探究高中數(shù)學(xué)解析幾何問(wèn)題解析方法

張毅

摘要：數(shù)學(xué)是我們高中教育階段中十分重要的一門學(xué)科，而幾何問(wèn)題也是高中數(shù)學(xué)學(xué)科中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，其相關(guān)知識(shí)貫穿高中數(shù)學(xué)學(xué)科的整個(gè)過(guò)程，并且為大學(xué)高等數(shù)學(xué)中曲面幾何的相關(guān)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。本文通過(guò)闡述在高中數(shù)學(xué)學(xué)科中幾何問(wèn)題的特性和其解析方式，并將其與實(shí)際生活中的應(yīng)用相結(jié)合。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題橢圓與雙曲線直角坐標(biāo)系

一、高中數(shù)學(xué)幾何的相關(guān)概念

高中數(shù)學(xué)中的幾何知識(shí)難點(diǎn)主要表現(xiàn)在二維區(qū)間中，例如直線間的關(guān)系、直線與圓的關(guān)系、橢圓、雙曲線和拋物線等相關(guān)概念以及解析方式等知識(shí)點(diǎn)。其主要通過(guò)培養(yǎng)高中生的空間想象能力和邏輯解題能力，并使高中生能夠?qū)?shù)學(xué)空間形成自己的理解。

二、高中數(shù)學(xué)解析幾何問(wèn)題的主要解析方法

（1）回歸定義法

在高中的解析幾何領(lǐng)域中，由于相關(guān)概念或定義規(guī)定的較為詳盡，因此在解題過(guò)程中很多題型都是依據(jù)定義進(jìn)行分析和解答的。此外，有一些關(guān)于圓錐曲線[1]的問(wèn)題，乃至些看似與圓錐曲線還不相關(guān)的幾何問(wèn)題，都可以利用定義法進(jìn)行判斷。因此回歸定義法是一種很重要的解題思路，例如在下圖（圖1所示）中，圓O的公式為 ，其中P是圓O上面的任意一個(gè)移動(dòng)點(diǎn)，（2，0）為點(diǎn)A的坐標(biāo)。此時(shí)線段AP的垂直平分線與圓O的半徑（圓O的圓心為點(diǎn)C）CP相較于點(diǎn)Q，那么點(diǎn)Q隨點(diǎn)P移動(dòng)所產(chǎn)生的軌跡方程為？

我們由題可以分析出QP=QA，那么此時(shí)QA+QC=QP+QC=CP=6 > AC

結(jié)合橢圓定義，可知該軌跡為橢圓，且點(diǎn)A、C為其焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為6

那么可知a=3，c=2， ，因此綜上分析可得橢圓的方程為 。

（2）設(shè)而不求法

由于高中解析幾何的相關(guān)問(wèn)題較為復(fù)雜，并且在具體的解題過(guò)程中有部分參數(shù)為過(guò)渡參數(shù)，因此可以通過(guò)預(yù)先設(shè)定，后再削去的方式進(jìn)行解題。同時(shí)使用這種方法還可以降低了在計(jì)算過(guò)程中的運(yùn)算量，并提高了解題速度，因此得到廣泛的使用：例如在直角坐標(biāo)系xOy中（如圖2），存在橢圓C： ，并且已知其離心率為 。同時(shí)橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，求證橢圓C的方程。

由于橢圓C： ，并且已知其離心率為

則 ，又因?yàn)?，得出

由題知橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)

則 ，此時(shí) ， ，所以橢圓C的方程為 。

（3）數(shù)形結(jié)合法

此外，對(duì)于高中的解析幾何來(lái)說(shuō)，由于解析幾何主要為幾何圖像，因此數(shù)形結(jié)合的解析方法可以通過(guò)利用原有圖形的相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)而求出相關(guān)答案：如圖3所示，坐標(biāo)點(diǎn)P是圓O在第一象限中的任意一點(diǎn)（圓O的方程為 ），那么過(guò)P點(diǎn)的圓的切線[2]與橢圓C相交（橢圓C的方程為 ）于Q 、R 兩點(diǎn)。并且已知橢圓C的右焦點(diǎn)為F ，請(qǐng)證：PQ+FQ=2。

本題主要通過(guò)使用兩點(diǎn)間距離公式，而兩點(diǎn)間的距離公式主要采用勾股法進(jìn)行判別

由圖3可得出點(diǎn)Q 在橢圓上

，F(xiàn)Q=

PQ=

因此，綜上所述PQ+FQ=2。

三、高中數(shù)學(xué)幾何的實(shí)際應(yīng)用

（1）在傳媒領(lǐng)域的應(yīng)用

解析幾何由于其獨(dú)有的實(shí)用性，并且利用解析幾何可以輕松設(shè)計(jì)出對(duì)稱面[3]、橢圓和拋物線等相關(guān)形狀，極大地方便了傳媒領(lǐng)域中設(shè)計(jì)人員的工作量。因此解析幾何在傳媒領(lǐng)域的應(yīng)用十分廣泛：例如動(dòng)畫制作、廣告或海報(bào)等創(chuàng)意設(shè)計(jì)、場(chǎng)地布置及吉祥物或紀(jì)念品設(shè)計(jì)等多方面的應(yīng)用。同時(shí)，在一些舞蹈動(dòng)作編排、電視劇或電影中的動(dòng)作設(shè)計(jì)（如電影《侏羅紀(jì)世界2》當(dāng)中各個(gè)恐龍模型的設(shè)計(jì)，就用到了圓及其變形、對(duì)稱面等相關(guān)知識(shí)）等也會(huì)運(yùn)用到有關(guān)解析幾何的相關(guān)知識(shí)。

（2）在軍事領(lǐng)域的應(yīng)用

在軍事科技領(lǐng)域中，由于圓的切線、橢圓等在雷達(dá)接收面和反射面的相關(guān)性能有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性，因此被廣泛應(yīng)用于軍事通信領(lǐng)域和隱身戰(zhàn)艦、飛機(jī)的設(shè)計(jì)和研制工作中；此外，由于拋物線的相關(guān)知識(shí)與軍事領(lǐng)域中的炮彈落點(diǎn)、彈道導(dǎo)彈飛行軌跡等緊密相關(guān)，因此解析幾何的相關(guān)知識(shí)是軍事科技研究領(lǐng)域中的必修課之一，并且在其中占有十分重要的地位。

四、結(jié)語(yǔ)

幾何問(wèn)題及其解析方法不僅在高中的數(shù)學(xué)考試中占有很大的比重，并且由于其獨(dú)特的實(shí)用性和對(duì)現(xiàn)代科技的獨(dú)特作用，因此解析幾何知識(shí)對(duì)高中生的重要性不言而喻。本文通過(guò)對(duì)高中解析幾何的相關(guān)問(wèn)題及解析方法進(jìn)行介紹和講解，并結(jié)合其在實(shí)際中應(yīng)用案例，以期幫助其他高中生更好地理解幾何問(wèn)題，提高學(xué)習(xí)興趣。

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