音階與數(shù)學(xué)

吳朝陽(yáng)

留學(xué)美國(guó)時(shí)我曾有一位專攻巴松管的室友，他姓潘而又帥氣，所以我稱他為潘安。有一回我翻看潘安的樂譜時(shí)他問道：“你看得懂嗎？”我笑著回答說(shuō)：“不就是從0到7嗎，我是學(xué)數(shù)學(xué)的，連8和9我都明白著呢！”

這個(gè)回答當(dāng)然是玩笑，巴松樂譜都是五線譜，而使用0到7的是簡(jiǎn)譜。然而，音樂與數(shù)學(xué)確實(shí)存在著很深刻的聯(lián)系。

旋律是由樂音的組合構(gòu)成的，樂音按其頻率從低到高排列，無(wú)論是想象中還是聽覺上都像是一部階梯，所以稱為音階。音階系統(tǒng)中各樂音頻率之間存在著特定的比例關(guān)系。這種數(shù)學(xué)關(guān)系自古以來(lái)就被確認(rèn)和研究，并且被不斷地完善。

2000多年前，古希臘和中國(guó)的學(xué)者就發(fā)現(xiàn)，當(dāng)音階間的頻率關(guān)系是簡(jiǎn)單的比例時(shí)，它們構(gòu)成的樂音系統(tǒng)是和諧的、悅耳的，并因此各自獨(dú)立得出了構(gòu)建音階系統(tǒng)的方法。其中，中國(guó)上古的方法稱為“三分損益法”，而在古希臘占據(jù)主流的則是“五度相生律”。這兩種方法本質(zhì)上是相同的，都是以2：1和3：2這2個(gè)最簡(jiǎn)單的比例為基礎(chǔ)構(gòu)建音階系統(tǒng)。

在介紹音階系統(tǒng)的構(gòu)造之前，我們先簡(jiǎn)單說(shuō)一說(shuō)它背后的物理原理。首先，如果2個(gè)樂音的頻率比例是2：1，那么后者的最小周期是前者的2倍，因而它的周期也都是前者的周期。這樣一來(lái)，它聽起來(lái)就像是前一個(gè)樂音，只不過前者聽起來(lái)感覺聲音更髙亢。因此，它們是同名樂音，我們說(shuō)前者比后者“高八度”。假如頻率較低的樂音是中央C（即簡(jiǎn)譜中C調(diào)的1），那么頻率較髙的那個(gè)就是cl（即簡(jiǎn)譜中C調(diào)的i）。其次，如果2個(gè)樂音的頻率比例是諸如3：2這樣的簡(jiǎn)單比例，那么它們的周期間的關(guān)系

簡(jiǎn)單，疊加時(shí)形成的波也有簡(jiǎn)單的規(guī)律性（周期性），因此2個(gè)音的關(guān)系聽起來(lái)是和諧的。例如，頻率關(guān)系為3：2的2個(gè)正弦波的疊加具有如下簡(jiǎn)潔的周期性波形。

3：2這個(gè)除2：1之外最簡(jiǎn)單的比例聽起來(lái)很和諧，在音階系統(tǒng)中的地位也非常關(guān)鍵，具有這一比例樂音間的關(guān)系被稱為“純五度”。簡(jiǎn)言之，以2：1和3：2這2個(gè)比例為構(gòu)造音階的基礎(chǔ)比例，是符合物理原理的。

中國(guó)古代很早就出現(xiàn)了用三分損益法確定樂音頻率的辦法?！豆茏印さ貑T》說(shuō)：“凡將起五音凡首，先主一而三之，四開以合九九，以是生黃鐘小素之首，以成宮。三分而益之以一，為百有八，為徵。不無(wú)有三分而去其乘，適足，以是生商。有三分，而復(fù)于其所，以是成羽。有三分，去其乘，適足，以是成角?！薄妒酚洝ぢ蓵穭t說(shuō)：“九九八十一以為宮。三分去一，五十四以為徵。三分益一，七十二以為商。三分去一，四十八以為羽。三分益一，六十四以為角?！边@2段文字所說(shuō)的，都是用三分損益法確定宮、商、角、徵、羽五音的辦法，其中的數(shù)字是用來(lái)確定音高的“律管”的（相對(duì)）長(zhǎng)度。由于同質(zhì)律管的發(fā)聲頻率與其長(zhǎng)度成反比，因而這些數(shù)字就給出了宮、商、角、徵、羽的頻率比例關(guān)系。2段引文不同的是，由于《管子》的做法是先益后損，因而其徵、羽的管長(zhǎng)與《史記》所得為2倍關(guān)系，即其音高實(shí)際為低八度的徵、羽。我們根據(jù)《史記》所載，并且為了與后文的表格相比較，將宮的律管長(zhǎng)度改記為81的12倍，則其五音可列表如表1。

從上面所引的文字可知，所謂“三分去一”是將原來(lái)的律管長(zhǎng)度減去1/3，即所得管長(zhǎng)為原來(lái)的2/3。因此所得樂音頻率為原樂音的3/2倍，即2個(gè)樂音的頻率比等于3：2。而所謂“三分益一”，所得的管長(zhǎng)為原來(lái)的4/3倍，因此2個(gè)樂音的頻率比為3：4。而若將第2個(gè)樂音用其高八度樂音替換，則頻率比也是3：2。因此，三分損益法所確定的五音階系統(tǒng)，是最簡(jiǎn)單的和諧系統(tǒng)，因而是最簡(jiǎn)單的音階系統(tǒng)。自古以來(lái)，中國(guó)的五音階音樂非常發(fā)達(dá)，顯然正是由于這個(gè)原因。

古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用類似于圖1的獨(dú)弦琴確定音階，他們把全弦振動(dòng)的音作為基礎(chǔ)音。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派同樣發(fā)現(xiàn)，當(dāng)整弦長(zhǎng)度與振動(dòng)部分弦長(zhǎng)的比值可以表示成小整數(shù)的比例時(shí)，得到的就會(huì)是悅耳的音程。當(dāng)振動(dòng)部分弦長(zhǎng)只有全弦長(zhǎng)度的一半時(shí)，也就是圖1中的琴碼移動(dòng)到“6”的位置時(shí)，彈撥琴弦得到的是比基礎(chǔ)音高八度的樂音。也就是說(shuō)，弦長(zhǎng)比例為2：1時(shí)，彈撥獨(dú)弦琴所發(fā)出聲音之頻率是全弦音頻率的2倍。如果將琴碼移動(dòng)到圖1中“8”的位置，全弦與所得弦長(zhǎng)的比例是3：2，這時(shí)得到的是比基礎(chǔ)音高五度的樂音。而如果將琴碼移到“9”的位置，也就是全弦長(zhǎng)度與振動(dòng)部分弦長(zhǎng)之比等于4：3時(shí)，得到的樂音則比基礎(chǔ)音髙四度。整個(gè)畢達(dá)哥拉斯的音階系統(tǒng)，就是在這種簡(jiǎn)單的弦長(zhǎng)比例的基礎(chǔ)之上建立起來(lái)的。

如果將獨(dú)弦琴的全弦音定為D，將其弦長(zhǎng)記為864個(gè)長(zhǎng)度單位，那么比它高五度的音為A，其弦長(zhǎng)為864x?=576。比A高五度的音為e，弦長(zhǎng)為576x?=384，因此向一音域里的、比e低八度的E的弦長(zhǎng)為384x2=768。而比D低五度的音的弦長(zhǎng)等于864÷?=1296，其同一音域的音比這個(gè)音高八度，即比D高四度的G，其弦長(zhǎng)則等于1296÷2=648。依此類推，可以得到全部7個(gè)音階（見表2）。

對(duì)比以上2個(gè)表格可以發(fā)現(xiàn)，古代中外的兩套系統(tǒng)中，do、re、mi、sol、la的音高關(guān)系是完全相同的。所不同的是，按照“原汁原味”的三分損益法繼續(xù)產(chǎn)生音階的話，我們得到的并不恰好是ti和fa，而是ti和“升fa”。這一不同表明，原始三分損益法所代表的古代中國(guó)音樂主要是五音階的，雖然七音階系統(tǒng)也不難由此產(chǎn)生。事實(shí)上，七音階系統(tǒng)的音樂在古代中國(guó)也并不罕見，只不過另外2個(gè)樂音沒有獨(dú)立的名稱，其中相應(yīng)于ti的樂音稱為“變宮”，fa稱為“清角”，而“升fa”則稱為“變徵”。換句話說(shuō)，“宮、商、角、清角、徵、羽、變宮”構(gòu)成一個(gè)“清樂”的七音階體系，而“宮、商、角、變徵、徵、羽、變宮”則構(gòu)成一個(gè)“雅樂”的七音階體系。《史記》記載，荊軻在易水上“為變徵之聲”，是中國(guó)古代七音階音樂的一個(gè)著名例子。

由五度相生律產(chǎn)生的七音階系統(tǒng)中，半音階的頻率比為256：243，這不是小整數(shù)的比例，因此聽起來(lái)難免有不和諧之感，古代西方的“純律”很可能就因?yàn)檫@個(gè)原因而產(chǎn)生。在純律的體系里，“全音階”分為“大全音”與“小全音”兩種，其頻率比分別為9：8和10：9。相應(yīng)地，“半音階”的頻率比值不再是256：243這樣的大整數(shù)之比，而是簡(jiǎn)單得多的16：15。這2種音階體系中有些樂音的音商是不一樣的，具體情形如表3。

由上述音階系統(tǒng)中樂音間的頻率比可以看到，音樂與數(shù)學(xué)存在著很深刻的聯(lián)系，然而，音樂背后的數(shù)學(xué)還不止這些，因?yàn)槲覀冎链藘H僅討論了簡(jiǎn)單的音階體系，還沒有涉及復(fù)雜的音樂。事實(shí)上，復(fù)雜的音樂一般采用多個(gè)不同的調(diào)式或含有多個(gè)聲部。通俗地說(shuō)，這些復(fù)雜音樂是以不同音高作do的多個(gè)旋律片段的組合。因此，不同調(diào)式或聲部的樂音之間的“和諧”就必然是一個(gè)問題。而無(wú)論是純律還是五度相生律，在多調(diào)式或多聲部的情況下通常都是“不和諧”的。這個(gè)問題至少2000年前就已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)，而它最終導(dǎo)致十二平均律的出現(xiàn)。那么，十二平均律背后有什么樣的數(shù)學(xué)奧秘？這個(gè)問題以后我們有時(shí)間再談。endprint