顯體系解疑難重變式
——從《平均數(shù)》課例看概念教學(xué)策略

葉柱（特級教師）

翻閱現(xiàn)行教材，不難發(fā)現(xiàn)，其中編寫著很多數(shù)學(xué)概念。確實，數(shù)學(xué)概念是課程領(lǐng)域內(nèi)極其重要的基礎(chǔ)知識，其教學(xué)實施事關(guān)學(xué)生各種數(shù)學(xué)能力的發(fā)展提升。面對習(xí)慣于具體感受、不善于抽象提煉的小學(xué)生，如何設(shè)計并開展概念教學(xué)，是一個需要持續(xù)關(guān)注、深入探討的現(xiàn)實問題。在本期“典型課例”中，徐金春、沈曉鈺兩位優(yōu)秀青年教師為我們呈現(xiàn)了基于新課程理念指引的《平均數(shù)》教學(xué)實錄，讀后頗有啟發(fā)。在此，我想結(jié)合兩個課例的學(xué)習(xí)體會，就概念教學(xué)的實踐策略談些粗淺想法。

一、顯體系：突出“概念”的生長性

眾所周知，某個新概念學(xué)習(xí)前，學(xué)生大都已有“前概念”。這個前概念，可能來自前位學(xué)習(xí)，也可能源于生活經(jīng)驗。備課時，教師要對學(xué)生的前位學(xué)習(xí)、生活經(jīng)驗予以足夠關(guān)注，力求捕捉其中的前概念因素。在此基礎(chǔ)上，通過營造空間、重點溝通等組織方式，促進前概念向新概念的無痕“升級”，從而夯實概念學(xué)習(xí)的基石。

我們一起探討，學(xué)生已有的“平均數(shù)”前概念可能會有哪些？首先，對于平均數(shù)，部分學(xué)生課前有所“觸碰”，但理解比較模糊。其次，對于“移多補少”的操作模式，很多學(xué)生是有生活經(jīng)驗的；而對于“先合后分”的運算策略，則與學(xué)生前期的“用除法解決問題”學(xué)習(xí)經(jīng)歷大有關(guān)聯(lián)?？梢哉f，學(xué)生對于“平均數(shù)”的前概念信息還是比較豐富的。

基于上述分析，我們來看兩節(jié)課的教學(xué)組織。課堂現(xiàn)場，兩位教師都讓學(xué)生自主經(jīng)歷“移多補少”“先合后分”策略的生成過程，這是打通前概念與新概念的絕佳體現(xiàn)。除此之外，兩節(jié)課還呈現(xiàn)出了不同的實踐個性。徐老師于課始直接揭示課題，請學(xué)生暢談對平均數(shù)的已有認識，由此摸準了概念生長的現(xiàn)實起點；在學(xué)生提出“（14+12+11+15）÷4=13”的解題策略后，徐老師及時追問學(xué)生“這樣做”的理由。就在此時，令人倍感意外與驚喜的是，教師并不滿足于“口頭文章”，而是獨具匠心地利用課件動態(tài)再現(xiàn)了“先合并，再等分”的過程畫面，直觀強化了二年級“平均分”知識與四年級“平均數(shù)”知識之間的本質(zhì)關(guān)聯(lián)。沈老師在創(chuàng)設(shè)“小紅、小麗、小娟的踢毽比賽”情境時，圍繞“分別用哪個數(shù)代表三人的踢毽水平”的核心問題，設(shè)計了一條“從三個相同的數(shù)中提取代表數(shù)”“從三個不同、但比較接近的數(shù)中提取代表數(shù)”“從三個不同、且差異較大的數(shù)中提取代表數(shù)”的遞進路徑，同樣有利于概念內(nèi)涵在每位學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)中有序生長。

二、解疑難：張揚“概念”的思辨味

在每個概念的學(xué)習(xí)過程中，常有一些核心元素遠比字面描述更為抽象，讓學(xué)生較難理解。直面這些核心元素的認知疑難，分析學(xué)情需求，改進環(huán)節(jié)設(shè)計，調(diào)整引領(lǐng)策略，是概念教學(xué)取得實效的重要法門。從這個角度來看，那些看似面面俱到、但對疑難核心元素缺乏充分關(guān)注、重點突破的教學(xué)組織，顯然是缺乏達成度的。

我們試著分析一下，“平均數(shù)”概念的理解難點在哪里？上文已談到，關(guān)于“平均數(shù)該如何得到”，學(xué)生的前概念較為豐富，并有“移多補少”“先合后分”的操作程序可以依靠，屬于技能范疇，因此算不上疑難。而說到“平均數(shù)能反映什么”，雖可結(jié)合情境作出解讀，但側(cè)重于觀念思辨，具有較高的抽象程度，很多學(xué)生理解起來不易“一步到位”，這才是概念建構(gòu)的疑難所在。很高興地看到，兩位教師都非常重視“平均數(shù)能反映什么”這一學(xué)習(xí)難點的有效突破，極其強調(diào)概念學(xué)習(xí)的思辨味，幫助學(xué)生建立對“平均數(shù)是一個虛擬的數(shù)，反映一組數(shù)據(jù)的整體水平”的切實感悟，進而將學(xué)生對主體的概念理解引向深處。以下，就具體策略予以盤點：

1.情境推動，激活思考，解析學(xué)習(xí)疑惑。

徐老師在學(xué)生解決“這個小組平均每人收集了多少個水瓶”問題后，及時設(shè)問：“平均數(shù)13個是否說明，他們每個人都收集了13個水瓶？”從而將學(xué)生的關(guān)注點由“過程解答”引向“結(jié)論反思”，使其體會到“平均數(shù)并不是實際水瓶數(shù)。實際水瓶數(shù)有的大于平均數(shù)、有的小于平均數(shù)?！痹诖嘶A(chǔ)上，教師又適時拓展教材情境，巧妙延續(xù)了“劇情”，引發(fā)了全體學(xué)生更富深度地數(shù)學(xué)思考：“媽媽知道小明收集了15個水瓶，她想了解小明在整個組中的表現(xiàn)。如果你是媽媽，最想聽到兩種回答中的哪一種？”（第一種回答是“總數(shù)52個”，第二種回答是“平均數(shù)13個”）正像有位學(xué)生回答的那樣，“我認為是第二種回答，這樣就能看出小明的‘戰(zhàn)況’很不錯”，這個環(huán)節(jié)有力凸顯了“平均數(shù)反映整體水平”的抽象內(nèi)涵。

2.問題刺激，促進研究，解決認知難點。

沈老師在學(xué)生求出“小娟踢毽的平均數(shù)是17個”后，跟進追問：“這里的平均數(shù)17，是小娟第一、二、三次踢毽的個數(shù)嗎？平均數(shù)17既然不是小娟三次踢毽的具體個數(shù)，那它究竟表示什么呢？”同樣也幫助學(xué)生“認清”了平均數(shù)的本質(zhì)屬性。

三、重變式：提升“概念”的建構(gòu)力

變式，是概念教學(xué)走向深入的重要手段，有利于學(xué)生在明確概念基本內(nèi)涵后，先經(jīng)歷由“不變”到“多變”的跨越，領(lǐng)略概念外延的廣泛性，再體驗由“多變”到“不變”的歸并，把握概念內(nèi)涵的統(tǒng)一性。結(jié)合兩節(jié)課的展開狀態(tài)，變式的價值意義具體表現(xiàn)為三個方面。

1.依托變式，體會平均數(shù)的作用。

徐老師教學(xué)例2時，先呈現(xiàn)了“人數(shù)相同的男女隊比成績”的問題情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“一對一比”“比總數(shù)”“比平均數(shù)”均可，既適度鞏固平均數(shù)的教學(xué)效果，又使學(xué)生感覺到“學(xué)習(xí)平均數(shù)后，數(shù)據(jù)分析手段更加豐富了”。隨后，教師適時提供變式：“老師在統(tǒng)計男生隊的成績時，漏了孫奇同學(xué)的成績（22個），現(xiàn)在你認為哪個隊成績更好？怎么比更合適？”基于這樣的認知沖突，學(xué)生很快意識到“一對一比”“比總數(shù)”策略的局限性，切實感受到“比平均數(shù)”策略的適用性，集中聚焦“平均數(shù)反映整體水平”的統(tǒng)計作用。此后，教師繼續(xù)發(fā)問：“孫奇的22個是所有人中最好的，為什么男生隊還是失敗呢？”使學(xué)生明白“一個數(shù)據(jù)高”不能說明問題，“整體水平高”才是本質(zhì)所在。同樣的，沈老師在展示自己前三次的踢毽成績“18個、17個、19個”后，對于第四次成績，預(yù)設(shè)了“14 個”“18 個”“22 個”多個變式，并在與小紅、小麗及小娟的“PK”中，強調(diào)了“整體水平”的核心要義。

2.借助變式，凸顯平均數(shù)的特點。

平均數(shù)在“反映整體水平”的本質(zhì)屬性外，還有一些外部特點。通過變式教學(xué)，能讓這些特點“浮出水面”。比如，徐老師在完成“五位男生和四位女生比成績”教學(xué)后，施展了“連環(huán)問”：“假如孫奇踢的個數(shù)比27個多，男生隊的平均數(shù)會發(fā)生怎樣的變化？如果孫奇踢的成績很差，比如只有7個，男生隊的平均數(shù)又會發(fā)生怎樣的變化？”在充分思辨的基礎(chǔ)上，教師對平均數(shù)外部特點的揭示“水到渠成”：看來，當其中一個數(shù)據(jù)發(fā)生變化時，整組數(shù)據(jù)的平均數(shù)就變了。

3.立足變式，優(yōu)化平均數(shù)的應(yīng)用。

筆者認為，“平均數(shù)”只有跳出書本限制、回歸生活現(xiàn)場，才能真正凸顯其統(tǒng)計學(xué)意義。鑒于此，兩位教師都精心設(shè)計了一定數(shù)量的變式訓(xùn)練。徐老師策劃的“小東到哪里去游泳比較危險”話題討論、沈老師提出的“糕點師傅明天做多少個草莓蛋糕才合適”“你能運用今天所學(xué)的知識來勸勸老奶奶嗎？”問題辨析，都將平均數(shù)知識“埋伏”進現(xiàn)實場景中，使得學(xué)生需要應(yīng)用所學(xué)、靈動思考，進一步豐富了其對平均數(shù)本質(zhì)功能的深度認同。

綜上所述，透視兩個《平均數(shù)》課例，筆者認為，概念教學(xué)要“顯體系”“解疑難”“重變式”，來突出生長性、張揚思辨味、提升建構(gòu)力。另外，對于教材編寫的例題資源，徐老師的立場是“用透及拓展”，沈老師的做法是“替換與補充”。個人以為，只要有利于全體學(xué)生對于概念的深層建構(gòu)，都是可行的。正所謂，“條條大路通羅馬”。