yuǎn)也?！边@也是為什么《墨子》成為古代繪圖技術(shù)重要文獻(xiàn)之一的原因所在。

4 結(jié)束語

(1)《墨子》中圖學(xué)的內(nèi)容，表現(xiàn)了中國古代科學(xué)技術(shù)重視幾何學(xué)、圖學(xué)的學(xué)術(shù)傳統(tǒng)，《墨子》在圖學(xué)方面的實踐及其對圖學(xué)理論研究的嘗試，反映了中國人的科學(xué)探索精神。今天，即令是計算機(jī)的介入，圖與圖樣作為工程技術(shù)語言的地位，并沒有改變，乃至制圖、讀圖、圖紙的信息共享等的理論、方法與技術(shù)，現(xiàn)在仍需要圖學(xué)去承擔(dān)。因此，《墨子》在圖學(xué)方面表現(xiàn)出的智慧與成就，仍然值得今人借鑒。梁啟超[10](1873—1929年)在《墨經(jīng)校釋·自序》中稱：“在吾國古籍中，欲求與今世所謂科學(xué)精神相懸契者，《墨經(jīng)》而已矣，《墨經(jīng)》而已矣”；絕非虛言。

(2) 從《墨子》的圖學(xué)實踐以及圖學(xué)理論可以看出：墨子及其學(xué)派研究幾何學(xué)的概念，并不是打算用演繹推理的辦法去證明任何幾何定理，而是探討投影幾何與測量有關(guān)的事實；這種思想方法一直影響著中國的文化與科技的發(fā)展。然而，中國古代的圖學(xué)及其繪制技術(shù)；沒有《墨子》所代表的古代圖學(xué)家們對幾何學(xué)、投影幾何學(xué)的認(rèn)識及其理論的積淀，要取得這些圖學(xué)成果，同樣也是不可能的。

(3) 學(xué)術(shù)研究追求學(xué)術(shù)的發(fā)展與超越。對《墨子》圖學(xué)的考察，可以重新認(rèn)識與定位圖學(xué)的歷史地位及其作用?！赌印纷鳛橄惹貢r期墨家學(xué)派的一部著作匯集，不僅有相當(dāng)一部分論述自然科學(xué)和生產(chǎn)技術(shù)的內(nèi)容，譬之力學(xué)、幾何學(xué)、數(shù)學(xué)、光學(xué)、測量學(xué)等方面，這些專業(yè)理論知識，“自相挹注”，都有具體的論述和科學(xué)的總結(jié)。《墨子》一書中，關(guān)于圖學(xué)及其基本理論的內(nèi)容，其文字雖簡賅，其詞語古雖奧，但《墨子》中記載的這些文字，畢竟是對古代圖學(xué)實踐的理論探索，實是先秦文獻(xiàn)中所沒有的，同時，也是同時期西方科技文獻(xiàn)中沒有的。這也使《墨子》成為中國文化典籍中第一部科學(xué)史、第一部技術(shù)思想史、乃至第一部圖學(xué)史的著作而當(dāng)之無愧。

[1] 湖北省博物館, 北京工藝美術(shù)研究所. 戰(zhàn)國曾侯乙墓出土文物圖案選[M]. 武漢: 長江文藝出版社, 1984: 15-59, 87-89.

[2] 湖北省博物館.曾侯乙墓[M]. 北京: 文物出版社, 1989: 167-175, 329-330.

[3] 湖北省荊沙考古隊. 包山楚墓[M]. 北京: 文物出版社, 1991: 64, 112, 194.

[4] 譚戒甫. 《新編諸子集成》墨辯發(fā)微(第一輯)[M]. 北京: 中華書局, 1976: 136-144.

[5] 孫詒讓. 墨子后語上, 載《墨子閒詁》, 《諸子集成》(第四輯)[M]. 北京: 中華書局, 1954: 13-21.

[6] 李約瑟. 《中國科學(xué)技術(shù)史》(第三卷): 數(shù)學(xué)[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1978: 201-214.

[7] 張世鈞等編譯. 投影幾何學(xué)[M]. 沈陽: 東北教育出版社, 1951: 6-36.

[8] 錢臨照: 釋墨經(jīng)中光學(xué)力學(xué)諸條。載方勵之主編:科學(xué)史論集[M]. 合肥: 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社, 1987: 1-36.

[9] 徐希燕. 墨學(xué)研究[M]. 北京: 商務(wù)印書館, 2001: 187-189.

[10] 梁啟超. 墨經(jīng)校釋[M]. 北京: 商務(wù)印書館, 1922: 1-3.

The Achievements and Scientific Value of Mo-Tse in the Theory of Graphics and Geometry

LIU Keming

(School of Humanities, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan Hubei 430074, China)

“Mo-tse” is the first systematic exposition of the theory of knowledge and science and technology in the history of science and technology in ancient China. “Mo-tse” records show that: drawings, drawings and words and figures play an irreplaceable role on the human social progress and the development of science and technology. However, it is still a subject that needs to be deeply and systematically to discuss “Mo-tse”, especially for the definition and status of the graph and descriptive geometry theory. Through the investigation of “Mo-tse” about basic concept and theories on graphics, this article summarized graphics mapping in practice and theories, and reflect the scientific exploration spirit.

drawing; graph theory; Mo-tse

O 110.11

10.11996/JG.j.2095-302X.2018010148

A

2095-302X(2018)01-0148-11

2017-04-19；

2017-07-10

華中科技大學(xué)文科專項基金項目

劉克明(1950–)，男，湖北武漢人，工學(xué)博士。主要研究方向為中國科技史、中國圖學(xué)史。E-mail：liukeming@ hust.edu.cn