有界閉域上二元連續(xù)函數(shù)有界性的證明

羅華明+彭長文+鄭云+金開龍+楊景+楊珊

摘 要：閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的有界性定理有多種證明方法，其中一種方法是利用閉區(qū)間套定理從反面去證明.受此啟發(fā)，本文主要利用閉域套定理來證明有界閉域上二元連續(xù)函數(shù)的有界性定理.

關(guān)鍵詞：二元連續(xù)函數(shù)；有界性定理；閉域套定理

一、 引言

在19世紀(jì)，連續(xù)函數(shù)的概念是人們探討的主要對象，波爾查諾、柯西和魏爾斯特拉斯等人給出了連續(xù)函數(shù)的定義。波爾查諾是第一個(gè)開始研究連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)家，也是第一個(gè)用極限概念給出函數(shù)在某個(gè)區(qū)間連續(xù)的恰當(dāng)定義的。在柯西、波爾查諾、海涅等一大批數(shù)學(xué)家的研究下，連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和與其相關(guān)的定理都已經(jīng)形成了一個(gè)比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)南到y(tǒng)。一元連續(xù)函數(shù)有許多重要的性質(zhì)，如：一元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上有界，并且存在最大值和最小值，以及一元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上是一致連續(xù)的。在引入二元函數(shù)的概念后，一元連續(xù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)也就理所當(dāng)然地被平行推廣到二元連續(xù)函數(shù)上。目前，在國內(nèi)也有許多的數(shù)學(xué)愛好者對連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究，如在文獻(xiàn)中，都有對一元和二元連續(xù)函數(shù)進(jìn)行比較系統(tǒng)的研究，還有麗水學(xué)院數(shù)理學(xué)院胡亞紅老師在文獻(xiàn)中研究了閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的有界性，鄂州職業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)系姜愛國老師在文獻(xiàn)中對二元函數(shù)連續(xù)性進(jìn)行了探討。

學(xué)完文獻(xiàn)《數(shù)學(xué)分析講義》下冊中的“多元函數(shù)的極限與連續(xù)”一章后，通常會提出這樣的問題：“文獻(xiàn)《數(shù)學(xué)分析講義》上冊中已經(jīng)用閉區(qū)間套定理證明了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理，那么我們是否可以用閉域套定理證明有界閉域上二元連續(xù)函數(shù)的有界性定理？”本文就這個(gè)問題進(jìn)行研究，給出用閉域套定理直接證明有界閉域上二元連續(xù)函數(shù)的有界性定理的證明方法。

三、 討論與總結(jié)

上述用閉域套定理對有界閉域上二元連續(xù)函數(shù)的有界性定理進(jìn)行證明，從一側(cè)面反映了此證明與用閉區(qū)間套定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理有異曲同工之妙，但值得注意的是：利用閉區(qū)間套定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理時(shí)，只需要將該閉區(qū)間不斷地二等分，就可以得到一列閉區(qū)間套；利用閉域套定理對閉域上二元連續(xù)函數(shù)的有界性定理進(jìn)行證明時(shí)，我們應(yīng)該將該閉域幾等分，如何去等分卻是個(gè)難題。

（1） 一般證明連續(xù)函數(shù)有界性的問題通常采用反證法；

（2） 當(dāng)一個(gè)閉域不停地進(jìn)行劃分時(shí)，不僅可以得到一個(gè)閉域套，還可以得到一閉域列{Dn}。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉玉璉等.數(shù)學(xué)分析講義（第五版，上冊）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版，下冊）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]胡亞紅.用實(shí)數(shù)完備性證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性[J].麗水學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，32（5）：8-10.

[4]姜愛國.二元函數(shù)連續(xù)的探討[J].鄂州大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，18（2）：12-14.

作者簡介：

羅華明，彭長文，鄭云，金開龍，楊景，楊珊，貴州省貴陽市，貴州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院。endprint