終是關(guān)聯(lián)關(guān)不住，賢綱秋水做文章

劉俊明

我以為，物理學(xué)中最難的領(lǐng)域是凝聚態(tài)物理。基本粒子物理、核物理和高能物理，也許在學(xué)術(shù)上很難，但她們距離口味不同的百姓相當(dāng)遠(yuǎn)，還能夠“唯心主義”地發(fā)揮猜想的空間較大，受外部非科學(xué)的壓力較小。凝聚態(tài)物理因?yàn)閹讉€(gè)特征，一直以來“滿是光芒盡是傷”：(1)體系對(duì)象廣泛，學(xué)者們素有喜新厭舊、見異思遷的秉性，所以凝聚態(tài)的新東西多、新故事好。(2)研究工具是文明富裕的單調(diào)增函數(shù)，過去幾十年，很多研究機(jī)構(gòu)裝備齊全先進(jìn)，所以凝聚態(tài)物理追逐的氣氛很濃。(3)下盤很扎實(shí)、范式也相對(duì)固定，繼續(xù)長(zhǎng)高變得相對(duì)困難。(4)接地氣，在街頭跟百姓秀凝聚態(tài)的功用并不費(fèi)力，但也常常因?yàn)槲覀兛诓挪患鸦蛐母邭獍炼Ｊ艿貧庋瑳_，受夾板氣的風(fēng)景也不少。(5)在凝聚態(tài)中討生活的人多，有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明物理學(xué)家有70%在凝聚態(tài)領(lǐng)域吃草產(chǎn)奶。也因?yàn)槿绱?，凝聚態(tài)物理牛人輩出，上頂著物理學(xué)若干基本問題的天，下接著百姓平民生活一丁一卯的地，經(jīng)常是望風(fēng)得雨、洗盡鉛華又一春的節(jié)奏。

這是一段發(fā)生在2011年的歷史小故事，是凝聚態(tài)物理之滄海一粟。

量子凝聚態(tài)物理關(guān)注電子電荷、自旋和軌道自由度，更關(guān)注這些自由度因?qū)ΨQ破缺導(dǎo)致的新物態(tài)和新效應(yīng)，分支繁雜、領(lǐng)域深邃、縱橫交錯(cuò)，其中一個(gè)分支是關(guān)聯(lián)量子物理。因?yàn)橐腙P(guān)聯(lián)（哈伯德U），這些自由度相互競(jìng)爭(zhēng)調(diào)控，蘊(yùn)含難以測(cè)度的新物理與新現(xiàn)象，也因此得寵至今。關(guān)聯(lián)量子凝聚態(tài)物理的出發(fā)點(diǎn)如圖1所示，其中左圖是量子凝聚態(tài)物理的主要領(lǐng)域，右圖顯示關(guān)聯(lián)在其中的重要作用！只是，這兩個(gè)圈中任何一個(gè)名詞都令人眩暈，當(dāng)這么多“物理”攪合在一起時(shí)，“直教人生死相許”就變成一種日常生活。

FIG.1量子凝聚態(tài)物理中關(guān)聯(lián)（哈伯德U）的沙礫：一沙一世界、一圓萬重天。

量子凝聚態(tài)的另外一個(gè)分支自然是量子拓?fù)湮锢砹恕＿@一領(lǐng)域過去幾年喧囂塵上，看君聽得看得太多，自有疲勞之感。因此，看君可略去以下三萬字不讀。我只說其中與自旋–軌道耦合(SOC)相關(guān)的拓?fù)淞孔討B(tài)。從一般Mott絕緣體到量子Hall效應(yīng)、再到量子自旋Hall效應(yīng)，引入SOC使得固體電子系統(tǒng)中拓?fù)淞孔酉嚅_始浮現(xiàn)出來，最近幾年誕生了一系列重要結(jié)果，而且成果產(chǎn)出目前尚未到達(dá)飽和，如圖2所示。2011年之前，拓?fù)淞孔討B(tài)最重要的角色是拓?fù)浣^緣體 (TI)，而拓?fù)涑瑢?dǎo)體則是展現(xiàn)拓?fù)浣^緣體更加令人神往的分支，賺足了眼球，直至今日依然沒有定論。拓?fù)浣^緣體源于SOC較強(qiáng)的Mott絕緣體，在體系表面處因?yàn)榕徴婵眨臻g對(duì)稱性破缺）而在帶隙中形成兩條與自旋相關(guān)的能帶，如圖2右邊所示。如果在動(dòng)量空間求積此能帶，結(jié)果是一個(gè)拓?fù)鋽?shù)（如拓?fù)潢悢?shù)），是為拓?fù)鋺B(tài)。這里，吸引我等百姓眼球的無非兩點(diǎn)：(1)兩條能帶在帶隙中交叉（紅線和藍(lán)線），形成一個(gè)狄拉克交叉點(diǎn) (Dirac point)，因?yàn)榇它c(diǎn)附近的能帶色散關(guān)系接近是線性的，體系表面處載流子遷移率會(huì)很高。這個(gè)很有用if any。(2)這一拓?fù)鋺B(tài)滿足時(shí)間反演對(duì)稱性，因此對(duì)磁性不敏感，或者說對(duì)磁雜質(zhì)等很 robust。這個(gè)也很有用if any。這兩個(gè)特性賦予了拓?fù)浣^緣體明確的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)，非常好地體現(xiàn)了凝聚態(tài)物理的特點(diǎn)：很學(xué)術(shù)（陽(yáng)春白雪），又很有潛在應(yīng)用（下里巴人）！

不過，做材料的人知道，如果這個(gè)表面態(tài)必須是幾何學(xué)上的二維表面，應(yīng)用起來未必容易，因?yàn)閷?shí)際材料表面要處理到什么程度才算是二維表面態(tài)？這大概是目前利用TI表面態(tài)的器件還待字閨中的主要原因吧？

FIG.2自旋–軌道耦合SOC觸發(fā)的幾種量子物態(tài)：從Mott絕緣體到量子Hall態(tài)，又到量子自旋Hall態(tài)，再到拓?fù)浣^緣體TI態(tài)。

FIG.3 2011年前后拓?fù)淞孔討B(tài)的框架。具有拓?fù)浣^緣體態(tài)的體系具有(1)強(qiáng)SOC，(2)滿足時(shí)間反演對(duì)稱（也就是非磁性），(3)體態(tài)是絕緣體。那時(shí)候的物理坐標(biāo)就是圖中的縱軸，即SOC的大小。物理學(xué)家都是人精，一旦確立這些觀點(diǎn)，接下來對(duì)拓?fù)浣^緣體是要?dú)⒁獎(jiǎng)?，一目了然。科學(xué)問題是：(1)如果引入哈伯德關(guān)聯(lián)U會(huì)怎么樣？(2)如果引入磁性破壞時(shí)間反演對(duì)稱會(huì)怎么樣？(3)體態(tài)能不能無能隙？即體態(tài)必須得是絕緣體嗎？

FIG.4 2011年，向拓?fù)淞孔討B(tài)中加入量子關(guān)聯(lián) U的嘗試(Yu S L.et al,Phy.Rev.Lett.,107,11:010401)。上部顯示了(SOC,U)空間的理架構(gòu)和所研究的模型哈密頓。下部所示為SOC強(qiáng)度與U所在空間中的一系列量子態(tài)：SM-semi-metal,SL-spin liquid,TBI-topological band insulator,AF-antiferromagnetic。

我們回顧總結(jié)2011年前后對(duì)拓?fù)淞孔討B(tài)的認(rèn)識(shí)，大約就是圖3所示的樣子?，F(xiàn)狀和關(guān)鍵科學(xué)問題今天看來一目了然，但當(dāng)時(shí)未必是“竹外桃花三兩枝，春江水暖鴨先知”的，只是，自從世上有了精明過人的物理學(xué)家，“萎蒿滿地蘆芽短，正是河豚欲上時(shí)”就是必然。2011年南京大學(xué)的李建新課題組（于順利）和北京大學(xué)謝心澄老師合作，首先在一個(gè)基于單電子作用、可描述拓?fù)浣^緣體態(tài)的Kanee-Mele模型中引入量子關(guān)聯(lián)U，思路和模型哈密頓顯示于圖4上部。李建新他們解析這一新的哈密頓，獲得一系列準(zhǔn)粒子激發(fā)譜，展示了SOC強(qiáng)度和關(guān)聯(lián)強(qiáng)度U所在空間的量子相圖，如圖4下部。顯而易見，U的加入促使拓?fù)浣^緣體態(tài)向關(guān)聯(lián)量子態(tài)的轉(zhuǎn)變，預(yù)示出U對(duì)拓?fù)淞孔討B(tài)可能不是一個(gè)好的物理。當(dāng)然，如圖綠色箭頭所示，從U=0走向紫色的關(guān)聯(lián)量子區(qū)域，中間也經(jīng)歷了一些好的物理態(tài)，如TBI態(tài)、自旋液體態(tài)。這些中間態(tài)的存在提示U未必就一定是拓?fù)鋺B(tài)的死敵，為隨后萬賢綱粉墨登場(chǎng)埋下伏筆。

有了李建新謝心澄他們的第一步，再加上破壞時(shí)間反演對(duì)稱的磁性，就成為物理上的必然，如圖5左邊所示。由于拓?fù)浣^緣體的工作，我們?cè)缜耙呀?jīng)可以構(gòu)建圖5右邊的相圖。不過，看君別像我這般不知天高地厚、得意樂觀，這里的困難是難以衡量的。比如，要構(gòu)建一個(gè)含有SOC、U和M的哈密頓模型并能夠解析，本身就是一個(gè)很可能無解的課題，也許難住了諸如謝心澄這樣的凝聚態(tài)理論高手。凝聚態(tài)物理在這個(gè)時(shí)候會(huì)很懷念量子理論和統(tǒng)計(jì)物理勃發(fā)時(shí)代的大師們，他們那時(shí)恣意妄為、不拘一格，將凝聚態(tài)的下盤夯實(shí)到位，留給現(xiàn)在高手們的都是一些拓?fù)鋺B(tài)缺陷，已經(jīng)難以撼動(dòng)了。

FIG.5三個(gè)物理元素SOC、U和磁性M共存的體系蘊(yùn)含新的物理效應(yīng)。右邊是SOC和U空間的拓?fù)淞孔酉鄨D：CMR-龐磁電阻,Multiferroics-多鐵材料,topological matters-拓?fù)鋺B(tài)。

接下來，花開兩朵、各表一枝。

第一支是萬賢綱。他學(xué)地質(zhì)出身，研究生階段轉(zhuǎn)行學(xué)理論凝聚態(tài)物理。這種現(xiàn)象在南京大學(xué)是熱力學(xué)自發(fā)過程。我知道的還有朱詩(shī)亮、高興森等物理人，也是學(xué)地質(zhì)出身。他們有那種踏實(shí)用功的品質(zhì)，厚積而薄發(fā)，十年八年之后其理論功底反而比很多物理科班們更勝一籌。萬賢綱外形魁偉，但不修邊幅，是個(gè)地質(zhì)漢子的模樣，但內(nèi)心其實(shí)書生氣濃厚、性格耿直。這種性格大概很適合做理論。我認(rèn)為萬賢綱與其合作者一直在做的就兩件事：(1)發(fā)展第一性原理計(jì)算方法學(xué)，包括DMFT這種很難“顧名思義”的方法；(2)復(fù)雜關(guān)聯(lián)體系的磁有序。這是兩項(xiàng)非常重要、又損己利人的課題，但也為賢綱打下雄厚的理論基礎(chǔ)和培養(yǎng)出敏銳的物理感覺。這個(gè)過程持續(xù)了很長(zhǎng)時(shí)間，萬賢綱在慢慢走向45歲這個(gè)中國(guó)年輕優(yōu)秀學(xué)者都很恐懼的年齡，期間他的幾項(xiàng)工作雖然瞧不上PRL，但也沒有達(dá)成一展抱負(fù)的心愿。我用過去一首舊作來描繪賢綱的心境也許還算合適（圖6：蘇幕遮@晚秋）：

FIG.6蘇幕遮@晚秋：短秋疏，長(zhǎng)靜夜。獨(dú)寐書齋，獨(dú)對(duì)窗前月。暮色寒天驚落葉，不似飛花，更似花枯謝。硯閑愁，思冷闋。十載唐樓，且任余暉曳。今日夕陽(yáng)吾可舍？紙墨人生，一筆狂風(fēng)寫！

第二支是圖5這個(gè)框架。賢綱一直對(duì)復(fù)雜過渡金屬化合物的磁有序很感興趣，并的確頗有收獲。這個(gè)課題好像一直是他的保留曲目。2010年前后，他游蕩到5d氧化物體系，開始計(jì)算Y2Ir2O7這類強(qiáng)失措體系的磁基態(tài)。我們知道，這種燒綠石四面體堆砌體系的磁結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜。他花了很長(zhǎng)時(shí)間確定這個(gè)體系的基態(tài)是5d自旋指向全進(jìn)或全出(all in/all out)。萬賢綱隨后經(jīng)過細(xì)致深入的計(jì)算，得到了諸如圖7這樣的能帶結(jié)構(gòu)，并清晰地意識(shí)到了其中的反常，如圖題所述。這樣的結(jié)構(gòu)還不止一處，在三維動(dòng)量空間中零零落落有一些。值得注意的是，這里是體態(tài)、不是拓?fù)浣^緣體那種表面態(tài)。體態(tài)的導(dǎo)帶–價(jià)帶發(fā)生了物理學(xué)上的kiss，即形成了狄拉克點(diǎn)(Dirac point)。

這類狄拉克點(diǎn)與諸如石墨烯等狄拉克半金屬不同，令人極度疑惑不解。這種時(shí)候，一個(gè)學(xué)者的物理感覺就起到了關(guān)鍵作用。我的馬后炮分析當(dāng)然顯得得心應(yīng)手，問題是疑惑有了，答案還會(huì)遠(yuǎn)么！

疑惑在于：(1)這是一個(gè)體態(tài)Dirac點(diǎn)，因此是半金屬無疑。但kiss不發(fā)生在高軸也不發(fā)生在常見的主軸上，令人不解。(2)這是一個(gè)Dirac半金屬？這個(gè)體系是有磁性的，也就是說時(shí)間反演對(duì)稱性是破壞了的，怎么可能滿足時(shí)間反演對(duì)稱的四分量Dirac方程？(3)布里淵空間中這種體態(tài)有很多個(gè)，對(duì)本體系而言有24個(gè)之多，這是什么？

FIG.7燒綠石四面體堆砌結(jié)構(gòu)Y2Ir2O7化合物的電子結(jié)構(gòu)：左邊是U=0的電子結(jié)構(gòu)，它是一個(gè)金屬態(tài)。因?yàn)檫@是一個(gè)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)，加U是必然的。萬賢綱加U后的電子結(jié)構(gòu)顯示于右邊。這個(gè)結(jié)果令人費(fèi)解之處有二：(1)加U后電子結(jié)構(gòu)并沒有如常態(tài)物理那般打開能隙，這非常異常；(2)從能帶的對(duì)稱性來看，加U不但沒有打開能隙，反而使得能帶的宇稱(parity)出現(xiàn)了反轉(zhuǎn)。這是又一個(gè)反常的結(jié)果，意味著反常量子態(tài)的存在。

FIG.8燒綠石四面體堆砌體系Y2Ir2O7化合物電子結(jié)構(gòu)的三維細(xì)節(jié)。

FIG.9威爾半金屬(Weyl semimetal)拓?fù)潴w態(tài)的物理根源：（（上部）對(duì)于一個(gè) 1/2-spinor，在時(shí)間反演和空間（宇稱）反轉(zhuǎn)對(duì)稱性保持的前提下，半金屬態(tài)用四分量狄拉克方程描述。如果存在時(shí)間反演破缺或者宇稱破缺，狄拉克方程可以簡(jiǎn)化，體系會(huì)蛻變?yōu)樗^的威爾(Weyl)方程描述的一對(duì)半金屬態(tài)。這一對(duì)威爾態(tài)具有相反的手性，一個(gè)是左手性時(shí)另一個(gè)一定是右手性。（下部） 對(duì)應(yīng)地，一個(gè)狄拉克點(diǎn)就蛻化為布里淵空間中的一對(duì)威爾點(diǎn)。如果這一體系在布里淵空間存在有限邊界，則這一對(duì)威爾點(diǎn)一定會(huì)通過所謂的表面費(fèi)米弧(Fermi Arc)聯(lián)系起來。這些特征首次定義出一個(gè)新的量子拓?fù)鋺B(tài)—威爾半金屬(Weyl Semimetal)體態(tài)，并具有有限的費(fèi)米弧特征。事實(shí)上，在整個(gè)布里淵空間尋找，Y2Ir2O7中存在12對(duì)一共24個(gè)威爾點(diǎn)。

萬賢綱及其合作者帶著這些疑問，給出了如圖9所示的精彩答案(Wan X G,et al.Phy.Rev.B,2011,83:205101)。比較物理的闡述語(yǔ)言是：Weyl Semimetal的相關(guān)效應(yīng)應(yīng)該還在研究，它中間有g(shù)apless的拓?fù)浔Ｗo(hù)體態(tài)。一個(gè)時(shí)間T和宇稱P都不破缺的體系，只能存在Dirac形式的gapless態(tài)，它有四個(gè)自由度。而當(dāng)T、P同時(shí)破缺的時(shí)候，就會(huì)分裂成兩個(gè) Weyl費(fèi)米子。這時(shí)體態(tài)就成為Weyl半金屬。一個(gè)Dirac費(fèi)米子有四個(gè)自由度，在特定的表象下分解成各為兩個(gè)自由度的正能/負(fù)能或者正手性/負(fù)手性。Weyl費(fèi)米子就是在手性表象下的Dirac費(fèi)米子的正/負(fù)手性的部分，僅含有兩個(gè)自由度。一個(gè)Dirac point可以看做兩個(gè)手性相反的Weyl費(fèi)米子，Weyl Semimetal的拓?fù)浔Ｗo(hù)性之來源于破壞T或者P的對(duì)稱性，使Weyl費(fèi)米子在k空間分開，成為獨(dú)立的Weyl費(fèi)米子。

看君都知道，Weyl方程是德國(guó)知名數(shù)學(xué)物理學(xué)家Weyl從Dirac方程推演出來的，用于描述中微子。后來通過中微子振蕩實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)中微子有質(zhì)量，Weyl的預(yù)言未曾上陣就刀槍入庫(kù)馬放南山。Weyl半金屬是凝聚態(tài)物理借鑒高能和粒子物理的又一個(gè)事例，從此成為拓?fù)淞孔幽蹜B(tài)的一個(gè)新分支，至今依然如火如荼。不過，要驗(yàn)證賢綱預(yù)言的Y2Ir2O7這個(gè)體系是否存在Weyl半金屬態(tài)，實(shí)驗(yàn)上首先要獲取磁基態(tài)的樣品，這絕非易事。楊振寧先生聲言狄拉克的文章屬“秋水文章不染塵”一類。萬賢綱的Weyl半金屬態(tài)源于狄拉克，算是仰望狄拉克之蕓蕓晚輩，他的這一工作也有點(diǎn)“秋水文章”的味道，只是目前還真是“不染塵”的狀態(tài)，直到現(xiàn)在也未預(yù)言成真，雖然據(jù)說最近也有點(diǎn)苗頭。當(dāng)然，這里的“不染塵”并非鄧石如自題聯(lián)的那般“不染塵”。不久，中科院物理所幾位頂尖高手預(yù)言了空間反演對(duì)稱破缺體系也能夠?qū)崿F(xiàn)Weyl半金屬態(tài)，并很快找到TaAs這樣的精妙體系，最終發(fā)現(xiàn)Weyl半金屬存在于凝聚態(tài)之中。與此同時(shí)，美國(guó)一批名家學(xué)者也獨(dú)立報(bào)道了類似發(fā)現(xiàn)?？淳欢催^很多有關(guān)這一巨大進(jìn)展的科普文章，我在此就不再班門弄斧或王婆賣瓜了。

FIG.10 2014年拓?fù)淞孔幽蹜B(tài)的圖景。

FIG.11 CaTe化合物中拓?fù)?node-line半金屬態(tài)的能帶結(jié)構(gòu)，其中能帶閉合 loop和 M 點(diǎn)出的平坦 (flat)形態(tài)一目了然(來自萬賢綱課題組論文)。

到目前為止，除去物理上的意義，Weyl半金屬如何接地氣好像還是一個(gè)問題，也許在量子計(jì)算和新型信息表達(dá)方面有所期待。但無論如何，繼拓?fù)浣^緣體之后，Weyl半金屬拓?fù)淞孔討B(tài)的出現(xiàn)倒是給拓?fù)淞孔游锢碜鴮?shí)了凝聚態(tài)物理排頭兵的崗位。2014年有人總結(jié)了拓?fù)淞孔討B(tài)的新世界，如圖10所示，這里的右側(cè)和上部沒有邊界，顯示了開放的圖景，闡釋了“拓?fù)淙绱硕鄫?，引無數(shù)賢綱競(jìng)折腰”的模樣。過去幾年，國(guó)內(nèi)外拓?fù)淙溯氜D(zhuǎn)躊躇、夜不能寐，在尋找各種可能突破的途徑。

萬賢綱作為其中一員，也在左沖右突。最近，他和合作者開始關(guān)注新的拓?fù)鋺B(tài)。2012年前后，加州大學(xué)圣巴巴拉的Leon Balents等人曾經(jīng)提出過topological node-line semimetal量子態(tài)的理論方案，其中某個(gè)高對(duì)稱點(diǎn)處的能帶形成閉合的loop和平坦(flat)的形態(tài)，應(yīng)該是實(shí)現(xiàn)拓?fù)涑瑢?dǎo)一個(gè)有吸引力的方案。但Balents等人可能是因?yàn)樘６恍加诮拥貧猓瑢?duì)具體哪些體系能夠?qū)崿F(xiàn)這一node-line semimetal拓?fù)鋺B(tài)漠不關(guān)心，亦或是真的去找也很困難?，F(xiàn)在國(guó)內(nèi)外已經(jīng)預(yù)言了一些材料具有這一特征。賢綱及其合作者找到了一個(gè)更為簡(jiǎn)潔的體系 CaTe，成分和結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、制備合成也應(yīng)該不難，應(yīng)該能夠引起實(shí)驗(yàn)者關(guān)注，其能帶結(jié)構(gòu)如圖11所示。去年，萬賢綱課題組以“CaTe:a new topological node-line and Dirac semimetal”為題在《npj Quantum Materials》撰文，闡述 了他們?nèi)绾瓮ㄟ^計(jì)算來確認(rèn) CaTe就是 node-line semimetal(http://www.nature.com/articles/s41535-016-0005-4)?？淳绻敢?，可移步Du Yong-Ping（杜永平）等人2017年1月23日發(fā)表在《npj Quantum Materials》上的論文(http://www.nature.com/articles/s41535-016-0005-4)（閱讀下載都是免費(fèi)的）。