具有種群擴(kuò)散的包蟲病傳播模型的研究

劉俊利， 劉璐菊， 馮進(jìn)鈐

(1. 西安工程大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710048； 2. 河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 河南 洛陽 471023)

0 引 言

包蟲病也叫棘球蚴病， 是一種人獸共患寄生蟲病， 如狗、 豬、 牛等家禽都可能被感染， 嚴(yán)重危害著人民的身體健康和生命安全， 是影響社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重大傳染病之一. 我國包蟲病發(fā)病率最高的地區(qū)主要集中在西北部的牧業(yè)、 半農(nóng)牧地區(qū)， 包括新疆、 甘肅、 寧夏、 內(nèi)蒙古、 青海、 西藏、 四川[1-4]. 每年包蟲病手術(shù)率超過1%， 高危人群高達(dá)5 000萬人， 受包蟲病威脅的家畜數(shù)量上億， 其中犬類至少達(dá)500萬只， 而羊的感染率高于50%[5,6]. 包蟲病在世界很多國家都存在， 如意大利、 澳大利亞、 伊朗等， 威脅著人類的健康， 為社會(huì)造成了一定經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)[7-9].

包蟲病的傳播需要中間宿主(羊、 牛、 豬、 馬、 駱駝、 多種野生動(dòng)物和人)和終末宿主(犬、 狼、 狐貍等肉食動(dòng)物). 感染來源一般為患病或帶蟲犬等肉食動(dòng)物.易感動(dòng)物常因食入被犬糞便污染的飼草或飲水而感染； 將廢棄的患病臟器喂犬， 可造成犬與羊等動(dòng)物之間循環(huán)感染,人接觸包蟲卵也可被感染[10].

目前， 對(duì)包蟲病的研究文獻(xiàn)大多是醫(yī)學(xué)方面的， 從數(shù)學(xué)建模方向研究包蟲病的文獻(xiàn)較少. 文獻(xiàn)[11] 建立了包蟲病在人畜之間傳播的數(shù)學(xué)模型， 分析了影響疾病傳播和控制的關(guān)鍵因素. 文獻(xiàn)[12]研究了一類具有飽和發(fā)生率的包蟲病模型， 討論了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性， 對(duì)疾病給出一些控制策略. 文獻(xiàn)[13]提出了一個(gè)確定性常微分方程傳染病模型， 研究了新疆地區(qū)包蟲病的傳播. 文獻(xiàn)[14]建立了一個(gè)具有兩個(gè)斑塊的常微分方程模型， 研究了狗在兩斑塊間的擴(kuò)散對(duì)包蟲病傳播的影響. 文獻(xiàn)[15]研究了包蟲病在紅狐貍中的傳播. 文獻(xiàn)[16] 表明如果對(duì)帶狂犬病病毒的犬類不進(jìn)行控制， 將會(huì)對(duì)包蟲病非流行區(qū)帶來危害. 帶病的狗是包蟲病非流行地區(qū)的一個(gè)主要危害， 因此研究狗的擴(kuò)散對(duì)包蟲病的影響非常重要.不同于文獻(xiàn)[14]， 本文考慮某區(qū)域內(nèi)狗的擴(kuò)散， 建立偏微分方程模型. 由文獻(xiàn)[13]知， 人的加入并不影響模型的動(dòng)力學(xué)行為， 人是最終中間宿主， 人感染包蟲病之后， 不會(huì)再傳染給其他人或動(dòng)物， 因此該模型只考慮狗和家禽兩個(gè)種群， 而不考慮人的因素. 利用線性化方法， 參考文獻(xiàn)[17]， 研究了連接無病平衡點(diǎn)與地方病平衡點(diǎn)的最小波速問題， 證明了地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性.

1 模型的建立

把狗和家禽兩個(gè)種群均分成兩個(gè)倉室： 易感者類和染病者類.SD(x,t)和ID(x,t)分別表示點(diǎn)x處，t時(shí)刻狗的易感者和染病者數(shù)量.SL(x,t)和IL(x,t)分別表示點(diǎn)x處， 時(shí)刻t時(shí)家禽的易感者和染病者數(shù)量， 并假設(shè)包蟲卵的數(shù)量與染病狗的數(shù)量成正比. 假設(shè)A1,A2分別為新生狗和家禽的數(shù)量，β1為染病家禽對(duì)易感狗的傳染率，β2為染病狗對(duì)易感家禽的傳染率，m1,m2分別為狗和家禽的自然死亡率，σ為染病狗的恢復(fù)率，α1,α2分別為易感狗和染病狗的擴(kuò)散率. 建立包蟲病傳播模型

(1)

其中，t>0,x∈Ω. 具有Neumann 邊界條件

t>0,x∈?Ω.(2)

如果模型(1)存在行波解， 則其形式為

(SD(x,t),ID(x,t),SL(x,t),IL(x,t))=

(SD(z),ID(z),SL(z),IL(z)),

z=x-ct.

故模型(1)滿足方程組(3)

(3)

(4)

2 最小波速

研究連接E0與E*的最小波速問題， 假設(shè)R0>1, 則式(4)的解應(yīng)滿足邊界條件

與同時(shí)代人相比，何晏留存到今天的文字并不算少，除了這封奏章，他還寫過一篇《景福宮賦》，同樣是四平八穩(wěn)，文筆辭藻樣樣都到位，只不過讀起來跟炒菜沒放鹽似的，總感覺缺點(diǎn)什么。

特征方程為

Q(λ)P(λ)=0,(5)

(6)

3 穩(wěn)定性分析

研究地方病平衡點(diǎn)E*的穩(wěn)定性， 首先做變換， 令

并設(shè)

S1(x,t)=s1eαt+in x,I1(x,t)=i1eαt+in x,

S2(x,t)=s2eαt+in x,I2(x,t)=i2eαt+in x,(7)

式中：s1,i1,s2,i2為常數(shù)； ein x為有界周期函數(shù)；n為波數(shù).α的實(shí)部Reα的符號(hào)決定平衡點(diǎn)E*的穩(wěn)定性. 如果Reα<0， 則E*是穩(wěn)定的， 如果Reα>0， 則E*不穩(wěn)定. 把式(7)代入式(1)中得

(α+m2)(α3+b1α2+b2α+b3)=0,(8)

其中

顯然式(8)有一負(fù)根α=-d， 且bi>0(i=1,3). 記

則

由Routh-Hurwitz 判據(jù)知式(8)的所有根均具有負(fù)實(shí)部， 即地方病平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定.

4 數(shù)值模擬

通過數(shù)值擬合來研究參數(shù)對(duì)包蟲病傳播及最小波速的影響.選取參數(shù)β1=5.8×10-8,β2=6.89×10-8,α1=0.005,α2=0.01,A1=2×105,A2=1.05×108,m1=0.08,m2=0.33,σ=2. 計(jì)算得最小波速為c*=0.108 7 km·year-1. 行波解見圖 1.

圖 1 ID(x,t)的行波圖Fig.1 The traveling wave of ID(x,t)

圖 2 顯示了參數(shù)A1,σ,α1,α2對(duì)包蟲病傳播速度的影響. 由圖 2 可以看出A1和σ的影響比α1和α2的要大.α1與α2僅影響行波的傳播速度， 而A1和σ不僅影響行波的傳播速度， 還影響行波的級(jí)數(shù). 圖 2 表明限制狗的擴(kuò)散能減小包蟲病的擴(kuò)散速度， 但是不能消滅包蟲病.

圖 2 不同參數(shù)對(duì)ID(x,t)的影響Fig.2 The influence of different parameter values on ID(x,t)

圖 3 顯示α2比σ,A1,A2對(duì)最小波速c*的影響大， 即染病狗的擴(kuò)散率是影響包蟲病傳播的最重要因素， 因此限制狗的活動(dòng)對(duì)控制包蟲病至關(guān)重要.σ對(duì)c*的影響僅次于α2， 隨著σ的連續(xù)增加，c*不斷減少. 通過增加對(duì)狗打驅(qū)蟲劑的頻率， 可以減少c*的值， 從而減小包蟲病的擴(kuò)散速度. 降低狗的出生率A1也有利于控制疾病傳播.

圖 3 不同參數(shù)對(duì)最小波速c*的影響Fig.3 The influence of different parameter values on the minimum wave speed c*

5 結(jié) 論

本文研究了狗的擴(kuò)散對(duì)包蟲病傳播的影響， 建立了反應(yīng)擴(kuò)散模型. 給出了行波解的最小波速和地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性， 并對(duì)參數(shù)做了敏感性分析. 數(shù)值模擬表明控制染病狗的擴(kuò)散， 增加對(duì)狗打驅(qū)蟲劑的頻率， 降低狗的出生率都對(duì)控制包蟲病有利， 所得結(jié)論與文獻(xiàn)一致.

[1] Yang Shijie, Wu Weiping, Tian Tian, et al. Prevalence of cystic echinococcosis in slaughtered sheep as an indicator to assess control progress in emin county, Xinjiang, China[J]. Korean Journal of Parasitology, 2015, 53(3): 355-359.

[2] Jia Wanzhong. Current progress on prevention of hydatid disease in China[J]. Veterinary Orientation, 2011, 6: 30-33.

[3] Li Tiaoying, Qiu Jiamin, Yang Wen, et al. Echinococcosis in Tibetan populations, western Sichuan Province, China[J]. Emerging Infectious Diseases, 2005, 11: 1866-1873.

[4] Yu Senhai, Wang Hu, Wu Xiaohong, et al. Cystic and alveolar echinococcosis: an epidemiological survey in a Tibetan population in southeast Qinghai, China[J]. Japanese Journal of Infectious Diseases, 2008, 61: 242-246.

[5] 溫浩， 徐明謙. 實(shí)用包蟲病學(xué)[M]. 北京： 科學(xué)出版社， 2007.

[6] 蔣次鵬. 我國包蟲病流行近況[J]. 地方病通報(bào)， 2002, 17(3): 77-79.

Jiang Cipeng. Current progress of hydatid disease in China[J]. Endemic Diseases Bulletin, 2002, 17(3): 77-79. (in Chinese)

[7] Mastrandreaa S, Stegelb G, Piseddua T, et al. A retrospective study on burden of human echinococcosis based on Hospital Discharge Records from 2001 to 2009 in Sardinia, Italy[J]. Acta Tropica, 2012, 123: 184-189.

[8] Thompson R C A, Jenkins D J. Echinococcus as a model system: biology and epidemiology[J]. International Journal for Parasitology, 2014, 44: 865-877.

[9] Ebrahimipour M, Budke C M, Najjari M. Bayesian spatial analysis of the surgical incidence rate of human cystic echinococcosis in north-eastern Iran[J]. Acta Tropica, 2016, 163: 80-86.

[10] 王舂江, 李金嶺, 呂廣國, 等. 包蟲病的流行過程、 癥狀及危害[J]. 獸醫(yī)導(dǎo)刊, 2011, 6： 24-25.

Wang Chunjiang, Li Jinling, Lv Guangguo, et al. The epidemic process, the symptoms and harm of hydatid disease[J]. Veterinary Orientation, 2011, 6: 24-25. (in Chinese)

[11] 趙瑜, 康云. 包蟲病傳播的數(shù)學(xué)模型及控制策略研究[J]. 中國動(dòng)物傳染病學(xué)報(bào), 2011, 19(4): 81-86.

Zhao Yu, Kang Yun. Mathematical modelling and controlling of echinococcosis spread[J]. Chinese Journal of Animal Infectious Diseases, 2011, 19(4): 81-86. (in Chinese)

[12] 杜守洪, 王蕾, 張學(xué)良, 等. 一類具有飽和發(fā)生率的包蟲病傳播模型研究[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2013, 43(20): 269-273.

Du Shouhong, Wang Lei, Zhang Xueliang, et al. A echinococcosis model with saturation Incidence[J]. Mathematics in Practice and Theory, 2013, 43(20): 269-273. (in Chinese)

[13] Wang Kai, Zhang Xueliang, Jin Zhen, et al. Modeling and analysis of the transmission of echinococcosis with application to Xinjiang Uygur Autonomous Region of China[J]. Journal of Theoretical Biology, 2013, 333: 78-90.

[14] Wang Kai, Zhang Xueliang, Teng Zhidong, et al. Analysis of a patch model for the dynamical transmission of echinococcosis[J]. Abstract and Applied Analysis, 2014， 2: 1-13.

[15] Lewis F I, Otero-Abad B, Hegglin D, et al. Dynamics of the force of infection: insights from echinococcus multilocularis infection in foxes[J]. PLOS Neglected Tropical Diseases, 2014, 8(3): e2731.

[16] Giraudoux P, Pleydell D, Raoul F, et al. Transmission ecology of Echinococcus multilocularis: what are the ranges of parasite stability among various host communities in China? [J]. Parasitology International, 2006, 55(Suppl): S237-S246.

[17] Maidana N A, Yang H M. Spatial spreading of West Nile Virus described by traveling waves [J]. Journal of Theoretical Biology, 2009, 258: 403-417.