要想構(gòu)建概念，必先理清關(guān)系
——以“乘法分配律”教學(xué)為例

江蘇鹽城市建軍路小學(xué) 于正軍

“乘法分配律”是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)科中一個十分重要的定律，相對而言，它形式更為復(fù)雜，使用范圍更為寬泛，理解難度更大。“乘法分配律”涵蓋了乘法和加法兩種運算的內(nèi)在運行機制，需要一定的綜合能力才能靈活掌握和應(yīng)用兩位數(shù)乘法計算次序、矩形周長公式的提煉、路程等問題。

一、聯(lián)系生活實際 提取原始經(jīng)驗

創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活現(xiàn)實的情境，能有效提取學(xué)生的生活經(jīng)驗。課本以綠化活動為話題情景，全面展示了綠化的各個環(huán)節(jié)。教學(xué)時不妨讓學(xué)生根據(jù)主題圖提煉信息，學(xué)生可以暢所欲言，也可以結(jié)合圖中文字轉(zhuǎn)述，再引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)這些信息提問?？晒﹨⒖嫉膯栴}很多，其中“參加綠化活動的人數(shù)是多少？”這個問題包含了乘法分配律解決問題的可能性。題目相關(guān)信息：共有23個小隊，每隊中有3人從事植樹種草工作，2人從事清掃垃圾工作，2人取水育苗。每隊要種7棵松樹苗，每棵樹苗需要先澆2桶水。

思考：參加綠化活動的共有多少人？哪些條件對你解題有幫助？

這兩個問題是很容易想到的。如第一問：求總?cè)藬?shù)，這是每學(xué)期都會接觸到的總量問題。無非就是部分量加部分量等于總量，體現(xiàn)的也是分量和總量之間的關(guān)系，只是因為數(shù)據(jù)不同而可以選擇不同方法，當每份數(shù)相等時，采用乘法計算。第二問：哪些條件對你有所幫助？篩選有用條件，也是解題的必備技能。聯(lián)系綠化活動實際，可以喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進學(xué)生解決實際問題。學(xué)生一般會選用慣用的方法解題，如（3+2+2）×23與3×23+2×23+2×23，從中不難發(fā)現(xiàn)學(xué)生的經(jīng)驗已被激活。

二、分層理解數(shù)理關(guān)系 促進概念重塑

教師在教學(xué)“乘法分配律”時，從發(fā)現(xiàn)相等到探究真相，可以通過兩個層次來教學(xué)，多層次幫助學(xué)生完成意義構(gòu)建。

（一）追根溯源，發(fā)現(xiàn)相等

生1：（3+2+2）×23=161（人）

生2：3×23+2×23+2×23=161（人）

思考：（3+2+2）×23=161與3×23+2×23+2×23=161這兩個式子能不能畫等號？

學(xué)生能從結(jié)果相同判定算式相等，也能通過對題意的分析，看出只要算式的指向性一致，結(jié)果就是對的。當然這只是低層級的發(fā)現(xiàn)，沒有多少思維含量，此時學(xué)生的思考是機械淺表的，只有進行深度思考才能完成意義構(gòu)建。

（二）深度加工，證明相等

前面是結(jié)合題意和得數(shù)來判別算式相等的，而運算定律的學(xué)習(xí)掌握一定要達到抽象意識的高度，也就是拋開一切材料表象，單純就算式本身，來理解相等的合理性、合規(guī)性。

思考：（3+2+2）×23=161與3×23+2×23+2×23=161這兩算式，一個求積，一個求和，積與和是兩碼事，怎么最后畫起了等號？

這個問題看似簡單卻暗藏玄機，學(xué)生既要追溯加法、乘法的淵源，又要熟知四則運算混合后的運算定律，經(jīng)過一段時間的充分醞釀思考，學(xué)生可以闡述清楚：左邊是先求出每隊總?cè)藬?shù)，再求出23隊總?cè)藬?shù)，所以是求積；右邊先分別求出綠化團中各個工種的總?cè)藬?shù)，再把各個崗位上的人數(shù)加起來，所以是求和；其實它們的目標是一致的。教師適時引導(dǎo)，學(xué)生就能理解7個23與4個23加2個23再加上2個23，其實是一致的。

通過打通“求積”與“求和”之間的邏輯關(guān)聯(lián)，學(xué)生提取已有的認知經(jīng)驗，證明兩個算式是相等的。

三、檢視細微差異 加固模型結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗包括經(jīng)歷回憶和提取經(jīng)歷教訓(xùn)的過程。只有釋放更多的空間讓學(xué)生自由探究，獨立思考與充分研討，對問題的審讀才能全面深刻，使思路更明確，方法更多樣，概念理解更到位。

細節(jié)只有通過用心查驗才能發(fā)現(xiàn)?！俺朔ǚ峙渎伞币话闶窍壤斫馑憷碓倮斫舛晒剑坏W(xué)生理解了公式，就會立即進行應(yīng)用，這樣機械記憶和生搬硬套就會裹帶進去。所以筆者認為，有必要讓學(xué)生仔細甄別排查兩個算式的細微差別，找出結(jié)構(gòu)特征上的關(guān)聯(lián)。

思考一：兩個算式雖結(jié)果相等，但是形式不一樣。

學(xué)生從兩個角度描述異同點：

第一，字符算符不一，一個有括號一個沒有；“+”和“×”的數(shù)量與排列分配不一樣。

第二，數(shù)字不一樣，一個算式23只出現(xiàn)1次，一個算式23出現(xiàn)3次。

思考二：右邊算式23為什么出現(xiàn)了3次？左邊算式3、2、2都是加數(shù)，到了右邊怎么變成乘數(shù)？

思考三：用自己的語言講一講，兩個算式是怎么轉(zhuǎn)化的。

生：從左往右看，三個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以把每個加數(shù)分別與公共關(guān)系因數(shù)相乘，分步分批求積，再累計。從右往左看，帶有公共因數(shù)的幾個單項式，可以將公共因數(shù)提取出來，再求出積。學(xué)生的陳述過程其實就是分析理解分配律的過程。

對于一些基本數(shù)學(xué)概念公式定理的理解掌握，學(xué)生僅僅做到熟練使用是不夠的，必須做到靈活運用隨機變換?！俺朔ǚ峙渎伞奔入y以理解又難以表述清楚，高年級的學(xué)生也是較難理解的。由此可見，大量練習(xí)是能夠起到鞏固強化作用的。

日籍教育博士佐藤學(xué)認為：學(xué)習(xí)是與外部世界相遇、相知、相交的過程，通過與外部世界的交互對話，學(xué)習(xí)者重新建立了與對象世界的精神關(guān)系。在“乘法分配律”的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)歷類似的精神交流，溝通實際，激活經(jīng)驗，分層推進對關(guān)系的理解，唯有如此，他們才能切實理解和把握乘法運算律。?