整體思想在解決初中數(shù)學(xué)一元二次方程中的應(yīng)用

江蘇省鹽城市明達(dá)中學(xué) 劉國成

在學(xué)生接受義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)一直都是教學(xué)過程中非常重要的教學(xué)科目，數(shù)學(xué)教學(xué)中，一元二次方程的教學(xué)又是重點(diǎn)、難點(diǎn)，這就要求教師在初中數(shù)學(xué)一元二次方程的教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的思維活動(dòng)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)整體思想。數(shù)學(xué)的整體思想是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種重要的思想方法，教師應(yīng)該在帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)好一元二次方程的基本概念和基本知識的前提下，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)、體會數(shù)學(xué)整體思想在解決問題時(shí)的應(yīng)用。

一、整體觀察，發(fā)現(xiàn)解題思路

整體思想的特點(diǎn)就是從宏觀上全方面觀察事物的整體結(jié)構(gòu)和整體思想，從而在整體上揭露事物的本質(zhì)。一些著名科學(xué)家的成功之道就在于善于觀察，勤于觀察，就如同千百萬人見過蘋果自由掉落，只有牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律。所以說，觀察是解決數(shù)學(xué)問題常用的手段，整體觀察可以使學(xué)生們獲取事物或問題的數(shù)學(xué)特征，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)某些規(guī)律或性質(zhì)，找到解題思路。

比如，在帶領(lǐng)學(xué)生們學(xué)習(xí)《一元二次方程》這一課時(shí)，為了使學(xué)生們基于對一元二次方程概念的理解，掌握一元二次方程的一般形式，正確認(rèn)識二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)等數(shù)學(xué)知識，首先，在課程開始時(shí)，我在黑板上出示了一道例題：將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，其中二次項(xiàng)是什么？二次項(xiàng)系數(shù)是什么？一次項(xiàng)是什么？一次項(xiàng)系數(shù)是什么？常數(shù)項(xiàng)是什么？然后，我引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，仔細(xì)觀察方程的特征。有的學(xué)生說：“直接看看不出來，應(yīng)該整體研究?！庇械膶W(xué)生說：“肯定要合并同類項(xiàng)?！薄瓕W(xué)生們你一言我一語，從整體出發(fā)，分析這個(gè)方程式。最后，學(xué)生得出結(jié)論：先把整個(gè)方程化成一般形式2x2+2x-4=0，進(jìn)而找出問題的答案。

在本節(jié)案例中，學(xué)生們通過熟知的一元二次方程的基本概念，再通過仔細(xì)觀察、研究方程式，自然而然地發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，找出問題的答案。由此可見，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，不要讓學(xué)生拿起筆來就寫，應(yīng)該先引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察題目特征，這樣有助于發(fā)現(xiàn)問題已知和未知的聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)思路的突破，找到正確的解題方法。

二、整體代入，把問題化繁為簡

初中數(shù)學(xué)在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，是一個(gè)承上啟下的階段。教師在這個(gè)階段中，不應(yīng)該一味地給學(xué)生灌輸數(shù)學(xué)理論知識，布置大量作業(yè)，做大量練習(xí)題，而應(yīng)該從數(shù)學(xué)思想的角度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的整體思想。整體代入是數(shù)學(xué)整體思想中的一個(gè)重要思想。

比如，在帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)一元二次方程基本概念的應(yīng)用時(shí)，為了讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想中整體代入的思想，我用例題的形式展現(xiàn)了這種思想。首先，在上課開始時(shí)，我先在黑板上板書一個(gè)例題：已知，求x5+x4-x3+x2+2x-1的值。在這個(gè)算式中，如果將x的值直接代入多項(xiàng)式求解，不僅運(yùn)算復(fù)雜，而且極易出錯(cuò)。我提醒學(xué)生：“同學(xué)們，想想這幾節(jié)課都學(xué)的是什么知識。”隨后，我讓學(xué)生自己進(jìn)行演算、化簡，提高學(xué)生獨(dú)立思考問題的能力。最后，大部分學(xué)生都在嘗試把x的值代入。在這種情況下，我說：“在解決一些問題時(shí)，不一定非得把某個(gè)值代入求解，假如我們先對原式進(jìn)行化簡，構(gòu)造方程x2+x-1，你們看看會有什么樣的變化？”學(xué)生在我的解說下，經(jīng)過分析，很快就得出了問題答案。

在本節(jié)課的講解中，學(xué)生們認(rèn)識到了有一些數(shù)學(xué)問題從局部入手，用常規(guī)方法解決如果難以奏效，應(yīng)該轉(zhuǎn)化解題思路，嘗試從宏觀上進(jìn)行問題的整體分析，可能會使問題化繁為簡。由此可見，教師在引導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，應(yīng)該讓學(xué)生關(guān)注問題的整體形式，全面分析已知條件和待求結(jié)論，進(jìn)而找到簡單、有效的解題方法。

三、整體運(yùn)用，找到解題辦法

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會出現(xiàn)一些看起來較為復(fù)雜的算式，針對這種情況，教師在講授中應(yīng)該先帶領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用整體思想進(jìn)行觀察。也就是用整體的思想進(jìn)行詳細(xì)考察、分析問題，往往會使學(xué)生產(chǎn)生“柳暗花明又一村”的感覺。

比如，在帶領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)深入學(xué)習(xí)一元二次方程的時(shí)候，為了使學(xué)生可以更加靈活地運(yùn)用二元一次方程的知識，首先，在上課開始時(shí)，我利用題目幫助學(xué)生復(fù)習(xí)和鞏固。題目為：已知（a2+b2）2-（a2+b2）-6=0，求a2+b2的值。在問題的引導(dǎo)下，我說：“同學(xué)們，你們以小組為單位進(jìn)行討論、分析，找個(gè)代表總結(jié)討論結(jié)果?！痹谝欢螘r(shí)間的討論過后，有的學(xué)生說：“先進(jìn)行括號拆分，一步步分解?！庇械膶W(xué)生說：“那樣太麻煩了，不一定能算出來。”學(xué)生們爭來爭去，課堂氛圍開始活躍起來，但是始終沒能抓住解題要領(lǐng)。最后，在學(xué)生充分了解到這個(gè)問題后，我進(jìn)行講解：“同學(xué)們，如果我們把（a2+b2）看作一個(gè)整體，會有什么不一樣呢？”學(xué)生們瞬間反應(yīng)過來，異口同聲地說：“對呀，這不就是以（a2+b2）為未知數(shù)的一元二次方程的一般形式嘛。”

從這個(gè)例題中可以看出，在分析解題過程中，通過研究問題的整體形式，做式子的整體處理后，可以很容易地理解題目真正想要表達(dá)的內(nèi)涵，進(jìn)而快速、簡潔地處理問題。由此可見，教師在數(shù)學(xué)課堂講解過程中，應(yīng)該幫助學(xué)生抽絲剝繭，在復(fù)雜問題的求解中發(fā)現(xiàn)題眼，把煩瑣問題簡單化，既提高了學(xué)生的解題速度，又有利于學(xué)生在解決問題過程中深入體會到整體思想在數(shù)學(xué)問題中的重要地位。

綜上所述，整體思想是解決某些數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵思想之一，教師在教導(dǎo)初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，應(yīng)該讓學(xué)生樹立整體思想的概念，從而靈活運(yùn)用，避免學(xué)生把簡單的問題復(fù)雜化。整體思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)問題中，有助于學(xué)生高屋建瓴，把握問題的全局，完善認(rèn)識問題的結(jié)構(gòu)。