美的數(shù)學(xué)

摘 要：數(shù)學(xué)是理性思維和想象的結(jié)合，是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門學(xué)科。古希臘數(shù)學(xué)家普洛克拉斯曾說過：“哪里有數(shù)，哪里就有美?！比欢浪椎母拍?，往往認(rèn)為數(shù)學(xué)是艱苦的、枯燥乏味的，與美學(xué)無緣。本文從數(shù)學(xué)的方法、特點以及數(shù)學(xué)內(nèi)容本身主要闡述數(shù)學(xué)的簡潔美、和諧美、對稱美、統(tǒng)一美以及奇異美等。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)美；簡潔美；和諧美；統(tǒng)一美；奇異美

一、 引言

愛美之心，人皆有之。人們執(zhí)著的追求美，然而，一提到美，人們立即想到的是“江山如此多嬌”的自然美，或是優(yōu)美的圖畫、動聽的樂曲、美妙的詩文等各種各樣的美。然而，數(shù)學(xué)里面，其實有著比詩畫更美的美。

二、 數(shù)學(xué)的簡潔美

漢語的語言要求言簡意賅；簡潔也是藝術(shù)設(shè)計的基本要求之一，建筑物的外裝一般強調(diào)簡潔的線條；標(biāo)志線設(shè)計業(yè)強調(diào)筆法的簡潔；微標(biāo)、圖案等皆如此；國畫藝術(shù)尤其顯示了這一點。同樣，數(shù)學(xué)作為邏輯性很強的學(xué)科，更以簡潔著稱；數(shù)學(xué)的簡潔美，并不是指數(shù)學(xué)內(nèi)容本身簡單，而是指數(shù)學(xué)的表達形式、證明方法、理論體系的結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)語言及符號的簡潔。

歐拉公式：V-E+F=2，可以稱為簡潔美的極致。然而世間究竟有多少多面體？這個沒有人知道。但多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F，都必須服從這一公式，這一簡潔而形象的表達，概括出了幾乎所有多面體都滿足的特性，這足以令人為之驚奇！

再如：三角形，盡管它有千姿百態(tài)，但人們卻用s=12ah（a為底邊長，h為該邊上的高）或s=p（p-a）（p-b）（p-c）（p為三角形半周長）去囊括所有三角形的面積。

勾股定理：a2+b2=c2。其中a、b代表直角邊，c代表斜邊。

正弦定理：△ABC的外接圓半徑R，則asinA=bsinB=csinC=2R。

還有許多復(fù)雜繁瑣的知識用簡潔的數(shù)學(xué)式子表示，如：國內(nèi)生產(chǎn)總值=消費支出+投資支出+政府購買+凈出口計算公式：GDP=C+I+G+（X-M），以及愛因斯坦的質(zhì)能方程E=mc2和萊布尼茲用∫f（x）dx表達了積分概念的豐富思想。

數(shù)學(xué)的這種簡潔美，用幾個定理、幾個式子是不足以說清的，數(shù)學(xué)中每一次進步都使已有的定理更簡潔。數(shù)學(xué)中絕大部分公式都體現(xiàn)了其形式的簡單，但又富有深刻的內(nèi)容，偉大的數(shù)學(xué)家希而伯特說：數(shù)學(xué)的進步離不開其擁有的簡潔但又意義巨大的式子、方法。

三、 數(shù)學(xué)的和諧美

美是和諧的。和諧性也是數(shù)學(xué)美的特征之一，和諧即雅致、嚴(yán)謹(jǐn)或形式結(jié)構(gòu)的無矛盾性。德裔美籍作家、學(xué)者和哲學(xué)教授保羅·卡盧斯曾經(jīng)說過：“沒有那門學(xué)科能比數(shù)學(xué)更為清晰的闡明自然界的和諧性?！睌?shù)論大師賽爾伯格曾經(jīng)也說過，他對數(shù)學(xué)的喜愛的動機之一是因為下面這個極其美妙的公式：

π4=1-13+15-17+…。

這個公式實在太美了，將奇數(shù)1、3、5、…進行前面的組合后就可以得到π，這對一個癡迷于數(shù)學(xué)的人來講，就好比饑餓的人面對一桌豐盛的美食。

數(shù)學(xué)的和諧在于它能為自然界的和諧、生命現(xiàn)象的和諧、人自身的和諧找到最佳的論證。

歐拉公式：eiθ=cosθ+isinθ，曾獲得“最美的數(shù)學(xué)定理”稱號。當(dāng)θ=π時得到eiπ+1=0。

這個看似極其簡單的數(shù)學(xué)式子竟然神奇地把數(shù)學(xué)海洋里的五顆看上去沒有任何關(guān)聯(lián)的明珠如此巧妙并且簡單地就聯(lián)系在了一起，令人贊嘆不已！其中，1和0都來自算數(shù)，0被譽為具有比一切數(shù)豐富的內(nèi)容；i是復(fù)數(shù)中的虛數(shù)單位，來自代數(shù)，圓周率π來自幾何，自然對數(shù)中的底數(shù)e來自高等數(shù)學(xué)中的微積分，π和e既是無理數(shù)又是超越數(shù)，這一公式神奇地將他們聯(lián)系在了一起，無一不體現(xiàn)數(shù)學(xué)其完美的和諧性。

著名天文學(xué)家開普勒曾說過：“幾何學(xué)里有兩個寶庫，一個是畢達哥拉斯定理，一個是黃金分割，前者可以比作金礦，后者可以比作珍貴的磚石礦?！秉S金分割充分地體現(xiàn)了自然界的和諧、生命現(xiàn)象的和諧、人自身的和諧。

畢達哥拉斯說過：凡是美的東西都具有一個共同特征，這就是各版塊與版塊彼此之間，以及版塊與整體之間固有的協(xié)調(diào)一致。由這些協(xié)調(diào)一致而產(chǎn)生的和諧美，在數(shù)學(xué)的海洋里都得到了體現(xiàn)。然而在數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展中，原本毫無聯(lián)系的各分支中突然出現(xiàn)了橋梁，這些橋梁將他們緊緊地聯(lián)系在了一起，這時人們就會忽然意識到這是如此的美妙，給人一種出乎意料，但又無比神奇的美的享受，更領(lǐng)略到數(shù)學(xué)中的和諧美。

四、 數(shù)學(xué)的對稱美

對稱這一概念來自數(shù)學(xué)（更確切地講是歐幾里得幾何）。對稱在天文學(xué)（甚至自然界）上的研究，則始于兩千多年前的古希臘人。他們非常留意各種各樣的“對稱”現(xiàn)象，以至他們競創(chuàng)立了一種學(xué)說，他們認(rèn)為世界中各種各樣的規(guī)律都是從對稱中得來的，他們認(rèn)為最對稱的物體就是圓，于是他們把天文學(xué)中的各種恒星的運行軌跡畫成了圓，后來圓上再加上圓，這樣一來就發(fā)展成了后來著名的天文學(xué)。對稱是最能給人以美感的一種形式，德國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家魏爾曾指出：“美和對稱性緊密相連。”對稱性是數(shù)學(xué)美的基本特征之一，數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的對稱美，以及數(shù)學(xué)研究中對于對稱美的追求和考慮，在數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展中具有重要的地位。

幾何對稱，有平面上的軸對稱、中心對稱，空間中的鏡面對稱等等。平移和旋轉(zhuǎn)也都可以看作是兩次對稱的積。例如：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點成中心對稱圖形、函數(shù)f（x）圖象和它的反函數(shù)y=f-1（x）的圖象關(guān)于只想y=x對稱，這些都給人以賞心悅目之感。

代數(shù)對稱，無論是在初等代數(shù)中，還是在高等代數(shù)中，都有豐富的內(nèi)容。例如共軛根式、共軛復(fù)數(shù)、對稱矩陣等，都滲透著對稱的思想。

對稱還表現(xiàn)在許多公式和運算中。

梯形的面積公式：s=（a+b）×h÷2，

等差數(shù)列的前n項和公式：sn=（a1+an）n2，其中a是上底邊長，b是下底邊長，其中a1是首項，an是第n項，這兩個等式中，a與a1是對稱的，b與an是對稱的，h與n是對稱的。

對稱美有各種各樣的形式，所以各種各樣的人們都能欣賞到它，人們對于對稱美的追求是淳樸的。正如我們大家所喜愛的對數(shù)螺線、雪花，如果知道了其中一部分，我們就可以推斷出全部。魏爾說：“對稱性，無論從廣義還是狹義的角度去理解定義它的含義，總是一種歷經(jīng)多少個世紀(jì)以來，人們力圖用以領(lǐng)悟和創(chuàng)造秩序的一種美和完善性的觀念?！逼駷橹?，對稱性這種數(shù)學(xué)美，早已超越現(xiàn)代數(shù)學(xué)而滲透到各門自然科學(xué)之中，并且越來越多地獲得更為豐富的成果。

五、 數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美

統(tǒng)一美反映的是審美對象在形式或內(nèi)容上的某種共同性、關(guān)聯(lián)性或一致性，它能給人一種整體和諧的美感。數(shù)學(xué)對象的統(tǒng)一性通常表現(xiàn)為數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、方法的統(tǒng)一，數(shù)學(xué)理論的統(tǒng)一，數(shù)學(xué)和其他科學(xué)的統(tǒng)一。

所謂統(tǒng)一美，是指部分與部分、部分與整體之間的和諧一致。數(shù)學(xué)中有好多數(shù)學(xué)體現(xiàn)統(tǒng)一的例子。例如，引入負數(shù)，自從引入相反數(shù)的概念后，使得有理數(shù)的加減法得到了統(tǒng)一，并且我們統(tǒng)一成代數(shù)和的形式。從有了倒數(shù)的概念后，除以一個不等于0的數(shù)就等于乘以它的倒數(shù)，這樣乘法和除法就得到了很好的統(tǒng)一。例如平面幾何中的相交弦定理、割線定理、切割線定理和切線長定理均可統(tǒng)一到圓冪定理之中。在體積計算沖有所謂的“萬能計算公式”，它能統(tǒng)一地應(yīng)用于棱（圓）柱、棱（圓）錐及棱（圓）臺的體積計算。

一切客觀事物是相互聯(lián)系的。因為，作為反映客觀事物的數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)法則也是互相聯(lián)系的，在一定的條件下可以處于一個統(tǒng)一體之中。例如運算、變換、函數(shù)分別是代數(shù)、幾何、分析這三個數(shù)學(xué)分支的重要概念，在集合論建立以后，便可以統(tǒng)一于映射的概念。

數(shù)的概念從自然數(shù)到分?jǐn)?shù)，負數(shù)到無理數(shù)，逐步擴大到后來的復(fù)數(shù)，這期間經(jīng)歷了不計其數(shù)的坎坷，才使得數(shù)的范圍得到不斷的擴大，使其在數(shù)學(xué)和其他各學(xué)科中的作用也得到不斷地增大。那么，人們就很自然地聯(lián)想了能否把如今的復(fù)數(shù)再進一步地推廣。

英國著名的數(shù)學(xué)家哈密頓經(jīng)過15年的思索，也沒能獲得最后的成功。于是，他不得不妥協(xié)，終于發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)，即形為a+bi+cj+dk，其中a，b，c，d為任意實數(shù)，i，j，k起著i在復(fù)數(shù)中的作用。若c，d為0，則四元數(shù)a+bi+cj+dk是一般的復(fù)數(shù)。實數(shù)部分稱為四元數(shù)的數(shù)量部分，而其余是向量部分。向量部分的三個系數(shù)是點p的笛卡爾直角坐標(biāo)，而i，j，k是定性的單元，幾何上其方向是沿著三根坐標(biāo)軸。

四元數(shù)的出現(xiàn)使得線性代數(shù)得到了很好的發(fā)展，英國著名的物理學(xué)、數(shù)學(xué)家麥克斯韋利用四元數(shù)及其相關(guān)的理論建立起了“電磁理論的工具和更簡單的方法”。

愛因斯坦也一直追求于建立起宇宙統(tǒng)一的理論，他用簡潔的數(shù)學(xué)表達式E=mC2揭示了自然界中質(zhì)能關(guān)系，這不得不說是一件具有相當(dāng)完美的統(tǒng)一的、優(yōu)美的藝術(shù)品，但是他始終沒能將其統(tǒng)一。如今人們在不斷地探索著充滿著神奇色彩的世界，同時又在不斷地用統(tǒng)一的觀點去認(rèn)識世界，然而宇宙是沒有盡頭，所以統(tǒng)一美也需要我們不斷的追求和探索。

六、 數(shù)學(xué)的奇異美

大千世界無奇不有，而奇異性也是數(shù)學(xué)美學(xué)的一個重要特征，它給數(shù)學(xué)發(fā)展帶來了新的動力，數(shù)學(xué)中的奇異是吸引許多人喜歡數(shù)學(xué)的原因之一，奇異有時與稀罕聯(lián)系在一起，人們也因此而特別愿意考察它，了解它，研究它，欣賞它。奇異性往往給人們一種奇特而新穎的感覺，就數(shù)學(xué)中的奇異美而言，頗有一點“出乎意料”和“令人震驚”的意味，正如一位評論家所說：“凡是新而不平常的東西，都能在人們的想象中誘發(fā)出一種樂趣，因為這種東西都能給人們在心靈的深處感受到一種愉快的驚奇，以及一種好奇心的滿足，以至于產(chǎn)生一種過去從未有過的新的觀念?！倍鴶?shù)學(xué)領(lǐng)域的這些觀念的產(chǎn)生，就來自于數(shù)學(xué)家們對于數(shù)學(xué)領(lǐng)域中之奇異美的追求和渴望。所以美和奇異緊密相連，并且數(shù)學(xué)中充滿著奇巧的符號、公式、算式、圖形和方法。

全世界有很大影響的兩份雜志曾聯(lián)合邀請全世界的數(shù)學(xué)家們評選“近50年來的最佳數(shù)學(xué)的問題”，其中有這樣一道很有趣的問題：有哪些形如abbc的分?jǐn)?shù)，通過不正常地將b約掉后得到ac，并且結(jié)果卻是正確的？

經(jīng)過思考，可以尋找到四個如下的分?jǐn)?shù)：1664，2665，1995，4998。這幾個計算，在運算錯誤的情況下卻能得到正確的結(jié)果，在歪打正著的同時也給人以驚喜，同時也展現(xiàn)出了一種神奇之美。

同樣我們也可以找到下面幾個式子：

25×92=2529 25×2531=252531 112×913=112913

還有一個典型例子：有一天法國數(shù)學(xué)家蒲豐邀請許多賓朋來家做了一個奇特的實驗。他事先在白紙上畫好了一條條有等距離的平行線，將紙鋪在桌上，又拿出一些質(zhì)量勻稱長度為平行線間距離之半的小針，請客人把針一根根隨便扔到紙上，蒲豐則在一旁計數(shù)，結(jié)果共投2212次，其中與任意平行線相交的有704次，蒲豐又做了一簡單的除法，然后他宣布這就是圓周率的近似值，還說投的次數(shù)越多越精確。

1777年蒲豐提出：只需計算針與任意投向間距離為a的平行線束的相交概率，就可以得到圓周率π的數(shù)值，其關(guān)系式為，π=2la·1p=2lNan。其中l(wèi)（l

七、 結(jié)束語

綜上所述，本文從五個方面闡述了數(shù)學(xué)中的美學(xué)，然而數(shù)學(xué)美學(xué)并不僅限與此，還有許多方面有待于我們?nèi)ジ爬ê涂偨Y(jié)，探索和挖掘，數(shù)學(xué)研究中的美學(xué)考慮，對于我們選擇正確的研究方向能起到積極的作用，因為美感能預(yù)示“將來的研究是否富有成果”。從各個數(shù)學(xué)分支的展開到整個數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展就像一個精彩的故事那樣，顯得波瀾起伏和扣人心弦，即在情理之中，又在意料之外處處顯現(xiàn)出數(shù)學(xué)美學(xué)，數(shù)學(xué)家們追求各種各樣的數(shù)學(xué)美，并在這種追求中不斷地激發(fā)出創(chuàng)造的熱情和沖動，直至無法擺脫而達到升華的境地，而累累的豐碩成果，也就在這個升華的境界中，不斷地為數(shù)學(xué)美的追求者所具有。

參考文獻：

[1]王庚.數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育[M].科學(xué)出版社，2004.

[2]趙振威.數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)導(dǎo)論[M].安徽教育出版社，1993.

作者簡介：

李秋岑，四川省成都市，成都七中嘉祥外國語學(xué)校高2019級6班。