新視角教學(xué)RC電路暫態(tài)過程
——電路模型等效變換的角度

丘來金 趙 強

(華東師范大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院 上海 200241)

RC電路暫態(tài)過程是物理類和電氣電子工程類課程的基礎(chǔ)內(nèi)容.雖然常見的教材中的分析過程不算非常復(fù)雜，然而，在物理模型的構(gòu)建和物理含義的展現(xiàn)方面，對部分學(xué)生來說，仍然存在較大難度，特別是對于大學(xué)低年級的學(xué)生來說，在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時，容易傾向于通過機械記憶結(jié)論來應(yīng)對考試，阻礙了高層次教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn).鑒于此，本文將針對教學(xué)現(xiàn)狀，探討一種可行的教學(xué)改進方略.

現(xiàn)代認知心理學(xué)研究的結(jié)論表明，在教學(xué)過程中，基于學(xué)生熟悉的、簡單的和直觀的現(xiàn)象來構(gòu)建富有意義的問題分析模型，可以更好地引導(dǎo)學(xué)生激活和提取已有記憶，進行富有意義和效果的編碼過程，最終實現(xiàn)深層次的記憶重構(gòu)[1～3].這樣，不但有利于快速掌握學(xué)習(xí)任務(wù)，構(gòu)建穩(wěn)固的基礎(chǔ)知識記憶單元，也有利于在新的任務(wù)中快速激活先驗圖式以及實現(xiàn)相關(guān)記憶的擴散式激活，從而較好地實現(xiàn)遷移效果[3,4].

簡單的常系數(shù)衰減過程對學(xué)生來說比較熟悉，是普通物理和高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)典型案例.因此，本文首先從簡單常系數(shù)衰減過程的視角對RC電路暫態(tài)過程的簡單情形——零輸入響應(yīng)進行分析，然后通過對電容元件的電路模型進行重構(gòu)變換，對RC電路的全響應(yīng)進行探討，直觀地展現(xiàn)出該過程的物理內(nèi)涵，由此實現(xiàn)對教學(xué)效果的改善.

1 對RC電路暫態(tài)過程的分析

教學(xué)RC電路的暫態(tài)過程時，常見的典型電路如圖1所示.在t=0時刻之前，開關(guān)S處于位置1，并且電路已處于穩(wěn)態(tài).當(dāng)t=0時，S切換到位置2.

圖1 (全響應(yīng))RC電路

電路的暫態(tài)過程將是由式(1)所描述的全響應(yīng)，其中，uC的初態(tài)(t=0)為E1，終態(tài)(t=∞)為E2.

(1)

雖然全響應(yīng)具有通用性，但是為了分析的方便，先探討E2=0時的特殊情形.

1.1 E2=0時的零輸入響應(yīng)

E2=0時，電路的暫態(tài)過程變?yōu)閳D2所示的零輸入響應(yīng).由式(1)得到

(2)

圖2 (零輸入響應(yīng))RC電路

(3)

結(jié)果表明RC電路的零輸入響應(yīng)就是電容器初始電壓的常系數(shù)衰減過程，也就是電容器C中儲存的電荷量Q=CuC的一階常系數(shù)衰減過程.

1.2 通過電路模型變換分析全響應(yīng)

若將電路中的電容器C的電路模型按圖3進行等效變換，也就是，將電容器C看作一個電容器C′和一個恒壓源E3的串聯(lián)組合，則有C′=C和uCe=uC-E3.

圖3 電容器的電路模型等效變換

若E3=E2，圖1所示的電路將變成圖4所示的情形(在t=0時刻，開關(guān)S閉合).由uCe=uC-E2，得uCe|t=∞=0，那么，對uCe而言，該暫態(tài)過程是一個與圖2相同的零輸入響應(yīng).因此

(4)

其中ΔE=E1-E2.得出

(5)

圖4 模型變換后的RC電路

由上面的分析過程，可以看出，RC電路的全響應(yīng)是發(fā)生在初態(tài)與終態(tài)間的一個衰減過程.反映的是初態(tài)與終態(tài)間電容器兩端的電壓(或電荷量)差值的衰減過程.

此外，式(5)又可以寫為

(6)

可知，全響應(yīng)可以看作是零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)的疊加.對這一結(jié)論，在常見的教材中只是簡單地解釋成因為電容器可以看作一種電源，所以電路符合疊加原理，就可以看作是零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)的疊加，然而，在深究時，這一解釋又會顯得乏力.此外，有些教材通過直接求解式(1)來得出式(6)的結(jié)論，并描述為一個自由分量和控制分量的組合.導(dǎo)致很多學(xué)生直接記結(jié)論，然而，因為缺乏對物理含義的直觀詮釋，學(xué)生在運用該結(jié)論解決問題時，難免會有生搬硬套的情形.為此，下面將再次借助電路模型等效變換的途徑，來對此加以探討.

在對電容器部分的電路模型使用圖3所示的等效變換時，若令E3=E1，圖1所示的電路將變成圖5所示(在t=0時刻，開關(guān)S閉合).

此時，uCe=uC-E3=uC-E1，可知uCe|t=0=0.

圖5 模型變換后的全響應(yīng)RC電路

根據(jù)疊加原理，電路的狀態(tài)可以看作是圖6所示的兩個恒壓源單獨作用時的疊加.那么

uCe=uCe1+uCe2

(7)

那么，根據(jù)圖3給出的電路模型變換關(guān)系和條件E3=E1，則uC滿足

(8)

因此，在分析RC電路的全響應(yīng)時，不是將電容器簡單地看作一種電源，而是將電容器初態(tài)(儲存有能量)時的穩(wěn)定狀態(tài)作為參考狀態(tài)，而此參考狀態(tài)可以描述為一個恒壓源(電動勢與電容器的初始儲存能量相對應(yīng)).

當(dāng)E3恒壓源單獨作用時，對uCe1來說，是電源電壓為-E1的零狀態(tài)響應(yīng)，故有

(9)

則

(10)

圖6 兩恒壓源單獨作用時的等效電路

其實，根據(jù)圖3給出的電路模型變換關(guān)系可知該電路所示的過程，對uC來講就是初始狀態(tài)為uC|t=0=E1的零輸入響應(yīng)，可以直接得出式(10)的結(jié)果.

當(dāng)恒壓源E2單獨作用時，對uCe2來說，是電源為E2的零狀態(tài)響應(yīng)，故有

(11)

則

(12)

可知，該電路所示的過程，對uC來講，就是電源電壓為E2的零狀態(tài)響應(yīng).

至此，由式(8)、(10)和(12)可得

從而得出“全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)”的結(jié)論.

2 總結(jié)

從上面的分析可以看出，基于學(xué)生熟悉的基礎(chǔ)知識和技能，通過電路模型等效重構(gòu)變換的途徑，能夠直觀地展現(xiàn)出RC電路暫態(tài)過程的物理實質(zhì).在加深對電路模型的掌握的同時，能夠較好地幫助學(xué)生掌握物理內(nèi)涵和物理模型構(gòu)建策略，有效地激活已有的知識記憶，并且建立意義明確的關(guān)聯(lián)，從而實現(xiàn)改善教學(xué)效果的目的.

1 Kinjo, H., & Snodgrass, J. G., Does the generation effect occur for pictures.American Journal of Psychology, 2000, 113: 95～121

2 Radvansky, G. A. , Situation models, propositions, and the fan effect.Psychonomic Bulletin &Review, 2005, 12:478～483

3 Anita Woolfolk.Educational Psychology(10thEdition). Pearson Education, Inc. 2007.292～301

4 Richey J. E., Nokes-Malach T. J..Comparing four instructional techniques for prompting robust knowledge.Educational Psychology Review, 2015,27: 181～218