拓撲優(yōu)化在望遠鏡輕量化設計中的應用

孫興譽，邵靜，曾遠輝，南朋濤

（1.昆明晶華光學有限公司，云南 昆明 650228；2.云南省機械研究設計院、云南省機電一體化應用技術重點實驗室、云南省先進制造技術研究中心，云南 昆明 650031）

隨著人們對望遠鏡的精細化辨識度需求的提升，大口徑望遠鏡的研制，無疑是一個有效的解決方案，但隨著口徑的增加，其重力變大，勢必影響望遠鏡的成像質量。因此針對望遠鏡產品的輕量化、優(yōu)化設計，具有重要意義。目前大多數(shù)文獻集中解決的問題是望遠鏡的配套裝置的優(yōu)化問題，如劉書田、胡瑞等人，發(fā)表了基于筋板式基結構的大口徑空間反射鏡構型設計的拓撲優(yōu)化方法；付世欣、周超等人，發(fā)表了基于拓撲優(yōu)化的4m望遠鏡底座結構設計，而針對鏡片優(yōu)化的研究相對較少，本文對結構優(yōu)化的理論，拓撲優(yōu)化方法進行了介紹，將拓撲優(yōu)化應用于望遠鏡的輕量化、優(yōu)化設計，從設計角度闡述了拓撲優(yōu)化步驟。

1 結構優(yōu)化理論

產品結構優(yōu)化設計，按照優(yōu)化階段對象可分為3類，即尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化和拓撲優(yōu)化，分別應用于產品的概念設計、基本設計和詳細設計階段。

所謂尺寸優(yōu)化，是在給定產品結構的材料、幾何外形情況下，優(yōu)化各個組成部件的尺寸，在既定功能約束條件下，達到改善產品結構性能，降低成本的目的。尺寸優(yōu)化的優(yōu)化變量是構件的尺寸、橫截面積等，是優(yōu)化設計的最低層次。

形狀優(yōu)化，需要提取控制形狀的邊界的幾何信息，以這些信息作為設計變量，通過對其優(yōu)化，形成優(yōu)化后的形狀邊界，最終以改變形狀的方式，使期望設計目標函數(shù)最優(yōu)化，形狀優(yōu)化的優(yōu)化變量多以坐標來標識。

拓撲優(yōu)化設計是尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化設計后的又一研究方向，拓撲優(yōu)化設計關注的優(yōu)化對象是離散結構桿件的節(jié)點布局、聯(lián)系，或連續(xù)體開孔的數(shù)量、位置等，拓撲優(yōu)化潛在拓撲點的數(shù)量是無限多的，一般選取有限個數(shù)的參數(shù)近似表示，采取成熟的參數(shù)化方法求解，在既定設計空間內，尋求結構的剛度的最佳分布形式，或結構最佳的傳力路線形式。

2 拓撲優(yōu)化設計方法

拓撲優(yōu)化常用的參數(shù)化求解方法有均勻化方法，相對密度法和進化結構優(yōu)化法，三種方法的特點如下。

（1）均勻化方法，適用于在應力或位移約束下，連續(xù)體的優(yōu)化算法，通過將結構設計區(qū)域劃分成帶有孔洞的單體，進行拓撲分析，最后確定設計區(qū)域的0～1分布狀況，即可知道最優(yōu)的結構。

（2）相對密度法，通過在材料密度與材料特性間建立關系，經(jīng)拓撲分析后，單元密度為0～1分布，0即是要刪除的材料，1是要留下的材料。

（3）進化結構優(yōu)化法，是通過刪選、刪除低效的或無效的材料，使材料趨于合理性優(yōu)化，算法簡單，容易使用，缺點是刪去的材料不可恢復。

3 拓撲優(yōu)化在望遠鏡輕量化設計中的應用

3.1 光學規(guī)格和機械要求

光學規(guī)格和機械要求是望遠鏡設計要求的體現(xiàn)。優(yōu)化設計應基于該設計條件，主要考慮的因素有：光學方面：光學性能要求；光學鏡片材料要求；拋光壓力控制范圍；機械方面：望遠鏡底座結構、鏡片的重量限制；此外，還要考慮操作環(huán)境：引力場。

3.2 抽象關鍵參數(shù)

根據(jù)實際的光學規(guī)格要求和機械要求，需將這些要求量化為參數(shù)目標，以望遠鏡鏡片優(yōu)化為例，可提取的關鍵參數(shù)有：主鏡的直徑；光學表面直徑；鏡面曲率半徑；二次曲面系數(shù)；主鏡側面高度等。

3.3 拓撲優(yōu)化分析

進行拓撲優(yōu)化分析，首先以有限元分析的方式建立模型，設置邊界條件，采取編碼的形式對影響光學鏡片性能的表面位移、彈性變形量等進行分析，在已有的有限元分析基礎上，尋找設置拓撲結構點，檢驗目標函數(shù)的優(yōu)化效果。

有限元分析需進行數(shù)學建模，定義有限元模型，設置物理屬性，定義邊界條件。在對光學鏡片的拓撲優(yōu)化中，采用三維彈性形變量作為量化的參數(shù)指標，對其進行編碼，分析形變結果數(shù)據(jù)。在此基礎上進一步確定光學鏡片的表面位移，得到光學分析結論。采取上文中提到的拓撲優(yōu)化方法，進行拓撲優(yōu)化分析，重新定義目標函數(shù)，限制條件，在編碼形式上進行優(yōu)化，檢驗收斂性。

拓撲優(yōu)化理論，是結構優(yōu)化設計中的一項重要手段，在設計的需求指標分析的基礎上，提取計算參數(shù)，具體應用到哪種拓撲優(yōu)化的設計思想，或交叉使用拓撲模型，以及優(yōu)化軟件使用，應結合實際設計需求，充分發(fā)揮拓撲分析的特點，在既定優(yōu)化目標下，實現(xiàn)利益最大化。針對望遠鏡的優(yōu)化，應考慮到望遠鏡底座和鏡片的雙重優(yōu)化，光學鏡片的拓撲優(yōu)化應引起重視。

[1]劉書田, 胡瑞, 周平等. 基于筋板式基結構的大口徑空間反射鏡構型設計的拓撲優(yōu)化方法[J]. 光學精密工程, 2013,21(7):1803-1810.

[2]付世欣, 周超, 曹玉巖等. 基于拓撲優(yōu)化的4m望遠鏡底座結構設計[J]. 紅外與激光工程, 2015, 44(8):2441-2447.

[3]馮楨, 于濤, 曾齊福. 拓撲優(yōu)化方法在產品設計中的應用探索[J]. 機械設計與制造, 2007，(3):138-139.

[4]Park K S, Lee J H, Youn S K. Lightweight mirror design method using topology optimization[J]. Optical Engineering, 2005,44(5):053002.