軌道非線性能量阱阻尼對(duì)其減振性能的影響

王菁菁， 浩文明， 呂西林

(1.湖南工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 株洲 412000； 2.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092)

結(jié)構(gòu)控制技術(shù)通過對(duì)主體結(jié)構(gòu)施加被動(dòng)或主動(dòng)的作用力，改變結(jié)構(gòu)主體的剛度或阻尼等，以達(dá)到減小能量輸入和加速能量消耗的目的。其中，被動(dòng)結(jié)構(gòu)控制技術(shù)，由于不需要額外能量輸入，概念簡(jiǎn)單，被成功應(yīng)用于大量實(shí)際工程之中。調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Tuned Mass Damper，TMD)是最為常見的被動(dòng)控制方法，一般放置在建筑結(jié)構(gòu)頂層，當(dāng)TMD頻率調(diào)至與主體結(jié)構(gòu)相近時(shí)，可通過反向共振減小結(jié)構(gòu)響應(yīng)[1-3]。但傳統(tǒng)TMD為線性阻尼器，剛度為定值，即只有一個(gè)自振頻率。當(dāng)原結(jié)構(gòu)的頻率由于結(jié)構(gòu)受損、沉降或其他因素發(fā)生變化時(shí)，TMD減振性能退化，有時(shí)甚至放大主體結(jié)構(gòu)的響應(yīng)[4]。為解決這一問題，有學(xué)者提出了非線性的結(jié)構(gòu)控制方法—非線性能量阱(Nonlinear Energy Sink，NES)[5]。從構(gòu)成元素上看，NES與TMD十分相似，均是附加質(zhì)量通過彈簧單元和阻尼單元與主體結(jié)構(gòu)相連。但與TMD不同的是，NES中彈簧為非線性彈簧，產(chǎn)生本質(zhì)非線性的回復(fù)力(即回復(fù)力中不包含線性成分且不可線性化)?，F(xiàn)有NES的力-位移關(guān)系呈三次方函數(shù)關(guān)系，與TMD線性的力-位移關(guān)系進(jìn)行類比，當(dāng)輸入能量(位移)不同時(shí)，NES線性化剛度不同。這使得NES能夠與較廣泛的頻率發(fā)生共振，一方面使能量從主體結(jié)構(gòu)單向傳遞至NES(即靶能量傳遞)，一方面耦合主體結(jié)構(gòu)的不同模態(tài)，使能量從低階模態(tài)傳遞至耗能更快的高階模態(tài)[6-8]。

本文所研究的軌道非線性能量阱(Track Nonlinear Energy Sink，軌道NES)是一種新型的NES，由軌道和附加質(zhì)量組成，通過軌道形狀實(shí)現(xiàn)非線性回復(fù)力。軌道與主體結(jié)構(gòu)固定，質(zhì)量塊沿軌道運(yùn)動(dòng)。本文將推導(dǎo)軌道NES的回復(fù)力表達(dá)式、軌道NES系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，并通過數(shù)值模擬考察兩自由度主體結(jié)構(gòu)附加軌道NES的響應(yīng)。由于軌道NES減振性能對(duì)輸入能量大小較敏感，本文又研究了軌道NES阻尼對(duì)其減振性能的影響。結(jié)果表明，通過調(diào)整軌道NES阻尼，可以有效改善軌道NES的剛度魯棒性和能量魯棒性。

1 軌道非線性能量阱

軌道NES通過質(zhì)量塊沿特殊設(shè)計(jì)的軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生非線性回復(fù)力，其物理模型可借由帶輪小車沿軌道運(yùn)動(dòng)表示(見圖1)。假設(shè)質(zhì)量塊不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)且與軌道保持接觸，則軌道NES的自由體受力圖可表示為圖2。其中，mN為NES質(zhì)量，uN和vN分別為NES相對(duì)于軌道的水平位移和豎向位移，z為軌道的水平位移，h(uN)為軌道的形狀函數(shù)，和vN相等，可以通過uN表示。FNomal是NES作用在軌道上的法向反力，θ為軌道切線角度，可通過對(duì)軌道形狀函數(shù)h(uN)求導(dǎo)得到，g為重力加速度。

圖1 軌道NES示意圖Fig.1 Configuration of track NES

軌道NES的運(yùn)動(dòng)方程可以用拉格朗日方法得到[9]

(1)

其中，軌道NES的動(dòng)能為

(2)

且有

vN=h(uN)

(3)

圖2 軌道NES自由體受力圖Fig.2 Free body diagram of track NES

軌道NES的勢(shì)能為

V=mNgh(uN)

(4)

此處暫不考慮軌道NES阻尼，對(duì)式(2)和式(4)求偏導(dǎo)并展開，可得

(5)

(6)

(7)

(8)

將以上各展開項(xiàng)帶入拉格朗日方程，可得NES的運(yùn)動(dòng)方程

(9)

除去運(yùn)動(dòng)方程中慣性力項(xiàng)和軌道加速度作用的外力項(xiàng)，可求得軌道NES的回復(fù)力表達(dá)式為

(10)

由該表達(dá)式可知，軌道NES的回復(fù)力與質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、軌道形狀和形狀函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等有關(guān)，較以往NES的三次方回復(fù)力-位移關(guān)系更復(fù)雜，且軌道NES在同一位移處可能產(chǎn)生不同的回復(fù)力。這些特點(diǎn)使得軌道NES能夠產(chǎn)生較以往NES更強(qiáng)的非線性回復(fù)力。

2 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

將軌道NES置于一n個(gè)自由度的主體結(jié)構(gòu)末端。主體結(jié)構(gòu)為樓房結(jié)構(gòu)模型，即各樓層質(zhì)量通過剛度單元和阻尼單元串聯(lián)，頂層質(zhì)量通過非線性剛度單元(軌道)和阻尼單元與軌道NES連接(見圖3)。在這里，軌道NES的阻尼簡(jiǎn)化為黏滯阻尼，用以模擬可能存在的材料阻尼和摩擦阻尼等。

圖3 軌道NES系統(tǒng)模型示意圖Fig.3 Phenomenological Model of track NES system

圖3中，mi為第i個(gè)自由度的質(zhì)量，ki為第i個(gè)質(zhì)量的對(duì)應(yīng)彈簧剛度，ci為第i個(gè)質(zhì)量的對(duì)應(yīng)黏滯阻尼系數(shù)，xi為第i個(gè)質(zhì)量相對(duì)地面的位移，cN為軌道NES黏滯阻尼系數(shù)，xg為地面位移，其他符號(hào)含義與圖2相同。同樣，采用拉格朗日方法，系統(tǒng)中的總動(dòng)能為

(11)

系統(tǒng)中的總勢(shì)能為

(12)

非保守力所做虛功為

(13)

分別對(duì)總動(dòng)能、總勢(shì)能和總虛功表達(dá)式求x1,x2, …,xn和uN的偏導(dǎo)可以得到該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

(14)

3 軌道NES的優(yōu)化

本文以某兩自由度主體結(jié)構(gòu)為例，對(duì)軌道NES進(jìn)行數(shù)值優(yōu)化并討論其減振性能。優(yōu)化使用MATLAB計(jì)算軟件，通過建立State-Space模型或采用Differential Equation Editor模塊的Simulink模型進(jìn)行模擬。優(yōu)化采用了加權(quán)平均的全局搜索方法，考慮了主體結(jié)構(gòu)剛度和輸入能量大小的變化，可分為三步進(jìn)行：①選定NES軌道形狀函數(shù)和NES質(zhì)量的取值范圍。②對(duì)于任意一種NES軌道-NES質(zhì)量的組合在MATLAB中進(jìn)行響應(yīng)模擬。荷載使用脈沖荷載，通過設(shè)定主體結(jié)構(gòu)初始速度施加。改變主體結(jié)構(gòu)剛度和輸入能量大小，重復(fù)脈沖響應(yīng)模擬，并對(duì)不同情況下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)求加權(quán)平均值。③優(yōu)化的目標(biāo)為使軌道NES系統(tǒng)與鎖住系統(tǒng)(即軌道NES與頂層無相對(duì)位移，與頂層鎖住)位移響應(yīng)(層間位移均方根)的比值達(dá)到最小。該層間位移比值可通過式(15)表示。

(15)

式中：上標(biāo)w/NES為軌道NES參與減振控制；w/oNES為無軌道NES參與減振控制；rms為最小均方根；max為求最大值。

該主體結(jié)構(gòu)第一、二層質(zhì)量分別為24.3 kg和24.2 kg，樓層剛度分別為6 820 N/m和8 220 N/m，結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比為0.1%，結(jié)構(gòu)固有頻率分別為1.63 Hz和4.56 Hz。根據(jù)類似試驗(yàn)數(shù)據(jù)，軌道NES阻尼取為1.6 N·s/m。結(jié)構(gòu)初始速度為0.15 m/s。

為了對(duì)比軌道NES和線性阻尼器TMD的減振效果，這里還對(duì)同一主體結(jié)構(gòu)附加相同質(zhì)量的TMD進(jìn)行了優(yōu)化，優(yōu)化后的TMD彈簧剛度系數(shù)為210 N/m。

圖4對(duì)比了軌道NES系統(tǒng)、TMD系統(tǒng)和鎖住系統(tǒng)在初始速度為0.15 m/s時(shí)的頂層位移響應(yīng)。經(jīng)過優(yōu)化的軌道NES和TMD減振效果明顯，5 s內(nèi)即可降低結(jié)構(gòu)響應(yīng)約60%。

圖4 0.15 m/s初始速度100%剛度的結(jié)構(gòu)位移Fig.4 Displacements of 100% stiffness structures under 0.15 m/s initial velocity

圖5中，考慮主體結(jié)構(gòu)剛度退化，即主體結(jié)構(gòu)剛度下降50%后對(duì)比各系統(tǒng)響應(yīng)。由于TMD為線性阻尼器，僅能以單一頻率參與工作，此時(shí)減振效果較圖4下降明顯。而軌道NES由于振動(dòng)頻率可變，減振效果依然十分明顯，約10 s左右，結(jié)構(gòu)響應(yīng)已降至極小，能有效保護(hù)主體結(jié)構(gòu)。軌道NES對(duì)剛度(頻率)變化展現(xiàn)出優(yōu)越的魯棒性能。

圖5 0.15 m/s初始速度50%剛度的結(jié)構(gòu)位移Fig.5 Displacements of 50% stiffness structures under 0.15 m/s initial velocity

圖6中，考慮增加初始速度至0.32 m/s，即增加系統(tǒng)的輸入能量后對(duì)比各系統(tǒng)反應(yīng)。TMD系統(tǒng)與鎖住系統(tǒng)均為線性系統(tǒng)，輸入能量大小的改變不影響兩者的反應(yīng)比例關(guān)系。但此時(shí)軌道NES的性能受到影響，這是由于軌道NES的頻率特性隨輸入能量大小而變化，當(dāng)初始速度偏離優(yōu)化中采用的初始速度時(shí)，軌道NES不能保持最優(yōu)的減振效果。為探索解決軌道NES對(duì)輸入能量較敏感的問題，本文將重點(diǎn)考察軌道NES阻尼對(duì)其能量魯棒性的影響。

為進(jìn)一步說明軌道NES的頻率特性隨輸入能量大小而變化，圖7顯示了軌道NES系統(tǒng)和鎖住系統(tǒng)的加速度響應(yīng)小波變換圖。在約1.5 Hz和5 Hz處的能量曲線分別與主體結(jié)構(gòu)的一階和二階頻率相對(duì)應(yīng)，陰影深淺表示能量大小，即顏色越深表示此處能量越大。觀察可知，開始階段能量較大，軌道NES系統(tǒng)中相當(dāng)一部分能量通過高頻運(yùn)動(dòng)(5～20 Hz)消耗，而隨著系統(tǒng)中能量的減小，軌道NES的振動(dòng)頻率也發(fā)生變化。而鎖住系統(tǒng)中，結(jié)構(gòu)只在兩基本頻率處發(fā)生振動(dòng)，且兩頻率處所分布能量的比值不隨時(shí)間(能量減少)而改變。

圖6 0.32 m/s初始速度100%剛度的結(jié)構(gòu)位移Fig.6 Displacements of 100% stiffness structures under 0.32 m/s initial velocity

圖7 軌道NES系統(tǒng)和鎖住系統(tǒng)的加速度小波變換Fig.7 Wavelet transform of accelerations of the track NES and the locked systems

4 對(duì)軌道NES阻尼的討論

為了全面考察軌道NES阻尼對(duì)其減振性能及對(duì)結(jié)構(gòu)剛度和輸入能量魯棒性的影響，本文分別計(jì)算了初始速度為0.07 m/s、0.15 m/s和0.32 m/s時(shí)軌道NES系統(tǒng)與鎖住系統(tǒng)的層間位移均方根比值。同時(shí)，在不同初始速度下，考察主體結(jié)構(gòu)剛度的八種不同取值(為原始剛度的50%～120%)。各初始速度下軌道NES阻尼與層間位移比的關(guān)系見圖8～圖10。為了在圖中更清晰地表達(dá)結(jié)果，圖8～圖10僅繪制了4種剛度下層間位移比。表1中列出了更為完整的結(jié)果。由圖8～圖10可知，當(dāng)初始速度和結(jié)構(gòu)剛度一定時(shí)，存在一個(gè)最優(yōu)阻尼值使軌道NES的減振性能最佳，即可通過調(diào)整軌道NES阻尼改善其減振性能。

圖8 0.07 m/s初始速度下的層間位移比Fig.8 Storey drift ratio at the initial velocity of 0.07 m/s

圖9 0.15 m/s初始速度下的層間位移比Fig.9 Storey drift ratio at the initial velocity of 0.15 m/s

圖10 0.32 m/s初始速度下的層間位移比Fig.10 Storey drift ratio at the initial velocity of 0.32 m/s

表1 不同初始速度和主體結(jié)構(gòu)剛度組合下的最優(yōu)阻尼

表1列出了不同初始速度和主體結(jié)構(gòu)剛度組合時(shí)，對(duì)應(yīng)最小層間位移比的軌道NES阻尼值?？傮w來說，與主體結(jié)構(gòu)剛度相比，最優(yōu)阻尼隨初始速度變化產(chǎn)生的波動(dòng)較大，這一點(diǎn)與軌道NES對(duì)輸入能量較敏感的特點(diǎn)相符，同時(shí)說明將調(diào)整NES阻尼作為改善手段的可行性。在初始速度方面，以0.15 m/s為基準(zhǔn)初始速度，當(dāng)初始速度增大或減小時(shí)最優(yōu)阻尼值均呈現(xiàn)增大趨勢(shì)。在主體結(jié)構(gòu)剛度方面，對(duì)于具備相當(dāng)振動(dòng)能量的系統(tǒng)，主體結(jié)構(gòu)剛度較小時(shí)最優(yōu)阻尼值較大，剛度較大時(shí)最優(yōu)阻尼值較小。

圖11對(duì)比了使用原阻尼值的軌道NES系統(tǒng)、使用最優(yōu)阻尼值的軌道NES系統(tǒng)以及鎖住系統(tǒng)在初始速度增至0.32 m/s的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)。由圖可知，阻尼經(jīng)過優(yōu)化的軌道NES減振性能大為提高，僅3 s內(nèi)位移降至鎖住系統(tǒng)響應(yīng)的20%。阻尼優(yōu)化后軌道NES對(duì)輸入能量發(fā)生變化結(jié)構(gòu)的減振效果有顯著提高。

圖11 0.32 m/s初始速度阻尼優(yōu)化前后的結(jié)構(gòu)位移Fig.11 Displacements before and after the damping optimization under 0.32 m/s initial velocity

圖12對(duì)比了使用原阻尼值的軌道NES系統(tǒng)、使用最優(yōu)阻尼值的軌道NES系統(tǒng)以及鎖住系統(tǒng)在主體結(jié)構(gòu)剛度下降50%的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)。由圖可知，阻尼優(yōu)化后的軌道NES系統(tǒng)4 s內(nèi)位移降至鎖住系統(tǒng)反應(yīng)的20%，優(yōu)化阻尼對(duì)剛度發(fā)生變化結(jié)構(gòu)的減振效果亦有顯著提高。

圖12 0.15 m/s初始速度50%剛度阻尼優(yōu)化前后的結(jié)構(gòu)位移Fig.12 Displacements of 50% stiffness structures before and after the damping optimization under 0.15 m/s initial velocity

由于軌道NES阻尼較其他參數(shù)(如軌道形狀等)更容易調(diào)節(jié)，在未來的研究中，可考慮通過半主動(dòng)方法或其他變阻尼方法控制軌道NES阻尼的變化，使軌道NES同時(shí)具備對(duì)頻率和對(duì)輸入能量的魯棒性。

5 結(jié) 論

本文所研究的軌道NES是一種新型的非線性結(jié)構(gòu)控制方法，通過附加質(zhì)量沿特殊設(shè)計(jì)的軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生非線性回復(fù)力。與傳統(tǒng)線性控制方法TMD相比，軌道NES在主體結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生變化時(shí)仍具有較好的減振性能，但同時(shí)，其減振性能受輸入能量大小的影響較大。為進(jìn)一步完善軌道NES，本文考察了軌道NES阻尼對(duì)其減振性能的影響。研究發(fā)現(xiàn)軌道NES的減振效率與其自身的阻尼有關(guān)，當(dāng)輸入能量大小與優(yōu)化時(shí)輸入能量偏離較大時(shí)，可以通過調(diào)節(jié)軌道NES阻尼使結(jié)構(gòu)響應(yīng)保持在較低水平。同時(shí)，調(diào)節(jié)軌道NES阻尼對(duì)剛度變化結(jié)構(gòu)的減振性能亦有改善。研究可調(diào)節(jié)阻尼的軌道NES為開發(fā)同時(shí)具備輸入頻率魯棒性和能量魯棒性的非線性結(jié)構(gòu)控制方法提供了可能。

致謝：

本文中對(duì)軌道非線性能量阱的研究得到了美國(guó)伊利諾伊大學(xué)香檳分校Billie F. Spencer, Jr.教授和田納西大學(xué)Nicholas Wierschem教授的悉心指導(dǎo)和幫助。作者在此表示衷心感謝。作者在此表示衷心感謝。

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