離散型隨機(jī)變量的期望與方差

趙碧云++余錦銀

離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差是三個(gè)緊密相連的有機(jī)統(tǒng)一體，一般綜合在一起進(jìn)行考查. 其解題的關(guān)鍵是求出分布列，然后套用公式即可求出期望與方差. 下面我們結(jié)合實(shí)例談一談離散型隨機(jī)變量的期望與方差及其應(yīng)用.

常見分布列的數(shù)學(xué)期望與方差

例1 一個(gè)口袋內(nèi)裝有5個(gè)白球和2個(gè)黑球，現(xiàn)從中每次摸取一個(gè)球，取出黑球就放回，取出白球則停止摸球. 求取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差.

分析 每次取出黑球就放回，取到白球才結(jié)束. 每次從袋內(nèi)取出白球的概率，取出黑球的概率. 的取值為1，2，3，…，有無窮多個(gè). 因此服從幾何分布.

解 用表示前次均取到黑球，而第次取到白球，

故，.

又服從幾何分布.

從而，.

點(diǎn)評(píng) （1）幾何分布：概率為的事件，以記為首次發(fā)生所進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，則的分布列：，具有這種分布列的隨機(jī)變量，稱為服從參數(shù)的幾何分布. （2）幾何分布的期望，方差.

例2 某校校慶，各屆校友紛至沓來，某班共來了n位校友（n>10且），其中女校友6位，組委會(huì)對(duì)這n位校友制作了一份校友名單. 現(xiàn)隨機(jī)從中選出2位校友代表，若選出的2位校友是一男一女，則稱為“最佳組合”.

（1）若隨機(jī)選出的2位校友代表為“最佳組合”的概率等于，求n的值；

（2）當(dāng)n=12時(shí)，設(shè)選出的2位校友中女校友人數(shù)為ξ，求ξ的分布列以及Eξ，.

解析 （1）由題意可知，所選兩人為“最佳組合”的概率.

則.

化簡(jiǎn)得，n2-25n+144=0，

解得，n=9（舍去），或n=16.

故n=16.

（2）由題意得，的可能取值為0，1，2.

則P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，

P（ξ=2）=.

[ 0 1 2 ]

，

點(diǎn)評(píng) ①在含有件次品數(shù)的件產(chǎn)品中，任取件，其中含有件次品數(shù)，則事件發(fā)生的概率為，=0，1，2，…，，其中，且，，，，，稱此分布列為超幾何分布列.

[ 0 1 ]

②超幾何分布的期望，.

離散型隨機(jī)變量在實(shí)際中的應(yīng)用

例3 甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相等. 而兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列如下. 試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平.

甲保護(hù)區(qū)

[ 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.2 ]

乙保護(hù)區(qū)

[ 0 1 2 0.1 0.5 0.4 ]

分析 一是要比較一下甲、乙兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的違規(guī)事件的次數(shù)的均值，即數(shù)學(xué)期望；二是要看發(fā)生違規(guī)事件次數(shù)的波動(dòng)情況，即方差值的大小. （當(dāng)然，亦可計(jì)算其標(biāo)準(zhǔn)差，同樣說明道理. ）

解 甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差為：

乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差為：

.

因?yàn)椋詢蓚€(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的違規(guī)平均次數(shù)是相同的；乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定，而甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對(duì)分散和波動(dòng).

（標(biāo)準(zhǔn)差這兩個(gè)值在科學(xué)計(jì)算器上容易獲得，顯然，.）

點(diǎn)評(píng) 數(shù)學(xué)期望只體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小，但有時(shí)僅知道均值大小還是不夠的（比如：兩個(gè)隨機(jī)變量的均值相等了，即數(shù)學(xué)期望值相等），這就還需要知道隨機(jī)變量的取值如何在均值周期變化，即計(jì)算其方差（或是標(biāo)準(zhǔn)差）. 方差大說明隨機(jī)變量取值分散性大，方差小說明取值分散性小或者說取值比較集中、穩(wěn)定.

期望、方差與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用

例4 某廠用鮮牛奶在某臺(tái)設(shè)備上生產(chǎn)兩種奶制品. 生產(chǎn)1噸產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使用設(shè)備1小時(shí)，獲利1000元；生產(chǎn)1噸產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸，使用設(shè)備1.5小時(shí)，獲利1200元. 要求每天產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn)兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過12小時(shí). 假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W（單位：噸）是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列如下.

[ 12 15 18 0.3 0.5 0.2 ]

該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利（單位：元）是一個(gè)隨機(jī)變量.

（1）求的分布列和均值；

（2）若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率.

解析 （1）設(shè)每天兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為，相應(yīng)的獲利為，

則 （*）

目標(biāo)函數(shù)為.

①當(dāng)時(shí)，（*）表示的平面區(qū)域如圖1，三個(gè)頂點(diǎn)分別為.

將變形為，

當(dāng)時(shí)，直線：在軸上的截距最大，

最大獲利.

②當(dāng)時(shí)，（*）表示的平面區(qū)域如圖2，三個(gè)頂點(diǎn)分別為.

將變形為，

當(dāng)時(shí)，直線：在軸上的截距最大，

最大獲利.

③當(dāng)時(shí)，（*）表示的平面區(qū)域如圖3，四個(gè)頂點(diǎn)分別為.

將變形為，

當(dāng)時(shí)，直線：在軸上的截距最大，

最大獲利.

故最大獲利的分布列為

[ 8160 10200 10800 0.3 0.5 0.2 ]

故

（2）由（1）知，一天最大獲利超過10000元的概率.

由二項(xiàng)分布知，3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為

點(diǎn)評(píng) 本題是隨機(jī)變量的分布列、期望、二項(xiàng)分布與線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用. 很多同學(xué)由于題目較長(zhǎng)讀不懂題意，無法轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致丟分. 其實(shí)只需根據(jù)的取值和線性規(guī)劃的知識(shí)求出的所有可能取值及對(duì)應(yīng)的概率就可得到的分布列，問題也就迎刃而解了.endprint