開發(fā)教材資源揭示數(shù)學(xué)本源

李賢江??

摘要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要積極開發(fā)教材資源，揭示數(shù)學(xué)本源。本文通過教材解讀、重難點(diǎn)把握、教學(xué)進(jìn)程創(chuàng)新來分析輔助角公式的教學(xué)。

關(guān)鍵詞：教材解讀；重難點(diǎn)把握；教學(xué)進(jìn)程

一、 教材解讀

輔助角公式是三角函數(shù)的一個(gè)非常的重要公式，幾乎是每年高考必考內(nèi)容之一，所以有必要重點(diǎn)研究。但在現(xiàn)行人教A版教科書必修四中并未給其冠名和直接研究，而是通過練習(xí)題、例題、習(xí)題的方式循序漸進(jìn)滲透、逐步顯現(xiàn)，共分為三個(gè)層面：

第一層面：（人教A版必修四132頁練習(xí)第6題）

化簡：（1）12cosx-32sinx；（2）3sinx+cosx；

（3） 2（sinx-cosx）；（4）2cosx-6sinx。

該練習(xí)題設(shè)計(jì)意圖是兩角和與差正余弦公式的逆向運(yùn)用，涉及“數(shù)字化角”的技巧。

第二層面：（人教A版必修四140頁例3）

求函數(shù)y=sinx+3cosx的周期，最大、最小值。

該例題設(shè)計(jì)意圖是通過三角變換，將形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=Asin（ωx+φ）的函數(shù)，進(jìn)一步研究其相關(guān)性質(zhì)，蘊(yùn)涵了化歸與轉(zhuǎn)化思想。

第三個(gè)層面：（人教A版必修四144頁習(xí)題3.2B組第6題）

（1） 求函數(shù)y=3sinx+4cosx的最大值與最小值；（2）你能用a，b表示函數(shù)y=asinx+bcosx的最大、最小值嗎？

該題將問題推擴(kuò)至一般的情形：①輔助角φ非特殊角；②用a，b表示函數(shù)y=asinx+bcosx的最值。設(shè)計(jì)意圖的意圖顯而易見，意在揭示一般化問題的本源、規(guī)律。

以上題組，先有輔助角公式的具體實(shí)例——“和差角公式”的逆向應(yīng)用，再有輔助角公式的綜合應(yīng)用——探究y=asinx+bcosx函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)；后有輔助角公式的規(guī)律探尋——回答了如何提取常數(shù)，如何確定輔助角。以上三個(gè)層面，貌似分散雜亂，實(shí)則獨(dú)具匠心。教材編寫專家從具體到抽象、從特殊到一般、從現(xiàn)象到本質(zhì)，循序漸進(jìn)、步步深入，立體、靈動(dòng)地展示了輔助角公式的發(fā)生、發(fā)展過程。

二、 重難點(diǎn)把握

重點(diǎn)：（1）將y=asinx+bcosx化成y=a2+b2sin（x+φ）的形式；（2）輔助角公式的應(yīng)用。

難點(diǎn)：（1）為什么提取a2+b2；（2）輔助角φ的確定。

三、 教學(xué)進(jìn)程創(chuàng)新

（一） 利用類比思想，初步感知

在學(xué)完兩角和差正余弦公式之后，教師出示人教A版必修四132頁練習(xí)第6題，引出輔助角公式的教學(xué)。

化簡：（1）12cosx-32sinx；（2）3sinx+cosx；

（3） 2（sinx-cosx）；（4）2cosx-6sinx。

習(xí)題設(shè)置的目的：兩角和差正余弦公式的逆向使用。由于學(xué)生剛學(xué)習(xí)了兩角和差的正余弦公式，該問題不難回答。

解：（1）學(xué)生甲：原式=cosπ3cosx-sinπ3sinx=cosx+π3

學(xué)生乙：原式=sinπ6cosx-cosπ6sinx=sinπ6-x

（2） 學(xué)生：原式=232sinx+12cosx=2sinx+π6

第（3）、（4）解答過程由學(xué)生嘗試。

教師追問：（1）還可以化簡成其他形式嗎？（目的體現(xiàn)輔助角φ可以不唯一）

（2） 第（2）個(gè)化簡為什么提取2？很多學(xué)生感覺容易，但是難以解釋為什么這樣做，此時(shí)教師不急于解釋，“引而不發(fā)”，留下懸念。

后面兩組課本題目，以“題根與變式”的思想系統(tǒng)設(shè)計(jì)：

變式1（人教A版必修四140頁例3）：求函數(shù)y=sinx+3cosx的周期，最大值、最小值

該題體現(xiàn)輔助角公式的初步應(yīng)用，在學(xué)生的最近思維發(fā)展區(qū)內(nèi)生長新知識(shí)，有前面的鋪墊，學(xué)生很快化為y=2sinx+π3，雖然沒有學(xué)習(xí)y=Asin（wx+φ）的圖象與性質(zhì)，但可以利用“整體代換”的思想輕松求出最值。

變式2（教材第144頁習(xí)題3.2B組第6題）：

（1）求函數(shù)y=3sinx+4cosx的最大值與最小值；

（2）你能用a，b表示函數(shù)y=asinx+bcosx的最大、最小值嗎？

該變式的設(shè)計(jì)將問題層層遞進(jìn)，讓學(xué)生初步感知函數(shù)y=asinx+bcosx可以化成y=a2+b2sin（x+φ）的形式，關(guān)鍵在于讓學(xué)生明白為什么要提取a2+b2？輔助角φ到底等于多少？以揭示輔助角公式的本質(zhì)與變形通法與技巧。

（二） 提取a2+b2的理論解釋，把握變形方向

（1） 代數(shù)解釋：

①換元思想：

asinx+bcosx=a2+b2aa2+b2sinx+ba2+b2cosx

∵aa2+b22+ba2+b22=1，令aa2+b2=cosφ，ba2+b2=sinφ，

∴原式=a2+b2sin（x+φ）。

②方程思想：

令asinx+bcosx=ksin（x+φ）=k（sinxcosφ+cosxsinφ）

∵asinx+bcosx=kaksinx+bkcosx，∴cosφ=ak

sinφ=bk，∴ak2+bk2=1，∴k=a2+b2。

（2） 幾何解釋

設(shè)OA=（a，b），OB=（sinx，cosx），

∴y=asinx+bcosx=OA·OB=OAOBcosθ=a2+b2cosθ，

其中cosθ=cos（x-φ）。（其原因見C（α-β）公式的推導(dǎo)過程），φ滿足

cosφ=ba2+b2，sinφ=aa2+b2，可以發(fā)現(xiàn)提取a2+b2的目的是將OA=（a，b）單位化，即將OA壓縮成一個(gè)單位向量OA′，即OA′=1OA OA（如圖）

設(shè)計(jì)意圖：從代數(shù)和幾何兩方面揭示提取a2+b2的理由，有利于學(xué)生對(duì)公式的本質(zhì)理解。

（三） 輔助角φ的確定

問題1：變式中y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），角φ能確定嗎？

學(xué)生：角φ滿足cosφ=35，sinφ=45，顯然當(dāng)φ∈[0，2π）時(shí)，φ是唯一確定的。

問題2：一般的y=asinx+bcosx=a2+b2sin（x+φ），φ的幾何意義是什么？

學(xué)生：角φ滿足sinφ=ba2+b2，cosφ=aa2+b2，由三角函數(shù)定義，當(dāng)φ∈[0，2π）時(shí)，φ的大小是點(diǎn)P（a，b）所在終邊所確定的最小正角（如右圖）。

值得指出說明的是，影響甚廣的“百度百科”中稱，asinx+bcosx=a2+b2sinx+arctanba為輔助角公式，即φ=arctanba，是錯(cuò)誤的，因?yàn)閍rctanba∈-π2，π2，例如：-sinx+cosx=sin（x+34π），然而arctan（-1）=-π4。

后記：輔助角公式是“三角函數(shù)”一章的派生公式，與三角函數(shù)的定義，兩角和差的正余弦，向量的數(shù)量積有著密切聯(lián)系，因此分析知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，整合開發(fā)教材現(xiàn)有資源，有助于挖掘揭示其數(shù)學(xué)的內(nèi)涵與本源。不但讓學(xué)生“知其然”，而且“知其所以然”，這對(duì)完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生的思維品質(zhì)大有裨益。

作者簡介：李賢江，四川省成都市，四川省成都石室中學(xué)。endprint