“任意”腳撲朔，“存在”眼迷離

福建省南平市第一中學 潘 凌

“雄兔腳撲朔，雌兔眼迷離；雙兔傍地走，安能辨我是雄雌？”出自《木蘭詩》，多用于指事情重雜，而“任意”與“存在”好像雄兔與雌兔，在題中讓大多數(shù)學生“傻傻分不清”，從而束手無策。函數(shù)中的任意性與存在性問題，是函數(shù)、方程、不等式等內容交匯處的一個十分活躍的知識點，常與導數(shù)工具的靈活應用相結合，同時與數(shù)形結合、分類討論等數(shù)學思想緊密聯(lián)系，使題型更加多變，因此常受到高考命題者的青睞。這類題型常有以下三種情形：一是單函數(shù)、單變量中的任意與存在性問題；二是雙函數(shù)、雙變量中的任意性與存在性問題（存在存在型、任意任意型）；三是雙函數(shù)雙變量中的任意存在問題（任意存在型）。

一、單函數(shù)、單變量中的任意與存在性問題

此類解題過程中常有如下結論：

以上結論的獲得可以借助生活例子引入（實驗方法）或借助函數(shù)圖象（數(shù)形結合思想）。

方法一：借助生活例子引入（實驗方法）

例如對于結論1，我們可以用甲班的數(shù)學成績打比方：有個人比甲班的任何一個學生的成績都要高，這個人的數(shù)學成績需要滿足什么條件？答案是這個人的數(shù)學成績應高于甲班分數(shù)最高的（即大于最大值）。

例如對于結論3，我們同樣用甲班的數(shù)學成績打比方：有個人比甲班的某個學生成績高，這個人的數(shù)學成績需要滿足什么條件？答案是這個人的數(shù)學成績高于甲班分數(shù)最低的（即大于最小值）。

例如對于結論5，我們同樣用甲班的數(shù)學成績打比方：有個人比甲班的某個學生成績一樣高，這個人的數(shù)學成績需要滿足什么條件？答案應是這人的數(shù)學成績介于最低分和最高分之間，即落在甲班學生成績構成的值域內。

方法二：借助函數(shù)的圖象（數(shù)形結合思想）

二、雙函數(shù)、雙變量中的任意性與存在性問題（存在存在型、任意任意型）

恒成立，則只需

方法一：借助生活例子引入（實驗方法）

例如對于結論6，我們可以用甲班和乙班的數(shù)學成績打比方：甲班的任何一個學生的成績要高于乙班的任何一個學生成績，那么甲班和乙班的學生成績需要滿足什么條件？答案是甲班的最低分數(shù)高于乙班的最高分數(shù)。

方法二：借助單函數(shù)、單變量中的任意與存在性問題

三、雙函數(shù)、雙變量中的任意性與存在性混合型問題（任意存在型）

同樣地，借助單函數(shù)、單變量中的任意與存在性問題考慮：

縱觀以上13個結論，實際上都是以前5個為基礎的一些變化，同時，對函數(shù)中的存在性與任意性問題，若是不等關系，則轉化為函數(shù)的最值問題，若是方程問題，則轉化為函數(shù)值域問題。另外，以上的結論都是在默認函數(shù)最值存在的前提下，若給定區(qū)間為非閉區(qū)間或函數(shù)非連續(xù)時，其最值可能無法取到，此時須確定其上（或下）界，并考慮等號能否取得。

此類問題關鍵是對“任意”“存在”意義的理解，當然還有很多問題可以等價轉化為任意或存在問題去求解，只要我們充分利用所給定函數(shù)的特點和性質，具體問題具體分析，選用恰當?shù)姆椒▽栴}進行等價轉化，就能使問題獲得解決，只有這樣，才能提高分析問題和解決問題的能力。

【參考文獻】

[1]傅建紅．聚焦函數(shù)中的任意性與存在性問題[J]．高中數(shù)學教與學，2012（6）．