巧設情境用組合數(shù)含義來證明“奇次項與偶次項的二次項系數(shù)和相等”性質

摘要：本文通過構造“含有n個元素的集合的子集分為兩類，含有偶數(shù)個元素或含有奇數(shù)個元素”情境，通過構造一一映射的方法證明這兩類的子集數(shù)相等，以利用組合數(shù)的含義來證明二項式系數(shù)的性質。提供了與一般方法即用二項式定理賦值法證明其性質不同的新穎證法。

關鍵詞：二項式系數(shù)性質證明；組合數(shù)含義；構造情境

研究背景

眾所周知，高中數(shù)學課程難度較大，很多數(shù)學題目解答起來都比較困難，且有時一個題目具有多種解法，每種解法的思路各不相同，繁瑣程度也不相同，只有采取科學的思維方式，找到最佳有效的解題方法，才能夠高效、迅速且正確地解答出題目。很多數(shù)學解題思路和方法，都是在不停地探索和練習中摸索總結出來的，例如創(chuàng)設情境的方法。有的數(shù)學問題，乍一看非常復雜，似乎需要多方面深入思考，運用多種概念、定理以及公式等才能夠解答出來，但其實，如果轉換一下思考角度，巧設情境，有時可以將問題簡化，輕而易舉地理解問題的關鍵所在，找出有效的解答方式。

提出問題

高中人教版課本介紹了二項式系數(shù)的兩個重要性質，即∑ni=1Cin=2n與C0n+C2n+…=C1n+C3n+…=2n-1。前者教材提供了兩種方法證明，其一為用二項式定理展開（1+1）n即用賦值法證明，其二為利用組合數(shù)實際含義，構造“n個元素的集合子集個數(shù)多少個”情境來證明；而對第二個性質只給出了用二項式定理證明，即（1-1）n=∑ni=0Cin（-1）i展開并結合性質一證明，但我們能不能也通過構造一個類似的情境，不用二項式定理而用組合數(shù)的含義予以證明呢？

問題探究

設含有n個元素的集合U，則U有子集2n個，從中任取1 個元素a，對于U的任意一個子集Ai，只有2種情況：含a與不含a ①；從另一種角度看，Ai元素個數(shù)，只有奇數(shù)與偶數(shù)2種情況（空集視為0個元素，0為偶數(shù)）②

依據(jù)②可將Ai分為兩類，組成兩個新的集合

B={Ai|AiU且Ai有奇數(shù)個元素}

C={Ai|AiU且Ai有偶數(shù)個元素}（注意到0為偶數(shù)，∈C）

再構造映射f，f（Ai）=Ai∪{a}（aAi）Ai/{a}（aAi）（其中A/B={x|x∈A且xB}，簡單講這里即是將含a元素的Ai去掉a元素后得到的新集合）

由①知b∈B，則f（b）∈C

c∈C，則f（c）∈B

∴f為B→C之間一一映射

∴B與C元素個數(shù)相等，又B與C元素個數(shù)共2n，∴B與C元素個數(shù)各2n-1。

∴由組合數(shù)含義表示這一結果即為C0n+C2n+…=2n-1，C1n+C3n+…=2n-1即得證。

反思拓展

在高中數(shù)學中，對于“奇次項與偶次項的二次項系數(shù)和相等”的證明，常規(guī)的方法就是利用代數(shù)方法證明，但是，本文舍棄了常規(guī)的代數(shù)證明方式，而通過構造情境予以證明，更加簡單地解答了這一問題。這啟示了我們：面對證明二項式系數(shù)的性質等問題，既可以從代數(shù)角度利用二項式定理等證明，也可以從組合數(shù)含義的角度構造實際情境來證明，體現(xiàn)了數(shù)學一題多解、殊途同歸之美。另外，通過構造一一映射證明兩個有限集合元素個數(shù)相等的方法，也可能對探究其他問題也有所啟迪和幫助；而用集合語言嘗試進行較為科學的表達，也有利于培養(yǎng)嚴密客觀的數(shù)學思維。當然，這并不代表傳統(tǒng)的代數(shù)方法就不如巧設情境的解題方法，每種解題思維的角度是不同的，并無實際的高下之分，只不過有時運用這種方法解題更快，有時運用那種方法解題更快，取決于解題人當時的思維角度和切入點。在遇到類似問題時，找到當下最適合最有效的方法來解題，實現(xiàn)快速解題的目的，才是最具現(xiàn)實意義的。

（指導教師：郭振亮）

參考文獻：

[1]王英志.關于巧設問題情境活躍高中數(shù)學課堂的思考[J].學周刊，2017，（15）：135-136.

[2]王清哲.巧設問題情境，激活數(shù)學課堂[J].中國校外教育，2011，（23）：38.

[3]王英志.關于巧設問題情境活躍高中數(shù)學課堂的思考[J].學周刊，2017，（15）：135-136.

作者簡介：

劉抒睿，黑龍江省大慶市，大慶鐵人中學。endprint