概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)期望

汪元忠

【摘 要】隨著人類(lèi)社會(huì)的進(jìn)步，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，經(jīng)濟(jì)全球化的日益進(jìn)程，數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用越來(lái)越廣，生活中的數(shù)學(xué)無(wú)處不在.而數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的分支——概率統(tǒng)計(jì)，在眾多領(lǐng)域內(nèi)扮演著越來(lái)越重要的角色，取得越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。正如英國(guó)邏輯學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家杰文斯所說(shuō)：概率論是“生活真正的領(lǐng)路人，如果沒(méi)有對(duì)概率的某種估計(jì)，我們就寸步難行，無(wú)所作為”。

【關(guān)鍵詞】概率統(tǒng)計(jì) 數(shù)學(xué)期望

【中圖分類(lèi)號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）36-0117-01

數(shù)學(xué)期望在解數(shù)學(xué)題和實(shí)際生活中的一些應(yīng)用，通過(guò)圍繞數(shù)學(xué)期望在證明一些數(shù)學(xué)不等式、分析彩票中獎(jiǎng)概率、醫(yī)學(xué)普查及投資等實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，進(jìn)一步揭示概率統(tǒng)計(jì)中數(shù)學(xué)期望與數(shù)學(xué)本身及實(shí)際生活的密切聯(lián)系，為應(yīng)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，數(shù)學(xué)模型的建立，學(xué)科知識(shí)的遷移奠定一定的理論基礎(chǔ)。概率統(tǒng)計(jì)的分支學(xué)科—數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用尤為廣泛，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與計(jì)算機(jī)的普及，它已廣泛地應(yīng)用于各行各業(yè)，成為研究自然科學(xué)，社會(huì)現(xiàn)象，處理工程和公共事業(yè)的有力工具，下面淺談數(shù)學(xué)期望在實(shí)際生活中的一些應(yīng)用：

數(shù)學(xué)期望在商品出售獲利方面的應(yīng)用：按節(jié)氣出售的某種節(jié)令商品，每售出1斤可獲利a元，過(guò)了節(jié)氣處理剩余的這種商品，每售出1斤凈虧損b元。設(shè)商店在季度內(nèi)這種商品的銷(xiāo)量是一隨機(jī)變量，在區(qū)間內(nèi)服從均勻分布。為使商店所獲利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望最大，問(wèn)該商店應(yīng)進(jìn)多少貨？

分析如下：設(shè)t表示進(jìn)貨數(shù)，進(jìn)貨t所獲利潤(rùn)記為Y，則Y是隨機(jī)變量，

令=0，得駐點(diǎn)t=由此可知，該店應(yīng)進(jìn)公斤商品，才能使利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望最大。

數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)普查中的應(yīng)用： 某地區(qū)的群眾患有肝炎的概率為0.004左右，假若要對(duì)該地區(qū)5000人經(jīng)行肝炎感染的普查，問(wèn)用分組檢驗(yàn)方法是否比逐個(gè)檢查減少了次數(shù)？

分析如下：設(shè)將這5000人分成5000/K組，每組k人，每人所需檢驗(yàn)的次數(shù)為隨機(jī)變量，則的概率分布為：

每人平均所需檢驗(yàn)次數(shù)的期望為：

當(dāng)K=2，3，4……時(shí)，EX，即每人平均所需次數(shù)小于1。這比逐次檢查的次數(shù)要少。并且由數(shù)學(xué)分析中的知識(shí)可知當(dāng)K取16時(shí)，最小。即將5000人大致分為每組16人檢驗(yàn)時(shí)，檢驗(yàn)所需次數(shù)最少。

數(shù)學(xué)期望在商家舉行的免費(fèi)抽獎(jiǎng)中的應(yīng)用：袋中有大小相同的球20個(gè)、10個(gè)10分、10個(gè)5分，從中摸出10個(gè)球，摸出的10個(gè)球分?jǐn)?shù)之和即為中獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)，獲獎(jiǎng)如下；

一等獎(jiǎng) 100分，家電一件，價(jià)值2500元； 二等獎(jiǎng) 50分， 家電一件，價(jià)值1000元；

三等獎(jiǎng) 95分， 洗發(fā)精8瓶，價(jià)值176元； 四等獎(jiǎng) 55分， 洗發(fā)精4瓶，價(jià)值88元；

五等獎(jiǎng) 60分， 洗發(fā)精2瓶，價(jià)值44元； 六等獎(jiǎng) 65分， 牙膏一盒，價(jià)值8元；

七等獎(jiǎng) 70分， 洗衣粉一袋，價(jià)值5元； 八等獎(jiǎng) 85分， 香皂一塊，價(jià)值3元；

九等獎(jiǎng) 90分， 毛巾一條，價(jià)值2元；十等獎(jiǎng) 75分與85分為優(yōu)惠獎(jiǎng)，僅收成本22元，將得到洗發(fā)精一瓶 。

分析如下：表面上看整個(gè)活動(dòng)對(duì)顧客有利，一等獎(jiǎng)到九等獎(jiǎng)是白得的，只有十等獎(jiǎng)收費(fèi)，也僅收成本費(fèi)。事實(shí)上，用概率知識(shí)分析一下：摸出10個(gè)球的分值只有11種情況，用X表示摸獎(jiǎng)?wù)攉@得的獎(jiǎng)勵(lì)金額數(shù)，一等獎(jiǎng)即得分100分，對(duì)應(yīng)事件P（X=2500）=，X取值2500，1000，176，88，44，8，5，3，2，-22，概率可依次得出，其概率分布為：

E（X）==-10.098，表明商家在平均每一次抽獎(jiǎng)中獲得10.098元錢(qián)，而平均每個(gè)抽獎(jiǎng)?wù)邔⒒?0.098元錢(qián)來(lái)享受這種免費(fèi)抽獎(jiǎng)，卻沒(méi)機(jī)會(huì)獲得大獎(jiǎng)。

數(shù)學(xué)期望在彩票雙色球中的應(yīng)用：“雙色球”是一種聯(lián)合發(fā)行銷(xiāo)售的“樂(lè)透型”福利彩票。它采用計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)發(fā)行銷(xiāo)售，定期電視開(kāi)獎(jiǎng)?！半p色球”由中國(guó)福利彩票發(fā)行管理中心統(tǒng)一組織發(fā)行，在全國(guó)銷(xiāo)售。這種彩票搖獎(jiǎng)球分為紅色、藍(lán)色兩種，故命名為“雙色球”。

一等獎(jiǎng)：7個(gè)號(hào)碼相符（6個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼）（紅色球號(hào)碼順序不限）；

二等獎(jiǎng)：6個(gè)紅色球號(hào)碼相符； 三等獎(jiǎng)：5個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符；

四等獎(jiǎng)：5個(gè)紅色球號(hào)碼或4個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符；

五等獎(jiǎng)：4個(gè)紅色球號(hào)碼或3個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符；

六等獎(jiǎng)：1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符（有無(wú)紅色球號(hào)碼相符均可）。

下面是各等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)概率的計(jì)算，雙色球中頭獎(jiǎng)的概率：×16=（33×32×31×30×29×28）/（6×5×4×3×2）×16=17721088雙色球中頭獎(jiǎng)的概率為p（1）=1/17721088

雙色球二等獎(jiǎng)的概率為：p（2）=1/=1/（（33×32×31×30×29×28）/（6×5×4×3×2）=1/1107568

雙色球三等獎(jiǎng)的概率為：p（3）=1/ （×16）=1/（（33×32×31×30×29）×16/（5×4×3×2×1））=1/3797376 ......

總之，知識(shí)來(lái)源于人類(lèi)的實(shí)踐活動(dòng)，又反過(guò)來(lái)運(yùn)用到改造世界的實(shí)踐活動(dòng)中，其價(jià)值也就在于此。上面知識(shí)例舉了概率在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用的幾個(gè)小片段，然而，作為一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科，數(shù)學(xué)期望的足跡可以說(shuō)已經(jīng)深入到每一個(gè)領(lǐng)域，在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用隨處可見(jiàn)。只要我們善于把握，善于挖掘，善于用數(shù)學(xué)期望知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，就能使它在實(shí)際生活中發(fā)揮更多作用。本文通過(guò)探討數(shù)學(xué)期望這一隨機(jī)變量的一些重要數(shù)學(xué)特征在數(shù)學(xué)問(wèn)題及實(shí)際問(wèn)題中的一些應(yīng)用來(lái)使大家對(duì)數(shù)學(xué)期望有更深的了解。