淺談線性規(guī)劃在實際生活中的基本應(yīng)用

華峰

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2017）05-064-02

線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要內(nèi)容之一，其問題本身以及解決問題的方法蘊(yùn)含著優(yōu)化思想方法.現(xiàn)代生產(chǎn)實踐中，決策優(yōu)化已廣泛運(yùn)用，線性規(guī)劃的工具作用體現(xiàn)得尤為重要.本文借助實際問題的解決，著重談?wù)劧€性規(guī)劃的基本應(yīng)用.

應(yīng)用（一）——確定決策方案種類

例1（99高考） 某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式有多少種？

解：設(shè)購買軟件x片，磁盤y盒，依題意得：

即

作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如上圖所示，則適合不等式組的有序整數(shù)對（x， y）的對數(shù)，也是直角坐標(biāo)平面上陰影區(qū)域（含邊界）整數(shù)點的個數(shù).在可行區(qū)域中，不難判定整點共有7個，即不同的選購方式有7種.

[名師指導(dǎo)]：本題解法中將“選購方式”轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的可行解是關(guān)鍵，將“選購方式”的多少轉(zhuǎn)化為可行解的個數(shù)是解決本題的突破口.特別是利用線性規(guī)劃解決實際問題時，有時要求最優(yōu)解是整數(shù)解，需要在可行域內(nèi)找出整數(shù)點，這也是實際問題中常常用到的.

應(yīng)用（二）——優(yōu)化資源配置

例2（04江蘇） 某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動力，煤、電耗及利潤如下表

產(chǎn)品品種 勞動力（ 個 ） 煤（ t ） 電（千瓦） 利潤（萬元/ t ）

甲產(chǎn)品 4 9 3 7

乙產(chǎn)品 5 4 10 12

現(xiàn)因條件限制，該工廠僅有200個勞動力，煤360t，供電局只供電300千瓦，試問該工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品多少噸才能獲得最大利潤？

分析：根據(jù)題目所列表格，列出所有限制條件，確定目標(biāo)函數(shù)，然后按線性規(guī)劃的方法求解.

解.設(shè)工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x噸、y噸，總利潤為z萬元，則 目標(biāo)函數(shù) z=7x+12y

作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分（含邊界），作一組平行直線 ：7x+12y=z

當(dāng)直線經(jīng)過4x+5y=200 與直線 3x+10y=300的交點P（20，24）時，z達(dá)到最大值.故該廠生產(chǎn)甲種產(chǎn)品20 t，乙種產(chǎn)品24 t能使利潤最大.

[名師指點]：本題是線性規(guī)劃的實際應(yīng)用題，屬基本類型（Ⅰ）：給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣安排運(yùn)用這些資源，能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大.

線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般解題步驟是：

①根據(jù)題意，建立數(shù)學(xué)模型，作出不等式組所表示的區(qū)域的圖形，即可行域；

②設(shè)所求的目標(biāo)函數(shù)f（x， y）的值為p；

③將各頂點坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，試代驗證，即可求得p的最大值和最小值.

應(yīng)用（三）——優(yōu)化統(tǒng)籌方案

例3（05海淀） 某人上午7點，乘摩托艇以勻速V海里/時（ ）從A港出發(fā)到距50海里的B港去，然后乘汽車以勻速W km/h（ ）自B港向距300km的C市駛?cè)?，?yīng)該在同一天下午4至9點到達(dá)C市.設(shè)汽車，摩托艇所要時間分別是x、y小時，如果已知所要經(jīng)費(fèi)p=100+3·（5-x）+2·（8-y） （元），那么V、W分別是多少時走得最經(jīng)濟(jì)？此時需花費(fèi)多少元？

作一列平行直線系 ，當(dāng)直線過可行域上點A（10，4）時，k最大，

即當(dāng)x=10，y=4時，p最小，此時V=12.5，W=30，P的最小值為93（元）.

[名師指點]：本題是線性規(guī)劃的實際應(yīng)用題，屬基本類型（Ⅱ）：給定一項任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成這項任務(wù)的人力、物力資源量最小.難點是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題.關(guān)鍵是根據(jù)實際問題中的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù).

在實際問題中線性規(guī)劃的應(yīng)用極為廣泛，熟練掌握二元線性規(guī)劃的基本應(yīng)用又是靈活解決生活中常見應(yīng)用問題的基礎(chǔ).endprint