關(guān)于《復(fù)變函數(shù)論》教學(xué)改革的實(shí)踐研究

中原工學(xué)院理學(xué)院 王 鑫 焦成文

《復(fù)變函數(shù)論》是大學(xué)本科階段數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課程之一，其重要性不言而喻。20世紀(jì)以來，復(fù)變函數(shù)作為一個(gè)重要工具被廣泛地應(yīng)用在眾多領(lǐng)域，如理論物理、工程力學(xué)、流體力學(xué)和彈性理論等，并已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，如解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論、偏微分方程的初邊值問題和代數(shù)幾何理論等。近幾十年來，我國(guó)數(shù)學(xué)教育工作者對(duì)《復(fù)變函數(shù)論》課程的教材編寫和課程改革進(jìn)行了很多有益的嘗試和努力，然而教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式仍存在一些問題和弊端。為了適應(yīng)新形勢(shì)下的高等教育，實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)理論基礎(chǔ)知識(shí)和社會(huì)實(shí)踐能力強(qiáng)的大學(xué)生的目標(biāo)，有必要對(duì)這門課程的教學(xué)進(jìn)行一些改革的嘗試，下面從教學(xué)方法和課程建設(shè)兩方面來談下改革的內(nèi)容和思路。

一、教學(xué)方法改革

《復(fù)變函數(shù)論》教材由四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院鐘玉泉教授編寫，一般需要一學(xué)期共60學(xué)時(shí)完成，為了使學(xué)生能更好地理解和掌握教材中的知識(shí)點(diǎn)，需要對(duì)現(xiàn)有的教學(xué)方法作適當(dāng)改進(jìn)和調(diào)整。

1.類比教學(xué)。

《復(fù)變函數(shù)論》教材中的一些內(nèi)容，如復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的乘冪和方根是中學(xué)階段學(xué)過的內(nèi)容。還有一些內(nèi)容，如復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分、復(fù)級(jí)數(shù)的斂散性判定和解析函數(shù)的泰勒展開等和《數(shù)學(xué)分析》相關(guān)的內(nèi)容十分相近。因此，在講授這些內(nèi)容時(shí)，應(yīng)該多與學(xué)生高中所學(xué)的這部分內(nèi)容以及《數(shù)學(xué)分析》中對(duì)應(yīng)的內(nèi)容作類比，指出前后的承接關(guān)系和異同。

2.案例教學(xué)。

傳統(tǒng)的教學(xué)模式都是重理論輕應(yīng)用的填鴨式教育，學(xué)生往往忽略抽象的定理背后所隱藏的生動(dòng)的實(shí)例，也因此大多數(shù)學(xué)習(xí)這門課的學(xué)生都會(huì)覺得書上的定理證明和概念公式太多，從而對(duì)課程的學(xué)習(xí)失去興趣和信心。因此教師在講課過程中應(yīng)該多從例子入手，引出定理。例如，講授柯西-黎曼方程時(shí)，可以先列舉幾個(gè)解析函數(shù)，驗(yàn)證它們滿足柯西-黎曼方程，再通過幾個(gè)反例，驗(yàn)證柯西-黎曼方程不成立，最后得到解析函數(shù)可微的必要條件，即柯西-黎曼方程。通過一系列正例尤其是反例，加深學(xué)生對(duì)定理的理解和運(yùn)用。

二、課程建設(shè)改革

《復(fù)變函數(shù)論》的知識(shí)點(diǎn)大多都比較抽象，為使學(xué)生更加清晰地了解和認(rèn)識(shí)這門學(xué)科，在教學(xué)方法改革的同時(shí)，需要進(jìn)行相應(yīng)的課程建設(shè)。

1.數(shù)學(xué)文化建設(shè)。

復(fù)變函數(shù)的研究起源于求解代數(shù)方程，當(dāng)一元二次方程根的判別式小于零時(shí)，就會(huì)遇到復(fù)數(shù)開方的問題。16世紀(jì)意大利科學(xué)家卡爾丹在1545年求解三次代數(shù)方程時(shí)，產(chǎn)生了復(fù)數(shù)開方的思想。之后歐拉、高斯等給出了復(fù)數(shù)理論的系統(tǒng)描述。19世紀(jì)以后，柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯等形成了系統(tǒng)的復(fù)變函數(shù)理論研究體系 ?？梢哉f，從復(fù)變函數(shù)的起源到發(fā)展到成熟，再到最新的進(jìn)展，整個(gè)課程都滲透著濃厚的數(shù)學(xué)文化。教學(xué)過程中，可以適當(dāng)增加一些復(fù)變函數(shù)學(xué)科的發(fā)展歷程和一些數(shù)學(xué)家的逸聞趣事，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的興趣。

2.精品課件建設(shè)。

在教學(xué)過程中，多媒體發(fā)揮了重要的作用，通過一些具體的圖形展示，如若爾當(dāng)曲線、支割線、積分曲線和積分區(qū)域等，可以使抽象的問題具體化和形象化，所以精品課件的建設(shè)顯得非常重要。一個(gè)好的課件可以提升學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和更加豐富地展現(xiàn)課程的魅力，使學(xué)生“看明白，聽清楚，想透徹”。教師在教學(xué)過程中，可以結(jié)合自己的講課經(jīng)驗(yàn)，博采眾長(zhǎng)，搜集一些精美的圖形圖片和優(yōu)美的數(shù)學(xué)證明，利用多媒體教學(xué)，以大大提高教學(xué)效果。

3.發(fā)散思維建設(shè)。

教學(xué)過程中應(yīng)提倡“一題多解”，發(fā)散學(xué)生思維，使學(xué)生能舉一反三，觸類旁通。例如，求閉曲線上的復(fù)積分時(shí)，可以用柯西積分公式和留數(shù)定理兩種方法給學(xué)生分別展示求解過程。證明解析函數(shù)的羅爾定理時(shí)，可以用解析函數(shù)的平均值定理和最大模原理來分別演示證明。還有，在證明代數(shù)學(xué)基本定理時(shí)，學(xué)生應(yīng)該會(huì)運(yùn)用劉維爾定理和魯歇定理這兩種方法來證明，以增加對(duì)各個(gè)定理和原理的融會(huì)貫通的能力。

總之，在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)過程中，教師應(yīng)改革傳統(tǒng)的教學(xué)方法和加強(qiáng)課程建設(shè)，用新的教學(xué)理念指導(dǎo)，精心設(shè)計(jì)每一節(jié)課，在教學(xué)過程中讓學(xué)生充分參與和享受課堂，使得學(xué)生能系統(tǒng)地掌握復(fù)變函數(shù)的理論方法。

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