對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一點(diǎn)想法

摘 要：概念是對(duì)事物本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)，是思維的最小單位。本文從具體課例出發(fā)談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一點(diǎn)想法。

關(guān)鍵詞：概念教學(xué)數(shù)學(xué)；考試

每次考完試以后，常常會(huì)有學(xué)生由于沒有準(zhǔn)確掌握好數(shù)學(xué)概念，思路不清晰，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤，我覺得主要有兩方面的問題：一是教師教學(xué)方面，在上概念課時(shí)，有些教師常把重點(diǎn)放在例題講解和練習(xí)題的處理上，讓學(xué)生記住，變成關(guān)注的是讓學(xué)生怎么運(yùn)用數(shù)學(xué)概念來解題；二是學(xué)生學(xué)習(xí)方面，覺得概念的學(xué)習(xí)單調(diào)，不夠有趣，又以為考試肯定不會(huì)直接考概念，導(dǎo)致對(duì)概念學(xué)習(xí)不重視，這樣對(duì)基本概念的認(rèn)識(shí)就很模糊，沒有透徹理解，只有零碎的一些認(rèn)識(shí)，只能靠機(jī)械的記憶。下面以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”第一課時(shí)為例，從教師方面談?wù)剶?shù)學(xué)概念教學(xué)的一點(diǎn)想法。

完成本課時(shí)的教學(xué)我主要是通過以下6個(gè)環(huán)節(jié)來完成：

1. 課前布置。

（1）讓學(xué)生觀察生雞蛋的外形，油罐車的尾部形狀，斜射光線下圓（或球）的投影圖形。

（2）讓學(xué)生準(zhǔn)備好一張紙板，一根繩子和筆。

[設(shè)計(jì)意圖]為本節(jié)課的完成提供較充裕的時(shí)間。

2. 觀察課前布置的第一項(xiàng)結(jié)果和利用多媒體演示用一個(gè)平面去截圓錐所得到的截口曲線。

[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和感受橢圓的存在。

3. 操作和發(fā)現(xiàn)橢圓的定義。上課時(shí)，我先拿出事先準(zhǔn)備的繩子，再讓兩個(gè)學(xué)生到黑板前分別按住繩子的兩端，我再套上粉筆，拉緊繩子，移動(dòng)粉筆（動(dòng)點(diǎn)），讓學(xué)生觀察畫出的軌跡是什么曲線？（學(xué)生很容易就觀察出是個(gè)橢圓），接著再讓學(xué)生拿出課前布置的第二項(xiàng)材料自己畫圖（同桌間互相配合），在繩子長2a不變的條件下，通過以下問題，自然而然地引出橢圓的定義：

（1）當(dāng)繩子的兩端合在一起時(shí)，畫出的軌跡是什么曲線？

（這時(shí)筆尖只能在繩子的中點(diǎn)，畫出的軌跡是圓）

（2）當(dāng)繩子的兩端分開一點(diǎn)，畫出的軌跡是什么曲線？

（這時(shí)筆尖能在繩子上移動(dòng)，畫出的軌跡是橢圓）

（3）當(dāng)繩子兩端距離變大時(shí)，畫出的軌跡（橢圓）有何變化？

（隨著繩子兩端距離2c越來越大，畫出的橢圓越來越扁平）

（4）當(dāng)繩子兩端的距離2c剛好等于繩子長2a時(shí)，畫出的軌跡又是什么？（是一條線段）

（5）固定兩端，當(dāng)繩子長小于這兩端之間的距離時(shí)，能畫出軌跡嗎？

（畫不出，軌跡不存在）

（6）在畫圖的這一過程中，你能說出移動(dòng)的筆尖（動(dòng)點(diǎn)）滿足的幾何條件嗎？

（經(jīng)過這樣的實(shí)踐操作，學(xué)生就自然而然地可以自己歸納出橢圓的定義，進(jìn)一步地還可以引導(dǎo)學(xué)生得到以下結(jié)論：當(dāng)c=0時(shí)畫出的軌跡是圓；當(dāng)2a>2c時(shí)畫出的軌跡是橢圓；當(dāng)c→a時(shí)畫出的橢圓越來越扁平；當(dāng)2a=2c時(shí)畫出的軌跡是一條線段；當(dāng)2a<2c時(shí)，畫不出軌跡，即軌跡不存在）

[設(shè)計(jì)意圖] 通過以上問題的創(chuàng)設(shè)，實(shí)驗(yàn)的操作以及問題的解答，讓學(xué)生經(jīng)歷橢圓概念的形成過程，并感受到概念的引入是自然的，這樣學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)和理解就會(huì)比較清晰、深刻和全面。

4. 尋求和推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。我是按如下步驟進(jìn)行的：

（1）問題1：求曲線方程的步驟是什么？

（2）問題2：如何建立坐標(biāo)系？（受數(shù)學(xué)美的驅(qū)使，使建立的坐標(biāo)系、所設(shè)的點(diǎn)的坐標(biāo)都對(duì)稱和諧，于是建立的坐標(biāo)系是以兩焦點(diǎn)所在直線為x軸，兩焦點(diǎn)連線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)）。

（3）在推導(dǎo)中首先得到的（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a，事實(shí)上這個(gè)方程就是橢圓的方程，但它不夠簡潔，因此需要化簡。注意到式子的左邊是兩個(gè)根式之和，如果直接平方，會(huì)導(dǎo)致方程更為繁雜，于是移項(xiàng)平方，整理后得到a2-cx=a

（x-c）2+y2，此時(shí)還有一個(gè)根號(hào)，于是再平方，進(jìn)一步化簡得到（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.此時(shí)式子雖較前簡單，但注意觀察發(fā)現(xiàn)兩邊都有一項(xiàng)a2-c2，如果將其替換，方程就可以更加簡潔，對(duì)稱。于是設(shè)a2-c2=b2（b>0）得到x2a2+y2b2=1，這也達(dá)到數(shù)學(xué)的簡潔美。

（4）從曲線與方程的關(guān)系說明方程是橢圓的方程，從而把它叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（5）問題3：觀察圖1，你能從中找出表示a，b的線段嗎？（明確a，b的幾何意義便于記住方程）

圖1

圖2

（6）問題4：如圖2，如果建立的坐標(biāo)系是以兩焦點(diǎn)所在直線為y軸，兩焦點(diǎn)連線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)（仍符合數(shù)學(xué)的“對(duì)稱美”和“和諧美”），得到的橢圓的方程是什么？

通過以上步驟得到橢圓的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而再引導(dǎo)學(xué)生明確以下兩點(diǎn)：（1）橢圓的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有a>b>0且a，b，c始終滿足a2-c2=b2；（2）兩方程的焦點(diǎn)坐標(biāo)不同。

[設(shè)計(jì)意圖]通過邊提問邊講解，使學(xué)生明確每一步運(yùn)算的意義、作用和所以要這樣做的原因，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考和推理訓(xùn)練，從而領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

5. 橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用。講解課本中的例1：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-2，0），（2，0），并且經(jīng)過點(diǎn)52，-32，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。

[設(shè)計(jì)意圖]及時(shí)檢驗(yàn)學(xué)生利用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題的情況。

6. 小結(jié)歸納，鞏固提高

讓學(xué)生回顧一下本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，又是如何進(jìn)行學(xué)習(xí)的？引導(dǎo)學(xué)生可以從以下兩個(gè)方面進(jìn)行小結(jié)：一、本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？ 二、遇到問題應(yīng)如何思考，如何解決？

[設(shè)計(jì)意圖]這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生形成及時(shí)總結(jié)的習(xí)慣，將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通。

我們數(shù)學(xué)教師在上概念課時(shí)，更多的是要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)概念的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)新知識(shí)、新問題進(jìn)行觀察分析、實(shí)踐操作、合理推理，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)，自覺地獲取概念的本質(zhì)。這樣學(xué)生在上課時(shí)就會(huì)從被動(dòng)的聽變成主動(dòng)的學(xué)，這樣也才能充分體現(xiàn)以學(xué)生為本， 尊重學(xué)生主體地位的教學(xué)理念。

作者簡介：羅陽梅，福建省晉江一中。endprint