數(shù)字時(shí)代問題驅(qū)動(dòng)下數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)探索

閔素芹，張貝貝

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數(shù)字時(shí)代問題驅(qū)動(dòng)下數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)探索

閔素芹1，張貝貝2

（1. 中國(guó)傳媒大學(xué) 理學(xué)院，北京 100024；2. 首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京 100070）

數(shù)學(xué)建模課程案例教學(xué)由現(xiàn)實(shí)問題驅(qū)動(dòng)，借助數(shù)學(xué)方法尋求解決方案。大數(shù)據(jù)背景下需要適當(dāng)增加與時(shí)下熱點(diǎn)問題緊密結(jié)合的新穎選題，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神。數(shù)學(xué)建模過(guò)程與論文撰寫是引導(dǎo)本科生從事科研和實(shí)踐活動(dòng)的有效途徑。通過(guò)學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，學(xué)生具備了基本的科學(xué)研究能力，創(chuàng)新能力得以提高，并提升對(duì)數(shù)學(xué)類課程的總體認(rèn)識(shí)。

大數(shù)據(jù)；問題驅(qū)動(dòng)；研討式教學(xué)；案例教學(xué)；數(shù)學(xué)建模

由于計(jì)算機(jī)和互聯(lián)網(wǎng)先進(jìn)技術(shù)的飛速發(fā)展，各個(gè)行業(yè)都產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)，而數(shù)據(jù)建模是推動(dòng)大數(shù)據(jù)技術(shù)前進(jìn)的動(dòng)力之一。數(shù)學(xué)建模是實(shí)際問題驅(qū)動(dòng)的，課程教學(xué)應(yīng)與時(shí)俱進(jìn)，注重新型數(shù)據(jù)處理方法。培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的意識(shí)和能力已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要方面，也是培養(yǎng)創(chuàng)新型人才必不可少的環(huán)節(jié)，而數(shù)學(xué)建模是把數(shù)學(xué)與實(shí)際問題聯(lián)系起來(lái)的主要橋梁，是數(shù)學(xué)實(shí)現(xiàn)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化實(shí)踐的主要途徑。數(shù)學(xué)模型教學(xué)案例中可直接提出待研究的現(xiàn)實(shí)問題，激發(fā)學(xué)生的興趣和積極性，分析討論后進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化假設(shè)，建立數(shù)學(xué)模型，弱化模型求解的數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)，注重?cái)?shù)學(xué)模型與建模的思想講解，加強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件解決研究問題的能力。

數(shù)學(xué)建模課程注重綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)解決實(shí)際問題能力與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，可以作為以大學(xué)生創(chuàng)新與實(shí)踐能力培養(yǎng)為核心的數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的突破口。

1 實(shí)際應(yīng)用問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法與案例式教學(xué)模式

基于實(shí)際案例采用啟發(fā)式、研討式教學(xué)改革，不同于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)方法遵照教材按部就班地介紹課程內(nèi)容，案例教學(xué)將由現(xiàn)實(shí)中的問題驅(qū)動(dòng)，借助數(shù)學(xué)知識(shí)尋求解決方案；研討課上將改變傳統(tǒng)的以教師為中心的教學(xué)模式，在教學(xué)過(guò)程中充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考、參與討論和解決問題。

研討式教學(xué)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體地位，最早由18世紀(jì)德國(guó)教育學(xué)家提出，已成為歐美大學(xué)普遍使用的重要教學(xué)模式[1]。美國(guó)大學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，尋找能夠激發(fā)學(xué)生興趣的主題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考是教師的重要任務(wù)[2]。2003年，宋銀桂與許峰進(jìn)行的研討式教學(xué)的實(shí)踐表明，教師的正確指導(dǎo)是實(shí)現(xiàn)學(xué)生主體性的前提，在教學(xué)中應(yīng)打破教師一言堂，吸引學(xué)生參與教學(xué)過(guò)程[3]。2015年，劉婷與張韻風(fēng)的研究中，運(yùn)用研討式和啟發(fā)式教學(xué)有效解決教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容，運(yùn)用案例式教學(xué)解決理論與實(shí)際結(jié)合的問題[4]。2016年，馬小軍與夏立文針對(duì)軟件工程課程給出了啟發(fā)式、研討式案例教學(xué)的實(shí)施流程[5]。

傳統(tǒng)的教學(xué)模式使部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生抵制情緒，導(dǎo)致對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏熱情，對(duì)學(xué)習(xí)的根本目的沒有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)；被動(dòng)接受學(xué)習(xí)模式?jīng)]有及時(shí)轉(zhuǎn)變，制約了學(xué)生數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的提高。

數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)方法和手段的改革、學(xué)生創(chuàng)新與實(shí)踐能力的培養(yǎng)，主要問題體現(xiàn)在以下兩方面。一是教學(xué)案例如何選取才能引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與熱情。針對(duì)每個(gè)教學(xué)模塊，如何選取切合實(shí)際、與時(shí)俱進(jìn)、趣味性強(qiáng)、能借助前續(xù)課程解決的實(shí)際問題作為教學(xué)案例。在經(jīng)典案例的基礎(chǔ)上，如何適當(dāng)增加大數(shù)據(jù)背景下與時(shí)下熱點(diǎn)問題緊密結(jié)合的新穎選題。二是研討環(huán)節(jié)怎樣設(shè)計(jì)能達(dá)到良好效果，如何啟發(fā)學(xué)生針對(duì)問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化假設(shè)，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，得出合理的結(jié)論；怎樣讓學(xué)生成為課堂的主體，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)思維，激發(fā)學(xué)生的興趣。

2 數(shù)字時(shí)代數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)內(nèi)容的擴(kuò)展與更新

2.1 大數(shù)據(jù)背景下案例教學(xué)中傳統(tǒng)方法的擴(kuò)展應(yīng)用

數(shù)據(jù)導(dǎo)向的數(shù)據(jù)分析方法是數(shù)字時(shí)代數(shù)學(xué) 應(yīng)用無(wú)法回避的一個(gè)重要趨勢(shì)[6]，有些數(shù)學(xué)模型可以擴(kuò)展應(yīng)用到大數(shù)據(jù)領(lǐng)域，如從傳染病模型到網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型。在數(shù)學(xué)建模案例中，微分方程模型可以描述傳染病的傳播過(guò)程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律。思考傳染病的傳播規(guī)律后，將人群劃分為感染者（病人）、未感染者（健康人）、移出者（治愈者有免疫力）建立SIR模型，利用Matlab軟件求解微分方程，結(jié)合圖形理解傳播過(guò)程。在此基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步結(jié)合大數(shù)據(jù)背景和學(xué)生感興趣的社交網(wǎng)絡(luò)，將微分方程模型的應(yīng)用進(jìn)一步擴(kuò)展到輿情傳播領(lǐng)域，對(duì)于謠言的傳播，仿照傳染病模型把人群劃分為無(wú)知者、傳播者、知謠但不傳謠者，建立SIR謠言傳播模型。當(dāng)無(wú)知者遇到傳播者，無(wú)知者以一定的概率轉(zhuǎn)化為傳播者；當(dāng)傳播者遇到知謠但不傳謠者，會(huì)以一定的概率變?yōu)橹{但不傳謠者。另外，可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)際考慮的更全面，比如一部分人由于具有豐厚的知識(shí)和理智的頭腦，第一時(shí)間意識(shí)到傳播的信息是謠言，直接成為知謠但不傳謠者，模型如何進(jìn)一步修正。

2.2 開放數(shù)據(jù)、大數(shù)據(jù)背景下教學(xué)內(nèi)容的更新

計(jì)算機(jī)高速發(fā)展的時(shí)代，如何從大數(shù)據(jù)中挖掘出有價(jià)值的信息是普遍面臨的問題。大數(shù)據(jù)時(shí)代來(lái)臨，社交網(wǎng)絡(luò)、電商交易、視頻網(wǎng)站等產(chǎn)生大量非結(jié)構(gòu)化、高噪音、實(shí)時(shí)的數(shù)據(jù)。大數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)據(jù)分析最直接的沖擊是數(shù)據(jù)收集方式的變革，個(gè)人消費(fèi)、網(wǎng)頁(yè)瀏覽、地理位置、社交平臺(tái)交流等各種數(shù)據(jù)通過(guò)數(shù)值、文本、圖片、音頻、視頻等形式的數(shù)據(jù)格式被記錄下來(lái)。教學(xué)過(guò)程中關(guān)于各種形式數(shù)據(jù)的采集方法需要加強(qiáng)訓(xùn)練，通過(guò)實(shí)踐使學(xué)生了解Python、R、Hadooop和數(shù)據(jù)庫(kù)等[7]。聚類分析、主成分分析、模糊邏輯和貝葉斯網(wǎng)絡(luò)等用于系統(tǒng)體系還原與智能計(jì)算的方法可以適當(dāng)引入[8]。在教學(xué)內(nèi)容設(shè)置中不能忽視數(shù)據(jù)的巨變，增加關(guān)聯(lián)規(guī)則、聚類、決策樹、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方面的案例教學(xué)，適應(yīng)社會(huì)需求[9]。數(shù)學(xué)建模課程需要增加介紹處理這些問題的數(shù)學(xué)和算法思想，注重?cái)?shù)據(jù)預(yù)處理、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)挖掘常用算法的軟件實(shí)現(xiàn)、結(jié)果的理解和解釋。另外，建模時(shí)若冗余特征過(guò)多會(huì)導(dǎo)致維數(shù)災(zāi)難，降低算法運(yùn)行效率。因此，可增加主成分分析、線性判別分析、小波分析和拉普拉斯特征映射等降維方法的講解，進(jìn)一步闡明數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)在實(shí)際應(yīng)用中的重要性。

3 基于數(shù)學(xué)建模課程加強(qiáng)學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新和科研能力的培養(yǎng)

3.1 研討式、實(shí)踐性教學(xué)活動(dòng)的實(shí)施措施

高質(zhì)量問題驅(qū)動(dòng)的研討有助于激發(fā)學(xué)生的思維，提高學(xué)習(xí)主動(dòng)性。教師根據(jù)每個(gè)教學(xué)模塊設(shè)計(jì)相應(yīng)的研討問題，布置學(xué)生課下提前查閱資料，尋求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法。課上組織學(xué)生參與討論，引導(dǎo)學(xué)生互動(dòng)交流，對(duì)學(xué)生的方案進(jìn)行合理的評(píng)價(jià)，最終給出解決問題的思路，并在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出新問題，引發(fā)學(xué)生深入思考。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的批判性思維、積極思考能力與課堂參與能力會(huì)發(fā)生較大的改變。學(xué)生通過(guò)親自設(shè)計(jì)和動(dòng)手，體驗(yàn)解決問題的全過(guò)程，從數(shù)學(xué)建模中去探索、學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，提高了學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，培養(yǎng)了創(chuàng)新意識(shí)與團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神。

例如，商品銷售量的預(yù)測(cè)問題，以牙膏銷售量為例，可以建立牙膏銷售量與價(jià)格、廣告投入之間回歸模型。但如果要研究消費(fèi)者是否會(huì)購(gòu)買某品牌的牙膏，因變量為二分類變量，如何處理？這就需要引入logistic回歸模型，可以引導(dǎo)學(xué)生理解不同模型的適用性，并討論需要考慮哪些影響因素，演示logistic回歸如何通過(guò)軟件實(shí)現(xiàn)，及輸出結(jié)果怎樣解讀，直接從問題出發(fā)，解決問題，盡量略去原理的講解，而留作課后文獻(xiàn)閱讀作業(yè)，讓學(xué)生先對(duì)模型和應(yīng)用有直觀的認(rèn)識(shí)，再帶著問題去學(xué)習(xí)理論部分。給出logistic回歸在數(shù)據(jù)挖掘中的應(yīng)用，并且進(jìn)一步提出相關(guān)的一類方法作為課后泛讀材料，如logistic回歸、決策樹、貝葉斯分類器有什么共同之處和不同之處，有哪些應(yīng)用案例。

3.2 以學(xué)生為中心，任務(wù)驅(qū)動(dòng)的課外自主學(xué)習(xí)模式

數(shù)學(xué)軟件的實(shí)現(xiàn)使得學(xué)生能夠了解數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用價(jià)值，開拓思維，進(jìn)而加深對(duì)數(shù)學(xué)理論和方法的理解和掌握。對(duì)數(shù)學(xué)方法的思想、案例和軟件實(shí)現(xiàn)講解之后，向?qū)W生介紹該模塊比較有代表性的研究工作，提供相應(yīng)模塊的數(shù)學(xué)建模案例研究文章作為學(xué)生課后選讀資料。

在課后任務(wù)設(shè)置環(huán)節(jié)，給定選題，讓學(xué)生組團(tuán)隊(duì)尋找數(shù)據(jù)，如：從網(wǎng)絡(luò)爬取社交媒體數(shù)據(jù)、采集網(wǎng)絡(luò)銷售量及價(jià)格數(shù)據(jù)等，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、評(píng)價(jià)，逐漸掌握數(shù)據(jù)的挖掘和統(tǒng)計(jì)分析，并能通過(guò)文字、統(tǒng)計(jì)圖表或動(dòng)畫等方式直觀展現(xiàn)數(shù)據(jù)與分析結(jié)果。激發(fā)學(xué)生的興趣和積極性，使得學(xué)生能夠了解統(tǒng)計(jì)方法的實(shí)用價(jià)值，開拓思維。教師整理歸納任務(wù)中遇到的知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)，使學(xué)生能在教師歸納總結(jié)的引導(dǎo)下，進(jìn)一步優(yōu)化任務(wù)的解決方案，并從任務(wù)分析過(guò)程中學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)理論的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握。實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)從“以教為主”到“以學(xué)為主”的轉(zhuǎn)變，以實(shí)際問題為任務(wù)，強(qiáng)調(diào)統(tǒng)計(jì)方法中的應(yīng)用背景和統(tǒng)計(jì)思維，讓學(xué)生在完成任務(wù)的同時(shí)學(xué)習(xí)新軟件、掌握所需理論知識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生自主探索能力。

3.3 科研融入教學(xué)實(shí)踐，提高學(xué)生創(chuàng)新能力

隨著高等教育改革的不斷深化，培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的本科教育教學(xué)體系的構(gòu)建日益迫切。中共中央、國(guó)務(wù)院印發(fā)《國(guó)家創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略綱要》提出到2020年進(jìn)入創(chuàng)新型國(guó)家行列、2030年躋身創(chuàng)新型國(guó)家前列、到2050年建成世界科技創(chuàng)新強(qiáng)國(guó)“三步走”目標(biāo)。創(chuàng)新型國(guó)家所需人才的教育模式要求從“記憶力教育”模式轉(zhuǎn)換為“創(chuàng)造力教育”模式[10]。創(chuàng)新背景下教學(xué)改革的目標(biāo)具體體現(xiàn)在培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)方法在實(shí)際中的強(qiáng)大與直接應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，提高學(xué)習(xí)其他課程的興趣；同時(shí)提高學(xué)生查閱文獻(xiàn)的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新與科研能力以及團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神。

數(shù)學(xué)建模過(guò)程與論文撰寫是引導(dǎo)本科生從事科研活動(dòng)、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的有效途徑。比如，安排學(xué)生分小組圍繞實(shí)際確定選題，完成一篇數(shù)學(xué)建模學(xué)術(shù)論文[11]。研究過(guò)程中可以使學(xué)生掌握資料檢索和學(xué)術(shù)論文數(shù)據(jù)庫(kù)的使用方法，通過(guò)使用查閱到的與待解決實(shí)際問題相關(guān)的文獻(xiàn)，可以了解待解決實(shí)際問題的相關(guān)背景、研究現(xiàn)狀和最新的研究方法，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行深入探討，建立更加優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，撰寫專業(yè)論文。從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生基本科研能力的訓(xùn)練。

在數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié)、大學(xué)生創(chuàng)新項(xiàng)目和挑戰(zhàn)杯競(jìng)賽，學(xué)生逐漸組成比較成熟的團(tuán)隊(duì)，以獨(dú)特視角選擇新穎的實(shí)踐性選題，采集數(shù)據(jù)，運(yùn)用軟件完成分析，得出有意義的研究結(jié)論。這些科研內(nèi)容，在老師的指導(dǎo)下，提煉出主要研究?jī)?nèi)容，按照期刊論文的寫作范式進(jìn)行修改后投稿。在以往的教學(xué)過(guò)程中，每個(gè)班在畢業(yè)時(shí)都有兩三個(gè)團(tuán)隊(duì)的論文發(fā)表在學(xué)術(shù)期刊或?qū)W術(shù)會(huì)議上，這些科研成果在推免生面試、考研復(fù)試、出國(guó)學(xué)校申請(qǐng)和求職就業(yè)時(shí)都起到重要的作用，在反映學(xué)生的科研、創(chuàng)新、應(yīng)用和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力上極具說(shuō)服力。

4 結(jié)論

數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)改革的探索具有較好的研究實(shí)踐基礎(chǔ)，通過(guò)參加數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，很多學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、自主探索和科研創(chuàng)新能力得到了顯著提高，在本科畢業(yè)論文設(shè)計(jì)、實(shí)習(xí)和研究生階段的學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出了明顯的優(yōu)勢(shì)，得到用人單位和研究生導(dǎo)師的普遍認(rèn)可。同時(shí)也為數(shù)學(xué)建模案例式、研討式教學(xué)改革的實(shí)施積累了經(jīng)驗(yàn)。

問題驅(qū)動(dòng)的案例式、研討式教學(xué)，按照不同的數(shù)學(xué)方法將課程教學(xué)分成不同的模塊，針對(duì)每個(gè)模塊選取案例、組織研討課。通過(guò)案例展示與研討，學(xué)生將學(xué)會(huì)怎樣建立模型解決實(shí)際問題。案例教學(xué)過(guò)程中，教師直接給出實(shí)際問題，讓學(xué)生進(jìn)行思考，教師進(jìn)行講解，通過(guò)解決問題的過(guò)程給學(xué)生介紹建模的過(guò)程與意義；讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的廣泛用途，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、思考和探索，推動(dòng)本科教育、教學(xué)質(zhì)量的提升，培育優(yōu)秀創(chuàng)新人才。

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Exploration on Teaching of Problems Driven Mathematical Modelingin Digital Era

MIN Su-qin1, ZHANG Bei-bei2

(1. School of Science, Communication University of China, Beijing 100024, China; 2. School of Statistics, Capital University of Economics and Business, Beijing 100070, China)

Case-base teaching is driven by practical problems and sought solutions with mathematical method in mathematical modeling course. It is necessary that Current hot topics should be appropriately increased in the era of big data. It could fully mobilize the initiative of learning and cultivate students’innovative consciousness and team spirit. The process of mathematical modeling and research paper writing is an effective way to guide undergraduates to engage in scientific research and practical activities. Students have basic capability of scientific research by learning and training. Innovation ability are improved, and overall understanding of the mathematics curriculum is promoted.

big data; problem-driven; discussion teaching; case-based teaching; mathematical modeling

O213

A

1009-9115(2018)06-0121-04

10.3969/j.issn.1009-9115.2018.06.027

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（3132018XNG1830），中國(guó)傳媒大學(xué)理工學(xué)部教育教學(xué)改革項(xiàng)目

2018-06-25

2018-08-28

閔素芹（1978-），女，山東青州人，博士，副教授，研究方向?yàn)榻y(tǒng)計(jì)方法理論與應(yīng)用。

（責(zé)任編輯、校對(duì)：趙光峰）