第二類曲面積分的新計算方法

張平

摘 要：本文給出了第二類曲面積分的一種新計算方法，從全微分的角度重新審視面積元素，利用面積元素之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系來計算第二類曲面積分。

關(guān)鍵詞：第二類曲面積分 全微分 面積元素

一、引言

由于第二類曲面積分[1～5]的概念抽象難懂，致使許多學(xué)生難以掌握其求法。本文另辟蹊徑，利用全微分來轉(zhuǎn)換面積元素，大大降低了計算難度。

二、結(jié)論

定理1： ，其中 為三元可微函數(shù)， 是由 確定的隱函數(shù) ， 是 在 面的投影區(qū)域。

證明：全微分 ，且面積元素 ，則有

例1： ，其中 為曲面 的上側(cè)。

解法一：令 ，則 ，由定理1知

原式 ，

解法二：補輔助面： ，下側(cè)。由高斯公式得

原式

，

顯然，解法一的思路要優(yōu)于解法二，大大簡化了第二類曲面積分的計算量。

定理2： ，其中 為三元可微函數(shù)， 是由柱面 圍成， 是 在 面的投影區(qū)域。

證明：由柱面 得 ，則 ，故

例2[3]： ，其中 是柱面 被平面 所截得的在第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè)。

解法一：令 ，則 ，由定理2知

原式 ，

；

解法二： 在 面投影 ，在 面投影 ，在 面的投影 ，故

原式

從例2可以看出，解法一的計算過程明顯比解法二簡單。

參考文獻(xiàn)

[1]楊奇，毛云英. 微積分及其應(yīng)用（第8版）[M].機械工業(yè)出版社，2006.7.

[2]李林，馮敬海.大學(xué)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)[M].大連理工大學(xué)出版社，2008.7.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.6.

[4]吳贛昌.高等數(shù)學(xué)（下冊）（理工類第4版）[M].中國人民大學(xué)出版社，2011.8.

[5]何滿喜，丁春梅.高等數(shù)學(xué)（下冊）[M].科學(xué)出版社，2012.7.endprint