神奇的數(shù)
——從冰雹猜想到親和數(shù)

劉燕楠

數(shù)學如此神奇，往往源于數(shù)的神奇.

天文學上有黑洞，數(shù)有黑洞，你相信嗎？

1976年的一天，《華盛頓郵報》于頭版頭條報道了一條數(shù)學新聞.文中記敘了這樣一個故事：20世紀70年代中期，美國各所名牌大學校園內(nèi)，人們都像發(fā)瘋一般，夜以繼日，廢寢忘食地玩弄一種數(shù)學游戲.什么樣的游戲會有如此大的力量和吸引力呢？說出來其實是很簡單的：任意寫出一個自然數(shù)n，并且按照以下的規(guī)律進行變換：如果是個奇數(shù)，則下一步變成3n+1；如果是個偶數(shù)，則下一步變成.在兩條極其簡單的規(guī)則引導下，可以將任何一個自然數(shù)進行變換，你是否可以想象：幾乎所有的自然數(shù)都將會陷入一個死循環(huán)！

更為神奇的是，不單單是學生，連教師、教授與學者都紛紛加入.為什么這種游戲的魅力經(jīng)久不衰？它甚至把古典的“哥德巴赫猜想”打入了“冷宮”.人們發(fā)現(xiàn)，無論n是怎樣一個數(shù)，最終都無法逃脫回到谷底1，準確地說，是無法逃出落入底部的421循環(huán)，永遠也逃不出這樣的宿命.真是令人不可思議，不論你從什么樣的自然數(shù)開始，也許中間要經(jīng)過漫長的歷程，變出來的數(shù)忽大忽小，很有點像冰雹穿過暴風雨云層時的軌道，忽而由氣流推著上升，忽而又由于自身的質(zhì)量而下降，所以在美國這個猜想被稱為“冰雹猜想”，但最終會跌進上述死循環(huán)，結果多么令人難以置信.現(xiàn)在人們已經(jīng)試驗到很大的自然數(shù)，仍沒有發(fā)現(xiàn)反例，但也無法加以證明，它仍然是一個猜想.冰雹猜想又稱為角谷猜想，因為是由日本學者角谷靜夫把它傳到亞洲，人們就順勢把它叫做“角谷猜想”.

冰雹的最大魅力在于不可預知性.英國劍橋大學教授John Conway找到了一個自然數(shù)27.雖然27是一個貌不驚人的自然數(shù)，但是如果按照上述方法進行運算，則它的上浮下沉異常劇烈：首先，27要經(jīng)過77步的變換到達頂峰值9 232，然后又經(jīng)過32步到達谷底值1.全部的變換過程（稱作“雹程”）需要111步，其頂峰值9 232，達到了原數(shù)27的342倍，如果以瀑布般的直線下落（2n）來比較，則具有同樣雹程的數(shù)n要達到2的111次方.在1到100的范圍內(nèi)，像27這樣的劇烈波動是沒有的（54等27的2的次方倍數(shù)的數(shù)除外）.

經(jīng)過游戲的驗證規(guī)律，人們發(fā)現(xiàn)僅僅在兼具4k和3m+1（k，m為自然數(shù)）處的數(shù)字才能產(chǎn)生冰雹猜想中“樹”的分叉.所以在冰雹樹中，16處是第一處分叉，然后是64……以后每隔一節(jié)，產(chǎn)生出一支新的支流.

自從Conway發(fā)現(xiàn)了神奇的27之后，有專家指出，27這個數(shù)字必定只能由54變來，54又必然從108變來，所以，27之上，肯定可以出現(xiàn)不亞于2n的強大支流——33×2n（n＝1，2，3，…），然而，27到421數(shù)列比本流227到421數(shù)列要遙遠得多.按照機械唯物論的觀點，從27開始逆流而上的數(shù)列群才叫做本源，盡管如此，按照“直線下瀉”的觀點，一般依然把1248…2n的這一支看作是“干流”.

圖論專家據(jù)此闡述了一種獨特的方法：把數(shù)列群比作是一棵樹，421數(shù)列是連理枝，至于上面的分支構成了一個奇妙的數(shù)列通路，包含了所有的自然數(shù).但是非?？上У氖?，這個理論至今也沒有人可以證明.所以“冰雹猜想”還是數(shù)學皇冠上一顆尚未鑒別的寶珠.

讓我們從數(shù)字黑洞中爬出來，談一點輕松的話題：親和數(shù).

人和人之間講友情，有趣的是，數(shù)與數(shù)之間也有相類似的關系，數(shù)學家把一對存在特殊關系的數(shù)稱為“親和數(shù)”.這還得從大名鼎鼎的畢達哥拉斯談起，他是世界古代十大名人之一.一些歷史傳說里，把他描繪得像一尊神，說河水遇見了他，也會卷起浪花來問候：“您好啊，畢達哥拉斯！”

有一次，畢達哥拉斯對人說：“朋友是你靈魂的倩影，像220和284一樣親密.”

原來，畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)，自然數(shù)220與284有一種非常奇妙的關系.220一共有12個不同的因數(shù)：1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，220.如果不算220它自身這個因數(shù)，那么，220所有因數(shù)的和正好是：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110＝284.而284呢，一共有6個不同的因數(shù)：1，2，4，71，142，284.如果不算284它自身這個因數(shù)，那么，284所有因數(shù)的和又正好是：1+2+4+71+142＝220.你的因數(shù)之和等于我，我的因數(shù)之和又正好等于你，這對奇異的數(shù)真像一對親密無間的朋友.數(shù)學上，具有這樣特征的自然數(shù)叫做“親和數(shù)”.畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)的220與284，是人類認識的第一對親和數(shù)，也是最小的一對親和數(shù).

古時候，人們常把這兩個數(shù)分別寫在兩個護身符上，認為佩戴這種護身符的朋友就能保持良好而持久的友誼.在很長一段時間里，人們都沒有發(fā)現(xiàn)新的親和數(shù).直到1636年，才由法國數(shù)學家費馬發(fā)現(xiàn)了另一對親和數(shù)：17 296和18 416.兩年以后，法國數(shù)學家笛卡兒也發(fā)現(xiàn)了一對親和數(shù)：9 363 584和9 437 056.18世紀中葉，著名數(shù)學家歐拉系統(tǒng)地研究了親和數(shù).1747年，他列出了一個有30對親和數(shù)的表，不久又將表中的親和數(shù)擴展到60對，其中包括2 620與2 924，5 020與5 564等等.

那么，在284到2 620之間有沒有親和數(shù)呢？這是一個被人們長期忽視了的問題.1866年，16歲的意大利少年帕加尼發(fā)現(xiàn)，正是在這段數(shù)中間，存在著第二對較小的親和數(shù)1 184和1 210.

近百年來，不斷有新的親和數(shù)被發(fā)現(xiàn).

親和數(shù)到底是有限對還是無限對呢？到底有沒有奇偶對呢？有沒有尋找親和數(shù)的一般公式呢？這些問題到現(xiàn)在依然是謎，等待著我們?nèi)パ芯亢吞剿?