關(guān)于均值不等式的幾點(diǎn)思考

摘要：在不等式理論當(dāng)中，均值不等式是其核心內(nèi)容。在教學(xué)中，幫助學(xué)生掌握均值不等式相關(guān)理論知識(shí)和公式，所起的作用顯著。本文通過(guò)聯(lián)系教學(xué)實(shí)踐以及高職數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中的相關(guān)內(nèi)容，探討了對(duì)均值不等式的基本認(rèn)識(shí)、均值不等式的運(yùn)用，希望能夠提供一定的教學(xué)參考。

關(guān)鍵詞：均值不等式；教學(xué)思考；運(yùn)用

一、 均值不等式的基本認(rèn)識(shí)

均值不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)中已經(jīng)出現(xiàn)，形成一個(gè)基本的公式，即ab≤a+b2（a，b≥0），它在不等式的相關(guān)內(nèi)容中具有核心地位。在初等數(shù)學(xué)當(dāng)中，要求當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。根據(jù)ab≤a+b2（a，b≥0）則有幾個(gè)基本的均值不等式公式。它們均要求a，b...均相等時(shí)，等號(hào)成立。同時(shí)還有一個(gè)基本要求在于運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)，有“一正二定三等”基本規(guī)定?；谏鲜龌竟?，可拓展出一個(gè)固定的不等式鏈條，即：21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22?；谶@個(gè)基本形式可以將其推廣至n維。

二、 均值不等式的運(yùn)用

均值不等式可以運(yùn)用至多個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)中，并以此來(lái)解決問(wèn)題。比如最值問(wèn)題、極限問(wèn)題、不等式證明等。

（一） 最值問(wèn)題

數(shù)學(xué)中的求最值問(wèn)題，最有效的手段就是利用均值不等式。

例若x<54，試求y=4x-2+14x-5的最大值。

解析：從已知條件和原式來(lái)看，將已知條件變換之后可以得到5-4x>0，而原式當(dāng)中4x-2以及14x-5并不是常數(shù)，所以需要對(duì)其進(jìn)行拆分、湊項(xiàng)，用換元法解決問(wèn)題。分析原式等于4x-5+14x-5+3，也就可以得到算式-5-4x+15-4x+3≤-2+3=1，只有當(dāng)4x-5=14x-5，即x=1時(shí)上述算式成立。所以當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，y取最大值1。結(jié)合這一問(wèn)題，直接用湊項(xiàng)的方法就可以解決。

（二） 不等式證明

例若f（x）在區(qū)間連續(xù)，x∈[a，b]，f（x）>0，試證明∫baf（x）dx∫badxf（x）≥（b-a）2。

解析：對(duì)于這一問(wèn)題，利用基本的不等式鏈條21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22及其拓展來(lái)分析，取調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行證明，則比較簡(jiǎn)單，即21a1+1a2+…+1an≤a1+a2+…ann，即（a1+a2+…+an）·1a1+1a2+…+1an≥n2，根據(jù)已知條件可知f（x）和1f（x）在[a，b]區(qū)間內(nèi)均可積，此時(shí)利用積分定理，把區(qū)間n等分，進(jìn)一步用均值不等式結(jié)合換元后命題即可得證。

三、 注意等號(hào)成立條件的限制

結(jié)合上述分析，不難看出，運(yùn)用均值不等式關(guān)鍵在于一正二定三等，它們應(yīng)當(dāng)同時(shí)存在，缺一不可。在基本不等式復(fù)習(xí)課堂上，要求學(xué)生計(jì)算f（x）=sinx+2sinx（sinx≠0）的最小值。學(xué)生很快就計(jì)算得出答案22。計(jì)算方式采用均值不等式。但是在教學(xué)中提出問(wèn)題，能夠培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑能力。例如：22是否為最小。這個(gè)問(wèn)題提出之后，學(xué)生開(kāi)始展開(kāi)討論，發(fā)現(xiàn)似乎還有負(fù)值，沒(méi)最小值。這種疑問(wèn)顯然忽略了均值不等式的一個(gè)前提條件“一正”。通過(guò)轉(zhuǎn)換后提負(fù)號(hào)這個(gè)條件就使用了，此時(shí)答案可正可負(fù)，如果限定sinx>0，最小值就是22，此時(shí)筆者要求學(xué)生解方程sinx+2sinx=22，發(fā)現(xiàn)無(wú)解。也就是說(shuō)最小值為22是錯(cuò)誤的。其實(shí)這個(gè)答案是正確的，因?yàn)閷W(xué)生忽略了第三個(gè)條件—“三等”。

尤其是這個(gè)“三等”，不注意就會(huì)導(dǎo)致解題失誤。因?yàn)榈忍?hào)成立的條件有一定的制約作用。

結(jié)束語(yǔ)

均值不等式的價(jià)值重大，包含初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。高職數(shù)學(xué)教學(xué)中，使學(xué)生掌握好均值不等式具有十分重要的作用。結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了知識(shí)點(diǎn)的探討與思考，可能有所不足，但是具有一定的教學(xué)參考價(jià)值，希望能夠起到拋磚引玉的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1] 趙秀.均值不等式的應(yīng)用與實(shí)踐[J].黑龍江科學(xué)，2016，23：25-26.

作者簡(jiǎn)介：孔慶榮，江蘇省鎮(zhèn)江市鎮(zhèn)江高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校。endprint