關(guān)于Lyapunov方法教學(xué)的幾點(diǎn)反思

丁建

摘 要： Lyapunov方法是定性研究微分方程的重要方法，在非線性系統(tǒng)、自動(dòng)控制等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。但在教學(xué)過程中還存在對(duì)該方法重視程度不夠、歷史背景介紹不詳盡、方法應(yīng)用介紹不全面等問題。本文擬對(duì)這些問題作深入分析，以引起相關(guān)教育工作者的反思。

關(guān)鍵詞： Lyapunov方法;Lyapunov函數(shù);Lyapunov方法的應(yīng)用

Lyapunov方法是研究方程解的穩(wěn)定性的重要方法，是《常微分方程》課程的重要內(nèi)容。

Lyapunov方法分為第一方法和第二方法。第一方法利用微分方程的級(jí)數(shù)解研究解的穩(wěn)定性，自提出后就沒有大的突破和發(fā)展;第二方法也稱作直接法，其通過構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)，計(jì)算其沿微分方程解隨時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以判斷方程零解的穩(wěn)定性。由于第二方法不需求解方程即可判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，這對(duì)研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性尤其是非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來了很大的方便，已經(jīng)成為研究穩(wěn)定性問題的主流方法。Lyapunov函數(shù)是Lyapunov第二方法的核心與靈魂，解決穩(wěn)定性問題的過程就是尋找合適的Lyapunov函數(shù)的過程。針對(duì)不同的問題，需要構(gòu)造不同的Lyapunov函數(shù)。當(dāng)前，還未發(fā)現(xiàn)普遍適用的Lyapunov函數(shù)構(gòu)造方法。作者在《常微分方程》課程的教學(xué)和調(diào)研過程中發(fā)現(xiàn)在Lyapunov方法的教學(xué)過程中還存在一些突出問題，值得深入反思和進(jìn)一步改進(jìn)。

一、 許多院校或主講教師對(duì)于Lyapunov方法重要性的認(rèn)識(shí)不夠深刻，沒有引起學(xué)生對(duì)該方法的足夠重視

作為《常微分方程》理論部分的重要內(nèi)容，Lyapunov方法是定性研究方程解的最重要、最有效的方法。深刻掌握該部分內(nèi)容，對(duì)促進(jìn)學(xué)生從直接求解方程到定性研究方程的思維發(fā)展具有重要作用。另外，近些年Lyapunov方法在生態(tài)系統(tǒng)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、非線性系統(tǒng)、自動(dòng)控制等領(lǐng)域得到了越來越廣泛的應(yīng)用，其應(yīng)用價(jià)值和應(yīng)用潛力正逐漸顯現(xiàn)，因此，Lyapunov方法的重要性不言而喻。然而，長(zhǎng)期以來，限于課時(shí)或囿于狹隘的應(yīng)試教育思維，一些院校的師生對(duì)于Lyapunov方法的教與學(xué)沒有給予足夠的重視。許多主講教師僅對(duì)Lyapunov方法作簡(jiǎn)單的介紹，然后對(duì)應(yīng)穩(wěn)定性定理舉幾個(gè)方程照貓畫虎的驗(yàn)證一番即告完事，對(duì)于Lyapunov函數(shù)的定義和穩(wěn)定性定理的講解不夠透徹，有些院校甚至干脆略掉該部分內(nèi)容。這樣一來，這些院校進(jìn)入研究生階段的學(xué)生用到Lyapunov方法時(shí)還要重新學(xué)習(xí)，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，且效果往往不如本科階段對(duì)課程的系統(tǒng)學(xué)習(xí)好，對(duì)后續(xù)發(fā)展造成了不利影響。

二、 對(duì)于Lyapunov方法提出的歷史背景和發(fā)展過程不予介紹或介紹的不夠詳細(xì)，錯(cuò)過了對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)文化教育的絕好機(jī)會(huì)對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化教育是激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、形成正確的數(shù)學(xué)價(jià)值觀和科研觀的重要方法。“數(shù)學(xué)文化史的研究表明，如果數(shù)學(xué)作為一種文化的子系統(tǒng)處于整個(gè)民族文化系統(tǒng)中有主動(dòng)影響的層面（如宗教、哲學(xué)層面），就會(huì)對(duì)整個(gè)文化系統(tǒng)發(fā)生重大的影響”。

Lyapunov方法是由俄國(guó)數(shù)學(xué)家李雅普諾夫于1892年在其博士論文《運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般問題》中提出的，并首次給出了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的嚴(yán)格定義。中科院秦元?jiǎng)捉淌谟?0世紀(jì)50年代將李雅普諾夫的博士論文編譯成中文引入國(guó)內(nèi)。Lyapunov方法后經(jīng)李雅普諾夫的學(xué)生切塔耶夫，Barabashin，Krasovskii，尤其是蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Malkin以及美國(guó)數(shù)學(xué)大師Lasalle的改進(jìn)和推廣，形成了比較完善的穩(wěn)定性理論體系。

Lyapunov函數(shù)是Lyapunov方法的核心，其受能量函數(shù)和Poincare地形系思想的啟發(fā)，抽象、推廣而來。Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造沒有普適方法，依賴于科研人員的經(jīng)驗(yàn)和技巧，廖曉昕教授在文[4]和[5]中介紹了幾種利用試探、湊合構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的原則性方法。

三、 對(duì)于Lyapunov方法在當(dāng)代科學(xué)研究中的應(yīng)用介紹的不夠全面

Lyapunov方法正是由于其在控制等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用才迸發(fā)出蓬勃生機(jī)，因此，要深入掌握Lyapunov方法不應(yīng)該不對(duì)其應(yīng)用作全面詳細(xì)的了解。有些領(lǐng)域的Lyapunov方法應(yīng)用牽涉到較深的專業(yè)背景和應(yīng)用技巧，這就需要主講教師對(duì)問題進(jìn)行再加工，化繁為簡(jiǎn)，將不同領(lǐng)域的專業(yè)問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生可以理解的數(shù)學(xué)模型。盡可能地展現(xiàn)Lyapunov方法廣闊的應(yīng)用空間和巨大的應(yīng)用前景對(duì)于提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)遠(yuǎn)大的科研理想有重要的引導(dǎo)作用。

依據(jù)筆者《常微分方程》多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，可向?qū)W生提供Lyapunov方法在傳染病模型、生態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性以及非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性研究方面的應(yīng)用，限于篇幅，在此不展開論述。

綜上所述，在教學(xué)過程中，教師需要提升學(xué)生對(duì)Lyapunov方法重要性的認(rèn)識(shí)，注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)歷史和數(shù)學(xué)文化的教育，向?qū)W生展示Lyapunov方法的廣闊應(yīng)用空間，這不僅僅是單純的傳授知識(shí)，更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)理想的大好機(jī)會(huì)，應(yīng)引起廣大主講教師的高度重視。

參考文獻(xiàn)：

[1]王憲昌.數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教育中的地位[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2006（6），25-27.

[2]Malkin N G. Theory of stability of motion[M]. Moscow：Nauka，1966（in Russian）.

[3]LaSalle J P. The stability of dynamical systems[M]. Ser. Regional Conference Series in Applied Mathematics. Society for Industrial and Applied Mathematics，1976.

[4]廖曉昕.穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)理論和應(yīng)用[M].武漢：華中師范大學(xué)出版社，2001.

[5]廖曉昕.漫談Lyapunov穩(wěn)定性的理論、方法和應(yīng)用[J].南京信息工程大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，1（1）：1-15.