小學(xué)數(shù)學(xué)合情推理教學(xué)模式初探

楚曉密

摘 要：推理一般包括合情推理與演繹推理。小學(xué)階段，蘊含著許多合情推理的內(nèi)容，應(yīng)用過程中，要鼓勵學(xué)生猜想，嚴(yán)謹(jǐn)驗證，并注意要讓學(xué)生感受合情推理有時并不可靠，這些至關(guān)重要。

關(guān)鍵詞：合情推理 猜想 驗證 體驗

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中?！蓖评硪话惆ê锨橥评砼c演繹推理。小學(xué)階段，蘊含著許多合情推理的內(nèi)容，合情推理教學(xué)模式的具體流程如下：

現(xiàn)結(jié)合具體案例對此流程予以闡述。

一、模式重點環(huán)節(jié)的應(yīng)用要求

1.鼓勵有理有據(jù)的猜想

此處的猜想，不能讓學(xué)生天馬行空胡亂猜想，而應(yīng)該是有理有據(jù)的猜想。即必須要結(jié)合已有的知識經(jīng)驗和生活經(jīng)驗，通過對直觀經(jīng)驗、相關(guān)知識的觀察、對比，在溝通的基礎(chǔ)上提出有一定論據(jù)的猜想，不能讓猜想成為形式。

以《2、5的倍數(shù)的特征》為例：教師在讓學(xué)生對2的倍數(shù)的特征進行猜想時，讓學(xué)生說一說猜想的理由。有學(xué)生說：“我是先舉例子的，比如2的倍數(shù)有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20等等，這些數(shù)個位上的數(shù)字都是2、4、6、8、0，所以我猜測2的倍數(shù)個位上是2、4、6、8、0。”又有學(xué)生說：“我是用加法思考的。我想2的倍數(shù)就是2個2個逐一加上去的，所以都會是雙數(shù)，就是2、4、6、8、10，然后兩位數(shù)時個位上又會是2、4、6、8、0，三位數(shù)的時候個位上也會是2、4、6、8、0。所以我覺得2的倍數(shù)就是雙數(shù)，個位上是2、4、6、8、0?！?學(xué)生的猜想雖然語言表述上還不是很精準(zhǔn)，但從中能夠很清晰的反應(yīng)出他們原始的知識和經(jīng)驗儲備，原有經(jīng)驗被激活，進入合情推理的初始環(huán)節(jié)。

2.提倡科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)仳炞C

（1）舉例

舉例是根據(jù)前期的猜想舉出符合條件的例子，可以是具體數(shù)字，也可以是算式、圖例等。仍然以《2、5的倍數(shù)的特征》為例。學(xué)生在提出猜想后，為了驗證猜想的正確與否，要求學(xué)生想辦法進行驗證。此時，學(xué)生出現(xiàn)了兩大思維路徑：

第一種是按照猜想進行順向舉例：在百數(shù)表中進行圈畫，按照找倍數(shù)的方法找出100以內(nèi)2的所有倍數(shù)，經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)2的倍數(shù)分布很有規(guī)律，即總是整列整列地呈現(xiàn)。進而發(fā)現(xiàn)各列的共同特點，即個位數(shù)字都是2、4、6、8、0。此時鼓勵學(xué)生進行更大范圍的思考。學(xué)生結(jié)合發(fā)現(xiàn)會迅速明確：100以后2的倍數(shù)也會整列整列分布，即個位上是2、4、6、8、0。

第二種驗證思維是逆向的。即按照猜想的內(nèi)容，先列舉出一些個位上分別是2、4、6、8、0的數(shù)，包括一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)，通過計算看是否是2的倍數(shù)。經(jīng)過這些例子的計算，驗證猜想的正確性，從而得出結(jié)論。

舉例有時可以全部列舉，大多時候只是一種不完全舉例，即由部分符合條件的例子中，加上科學(xué)推理，得出結(jié)論。形式不重要，重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷驗證的過程，積累活動經(jīng)驗。

（2）幾何直觀的應(yīng)用

小學(xué)生的思維仍然呈現(xiàn)以形象思維為主的特點，抽象思維大多時候也需要借助直觀模型的輔助。幾何直觀的應(yīng)用，能夠很好地幫助學(xué)生跨越思維障礙和難點，幫助學(xué)生進入推理驗證的過程，并得出正確結(jié)論。

以《包裝的學(xué)問》為例。學(xué)生猜想，兩個相同的長方體進行包裝時，將最大的兩個面重疊最節(jié)省包裝紙。按照這個猜想進行驗證時，學(xué)生由于思維水平的不同，會呈現(xiàn)出不同層次的驗證方法。思維水平好的學(xué)生會直接計算減少的面積，但大多數(shù)學(xué)生會選擇計算所需包裝紙。而在計算所需包裝紙的時候，又會有兩種方法：第一種，看作新長方體，找出新長方體的長、寬、高，計算新長方體的表面積；第二種，用兩個長方體原來的表面積之和減去重疊面的面積。不論選擇哪種方法，都需要學(xué)生有較好的空間觀念。但事實上，很大一部分學(xué)生不能在腦海中構(gòu)建這一幾何模型。此時就需要借助幾何直觀的手段，或者利用學(xué)具擺一擺、拼一拼來確定數(shù)據(jù)，或者畫出新的圖形幫助尋找數(shù)據(jù)，從而讓學(xué)生在直觀模型的輔助下，迅速找出數(shù)據(jù)并計算。

（3）實驗

數(shù)學(xué)中許多結(jié)論的推導(dǎo)都要借助實驗的手段。實驗可以是根據(jù)前期猜想利用學(xué)具操作，也可以是利用直觀模型進行轉(zhuǎn)化。實驗過程中，要注意對實驗數(shù)據(jù)的收集整理，尤其是要從實驗數(shù)據(jù)中抽取出有用的信息加以分析，從而驗證猜想是否正確。

以《圓錐體積》為例。學(xué)生在起始階段根據(jù)圓柱體積計算方法、圓柱與圓錐相似之處、等底等高的圓柱和圓錐外形上的對比，猜想：圓錐體積等于與它等底等高的圓柱體積的，并提出了用一組等底等高的的圓柱和圓錐容器進行實驗驗證。

在操作過程中有兩種方式：一種是用圓錐容器裝滿米粒，倒入等底等高的圓柱容器中，看幾次可以裝滿圓柱容器；一種是將圓柱容器裝滿米粒，倒入等底等高的圓錐容器中，看能倒?jié)M幾次。兩種實驗操作都可以發(fā)現(xiàn)等底等高圓柱與圓錐體積之間的倍數(shù)關(guān)系。在有了實驗支撐后，學(xué)生結(jié)合實驗數(shù)據(jù)就能準(zhǔn)確得出結(jié)論。

二、教學(xué)模式應(yīng)用中，要注重讓學(xué)生感知合情推理有時并不可靠

合情推理的結(jié)論有時并不可靠，教學(xué)中，鼓勵學(xué)生猜測固然重要，但是也應(yīng)使其感知到猜測有時并不準(zhǔn)確，必須經(jīng)過實踐驗證，從而讓學(xué)生擺脫僅憑經(jīng)驗和直覺進行學(xué)習(xí)的固式。

以《3的倍數(shù)的特征》為例。受2、5的倍數(shù)特征研究經(jīng)驗的影響，學(xué)生在最開始猜想時會只關(guān)注個位數(shù)字，認(rèn)為“3的倍數(shù)個位上是3、6、9”。這說明學(xué)生已經(jīng)具備了樸素的類比推理經(jīng)驗。但這個猜想很快會被推翻，根據(jù)舉例子驗證的經(jīng)驗，會有兩種不同的推翻方法：一種是舉出3的倍數(shù)，發(fā)現(xiàn)其個位數(shù)字0至9十個數(shù)字都有出現(xiàn)；另一種會舉反例推翻這個猜想。這個過程在教學(xué)中雖然會顯得浪費時間，但卻必不可少。因為這正是讓學(xué)生感受合情推理并不可靠，必須要經(jīng)過科學(xué)合理的驗證，從而鼓勵學(xué)生重新觀察、重新猜想、重新驗證。

數(shù)學(xué)推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，課標(biāo)將推理能力作為核心詞之一，需要教師的繼續(xù)深入探索，從而為學(xué)生的終身發(fā)展奠定基礎(chǔ)。endprint