數(shù)列極限的求解方法探討

楊 雄

（婁底職業(yè)技術(shù)學(xué)院會計(jì)學(xué)院，湖南婁底417000）

極限是高等數(shù)學(xué)中最基本的一個概念，極限以及極限的思維方法貫穿高等數(shù)學(xué)的始終，在微積分中，如函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性、微分、定積分等幾乎所有的概念都是通過極限來定義的，所以準(zhǔn)確理解極限的概念，掌握極限的計(jì)算方法是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而數(shù)列極限又是極限的起點(diǎn)，因此對數(shù)列極限的求解進(jìn)行分析探討具有很重要的作用。

1 應(yīng)用數(shù)列極限定義求數(shù)列極限

定義［1］若對任意的ε＞0都能找到自然數(shù)N，使當(dāng)n≥N，誤差不等式成立，則稱a是數(shù)列≥xn≥的極限，記作：

運(yùn)用數(shù)列極限的定義可求解數(shù)列的極限，關(guān)鍵是找到N與ε的關(guān)系式，保證成立，常用的方法是放縮法。

注（1）極限定義中的ε是任意小的正數(shù)，正因?yàn)棣诺倪@個性質(zhì)，才可以表示無限接近于0；另一方面，一旦給出了ε，ε就被相應(yīng)地確定了下來，在這個意義上，ε，2ε，等都是等價的。

（2）極限定義中的N不是唯一的，也不一定非要是整數(shù)，只要存在這樣的正數(shù)N即可。

（3）幾何意義：在鄰域u（a，ε）之外至多有數(shù)列xn姨姨的有限項(xiàng)。

分析在不能直接求出數(shù)列xn姨姨的極限時，可先適當(dāng)放大為 bn，再解較易的不等式 bn＜ε，進(jìn)而可得即求得數(shù)列極限。

2 應(yīng)用數(shù)列求和求數(shù)列極限

裂項(xiàng)消項(xiàng)、錯位相減消項(xiàng)等方法是數(shù)列求和的常用方法，若先能求出數(shù)列前n項(xiàng)的和，進(jìn)而能求出n→∞時的數(shù)列極限。

阜外醫(yī)院相關(guān)負(fù)責(zé)人介紹，傳統(tǒng)模式下，醫(yī)院物資處庫管員在HIS系統(tǒng)對耗材進(jìn)行科室調(diào)撥，再由配送人員配送到各個科室使用或予以儲存，物流管理方面較為倚重人力。

即

3 應(yīng)用兩面夾定理求數(shù)列極限

定理設(shè)n充分大時，yn≤xn≤zn，若數(shù)列yn→→和zn→→有相同的有限極限a，則數(shù)列xn→→的極限存在且等于a［2］。求解某些較復(fù)雜的數(shù)列極限，此定理很有用，但要嚴(yán)格遵守它的使用條件

例 5 設(shè) ai≥0，i=1，2，3…，p，證明

證明 不失一般性，可假設(shè) a1，a2，…，ap中的最大數(shù)為 a1，于是 a1n≤a1n+a2n+a3n+…+apn≤pa1n，由此可得：

4 應(yīng)用Stolz定理求數(shù)列極限

Stolz定理［3］設(shè) a1＜a2＜…＜an＜…且若極限（a有限或±∞，但 ∞ 不可），則

5 應(yīng)用數(shù)列的單調(diào)性及遞推關(guān)系式求數(shù)列極限

例 8［4］已知

解因?yàn)閤n姨姨單調(diào)遞增且xn≤2，可知x1≤x2≤2，設(shè)xk≤xk+1≤2，則即證明數(shù)列xn姨姨單調(diào)遞增且xn≤2，因此存在，設(shè)此極限為a，對等式兩邊平方再取極限可得：a2=a+2，解此方程可得：a=-1或a=2，但故 a≥0，所以

求數(shù)列極限的方法靈活多變，本文通過數(shù)列極限的定義、數(shù)列的求和、兩面夾定理、Stolz定理、數(shù)列單調(diào)性及遞推公式對數(shù)列極限的解法進(jìn)行了探討，還有定積分、無窮小、級數(shù)等都可應(yīng)用到數(shù)列極限的求解，并且已有文獻(xiàn)［5-6］進(jìn)行了研究。數(shù)列極限的解法探討意在對極限的學(xué)習(xí)提供參考，當(dāng)然在求解具體題目時要注意靈活運(yùn)用，平時要多積累、多思考推敲。

［1］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.4版.北京:高等教育出版社,2015.

［2］塔懷鎖.數(shù)列極限的幾種特殊求解方法［J］.北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2011,10（2）:72-74.

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［5］余曉娟.數(shù)列極限求解方法的研究［J］.保山學(xué)院學(xué)報,2016（2）:16-65.

［6］景慧麗.《高等數(shù)學(xué)》課程中極限求解方法探討［J］.廊坊師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）,2016（2）:110-111.