SOT-不可分離Witness的比較

柴晉飛，侯晉川

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030024)

糾纏現(xiàn)象是量子力學(xué)區(qū)別于經(jīng)典力學(xué)的突出特征之一。在量子信息理論中，糾纏態(tài)作為一種物理資源，在量子通訊、秘鑰分配、隱形傳態(tài)等方面都發(fā)揮著重要的作用[1]。近年來，糾纏的刻畫引起了眾多學(xué)者的關(guān)注[2-12]。

用算子理論語言，一個量子態(tài)可以表示為某個可分復(fù)Hilbert空間上跡為1的正線性算子，用S(H)表示H上的所有態(tài)構(gòu)成的集合。設(shè)ρ是Hilbert空間張量積H=H1?H2上的量子態(tài)。如果ρ可以表示成

或者形如上述算子的跡范數(shù)拓?fù)錁O限，則稱量子態(tài)ρ是可分離的；否則，稱ρ是糾纏的。

于是糾纏性的檢測問題等價于刻畫Hilbert空間張量積H=H1?H2上的跡為1的正跡類算子在什么條件下能表示為Hi(i=1,2)上跡為1的正跡類算子的張量積的凸組合或者這種凸組合的極限。

筆者把可分離量子態(tài)的概念推廣到一般有界線性算子情形，引入SOT-可分離正算子的概念并給出SOT-不可分離性的Witness判據(jù)；文獻(xiàn)[13]中應(yīng)用SOT-可分離性的一些性質(zhì)應(yīng)用于可分離量子態(tài)研究，給出一類新的可分離量子態(tài)及其判別方法。

記T(H)為H上跡類算子空間，B(H)為H上所有有界線性算子組成的von Neumann (vN)代數(shù)。由于量子態(tài)的全體S(H)是T(H)的單位球面中的閉凸子集，而B(H)的單位球面中正算子全體的集合不一定是凸的，所以只能對一般正算子引入可分離性概念。

由SOT-不可分離性的Witness判據(jù)，對于任意一個SOT-不可分離正算子，總存在一個SOT-不可分離Witness能檢測到它。但是并不存在一個萬能的Witness能檢測到所有的SOT-不可分離正算子。于是探討兩個不同witness之間的關(guān)系是有著基本重要性的問題。本文的目的是探討無限維張量積空間中不同SOT-不可分離Witness之間的關(guān)系，以及最優(yōu)SOT-不可分離Witness的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

1 預(yù)備知識

記B(H)為H上所有有界線性算子組成的von Neumann(vN)代數(shù)。因為B(H)中范數(shù)為1的正算子全體的集合不是凸的，所以只能對一般正算子引入可分離性概念。在本文中，令H1，H2是可分的復(fù)Hilbert空間，總假設(shè)dim(H1?H2)=∞.下面，給出本文需要的一些定義和引理。

設(shè)A∈B(H1)為有界線性算子，如果〈Ax,x〉≥0對所有的x∈H1都成立，則稱A為正算子，記為A≥0.記B+(H1)，B+(H2)，B+(H1?H2)分別為H1，H2，H1?H2上的正算子全體。

或者A可以寫成形如上述算子的強(qiáng)算子拓?fù)錁O限，則稱A是強(qiáng)算子拓?fù)淇煞蛛x的，簡稱為SOT-可分離的；否則，稱A是SOT-不可分離的。記BSOT為H1?H2上的SOT-可分離算子全體組成的集合。顯然，BSOT是B(H1?H2)中的一個SOT-閉的凸錐。下面結(jié)果是SOT-不可分離性的witness判據(jù)。

引理1A∈B+(H1?H2)，則A是SOT-不可分離的當(dāng)且僅當(dāng)存在有限秩自伴算子W使得Tr(WA)<0而Tr(WC?D)≥0對任意C∈B+(H1)，D∈B+(H2)都成立。

上述引理中的有限秩自伴算子W稱為SOT-不可分離witness.顯然W不是正的。

設(shè)Ω為H1?H2上的所有SOT-不可分離Witness構(gòu)成的的集合，即

Ω={W∶W∈B(H1?H2)，W*=W，Tr(WA)≥0，A∈BSOT，W為有限秩且W非正} .

對于W∈Ω，Γ?Ω，定義

ΔW={A∶A∈B+(H1?H2)，Tr(WA)<0}，ΔΓ=∩W∈ΓΔW.

顯然ΔW和ΔΓ都是凸集。

定義2 設(shè)W1，W2∈Ω，如果ΔW2?ΔW1，則稱W1比W2更優(yōu)，記為

W2W1.

特別地，設(shè)W為SOT-不可分離witness，如果不存在比W更優(yōu)的SOT-不可分離Witness，則稱W是最優(yōu)SOT-不可分離Witness.

對任意W1，W2∈Ω，如果W1W2或W2W1，則稱W1和W2是可以比較的；否則，它們是不可比較的。特別地，如果W1W2且W2W1，稱W1和W2是等價的。

一般而言，任意兩個WitnessW1和W2之間有3種關(guān)系：

1)W1W2或W2W1，特別地ΔW2=ΔW1；

2) ΔW1∩ΔW2≠?且ΔWi?ΔWj，i,j=1,2且i與j相異；

3) ΔW1∩ΔW2=?.

下面給出本文用到的其它術(shù)語和符號。

1) 設(shè)H為可分的復(fù)Hilbert空間，H'是H的子空間。如果H'中所有元的線性組合構(gòu)成的子空間在H中稠密，則稱H'張成H.

2) 設(shè)A∈B(H1)是有界線性算子，{xi}為H1上的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，AT表示A相對于這組基的轉(zhuǎn)置。

3) 設(shè)A∈B(H1?H2)是H1?H2上的有界線性算子，AT2表示對A按H2取偏轉(zhuǎn)置。

2 可比較的SOT-不可分離Witness

對于任意給定的兩個SOT-不可分離WitnessW1和W2，給出它們可比較的充分必要條件。首先給出幾個引理。

引理2 如果W∈Ω，則存在一個SOT-可分離正算子A∈BSOT使得Tr(WA)>0.

證明：顯然SOT-不可分離Witness是糾纏Witness，故由引理1知，存在一秩投影P∈B+(H1)，Q∈B+(H2)，使得Tr(WP?Q)>0，從而本引理得證. 但是文獻(xiàn)[14]的證明有誤，故此在這里先給出引理1的證明。

Tr(WC?D)=∑i,jαiβj(WPi?Qj)=
∑0=0 .

引理3 設(shè)W1,W2∈Ω.如果W1W2，則且對任意A∈B+(H1?H2)，都有Tr(W2A)≤λTr(W1A).

證明：注意λ≧0.對任意的A∈B+(H1?H2)，分下面3種情形來考慮：

1) Tr(W1A)=0.欲證Tr(W2A)≤λTr(W1A)，僅需證明Tr(W2A)≤0.假設(shè)Tr(W2A)>0.對于任意A∈ΔW1?ΔW2，a>0，令A(yù)(a)=A1+aA，則

Tr(W1A(a))=Tr(W1A1)+aTr(W1A)=
Tr(W1A1)<0，

所以A(a)∈ΔW1?ΔW2.

2) Tr(W1A)>0.對任意A1∈ΔW1，令A(yù)'=[Tr(W1A)A1-Tr(W1A1)A]，則Tr(W1A')=0.由情形一已證的結(jié)果可知Tr(W2A')≤0，因此，

Tr(W1A)Tr(W2A1)≤Tr(W1A1)Tr(W2A)，

最后證明λ>0.假設(shè)λ=0，則存在一個序列{An}?ΔW1使得

(1)

由引理2及前面的證明可知，存在T∈BSOT使得Tr(W1T)>0且Tr(W2T)>0.令

則Tr(W1A'n)=0，故由第一種情形可知，Tr(W2A'n)≤0對任意n都成立。然而，

下面是本節(jié)主要結(jié)果。

定理1 設(shè)W1，W2∈Ω，則

1)W1W2當(dāng)且僅當(dāng)存在正數(shù)a>0和有限秩正算子D≥0使得W1=aW2+D.

2) ΔW1=ΔW2當(dāng)且僅當(dāng)存在正數(shù)a>0使得W1=aW2.

證明：

1) 假設(shè)存在正數(shù)a>0和有限秩正算子D使得W1=aW2+D.對任意A∈ΔW1，Tr(W1A)=aTr(W2A)+Tr(DA)<0，所以Tr(W2A)<0，故ΔW1?ΔW2.

2) 充分性顯然，僅證必要性。

設(shè)ΔW1=ΔW2.由式(1)可知，存在有限秩正算子Di≥0以及正數(shù)ai>0(i=1,2)使得W1=a1W2+D1且W2=a2W1+D2，則W1=a1a2W1+a1D2+D1，因此，

(1-a1a2)W1=a1D2+D1≥0 .

事實上，1-a1a2=0，否則，若1-a1a2>0，則(1-a1a2)W1非正，矛盾；若1-a1a2<0，而(1-a1a2)W1≥0，那么W1≤0.所以對于任意B∈BSOT，Tr(W1B)≤0.因為W1為SOT-不可分離Witness，所以Tr(WB)=0.另一方面，由引理2可知，至少存在一個可分離正算子B使得Tr(W1B)=0，矛盾，故a1a2=1.因此，D1=D2=0，即W1=a1W2.證畢。

3 最優(yōu)SOT-不可分離Witness

本節(jié)給出判斷最優(yōu)SOT-不可分離Witness的條件以及可分解最優(yōu)SOT-不可分離Witness的結(jié)構(gòu)特征。

定理2 設(shè)W∈Ω，則W是最優(yōu)的當(dāng)且僅當(dāng)對任意正數(shù)a>0和非零有限秩算子D≥0都有W'=aW-D?Ω.

證明：假設(shè)W不是最優(yōu)的，則存在與W線性無關(guān)的W'∈Ω使得WW'.故存在有限秩算子D≥0和正數(shù)a>0使得W=aW'+D，所以W'=a-1W-a-1D.

假設(shè)存在非零有限秩算子D≥0和正數(shù)a>0使得W'=aW-D∈Ω，則W=a-1W'+a-1D.由定理1，WW'，故W不是最優(yōu)的。證畢。

利用定理2可以得到判別SOT-不可分離witness為最優(yōu)的充分條件。令

∏W={x?y∈H1?H2∶
〈Wx?y,x?y〉=0} .

(2)

引理4 設(shè)W∈Ω，∏W為式(2)中的集合，則對任意滿足D∏W≠{0}的有限秩正算子D∈B+(H1?H2)及任意正數(shù)a>0都有W-aD?Ω.

證明：設(shè)D∈B+(H1?H2)為有限秩正算子且D∏W≠{0}，則存在張量積向量x0?y0∈∏W使得〈Dx0?y0,x0?y0〉>0.令A(yù)0=(x0?x0)?(y0?y0)，其中，(x0?x0)z=〈z,x0〉x0,z∈H1，表示一秩算子。顯然，A0是SOT-可分離的，且當(dāng)a>0時，Tr[(W-aD)A0]=-aTr(DA0)<0，所以W-aD?Ω.證畢

由定理2及引理4，下面的推論顯然成立。

推論1 設(shè)W∈Ω.如果∏W張成全空間H1?H2，則W是最優(yōu)的。

下面討論可分解最優(yōu)Witness的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。首先回憶一些概念：設(shè)A∈B(H1?H2)為自伴算子，如果存在正算子P,Q≥0使得A=P+QT2，則稱A是可分解的；否則，稱A是不可分解的。

定理3 設(shè)W∈Ω是可分解SOT-不可分離Witness，則下列等價：

1)W是最優(yōu)的。

2) 存在有限秩正算子Q使得W=QT2，并且不存在滿足R(A)?R(Q)的有限秩正算子A使得AT2≥0.

證明：3)?1)顯然。

1)?2)設(shè)W可分解的，則存在有限秩正算子P,Q使得W=P+QT2.假設(shè)P≠0.因為對任意C∈B+(H1)，D∈B+(H2)，

Tr(QT2C?D)=Tr[QT2(C?D)]T2=
Tr[(C?D)T2(QT2)T2]=
Tr(C?DTQ)=Tr(QC?DT)≥0 .

所以，QT2∈Ω，故WQT2，與W的最優(yōu)性矛盾，因此，P=0，W=QT2.

推論2 設(shè)W∈Ω為可分解SOT-不可分離Witness.如果W是最優(yōu)的，則WT2≥0.

4 不可比較的SOT-不可分離Witness

本節(jié)討論不可比較的SOT-不可分離Witness能檢測同一個SOT-不可分離正算子的條件。

定理4 設(shè)W1,W1∈Ω，則ΔW1∩ΔW2當(dāng)且僅當(dāng)存在實數(shù)0<λ<1使得W=λW1+(1-λ)W2≥0.

證明：充分性顯然，僅證必要性。

記W(a,b)=aW1+bW2，其中，a,b>0.顯然，

1) 如果W1W2，W1W(a,b)W2.特別地，它們的凸組合也是Witness.

2) 如果W=aW1+bW2≠0，其中a,b≥0，則

ΔW1∩ΔW2?ΔW且ΔW?ΔW1∪ΔW2.

3) 設(shè)W,W1,W2∈Ω，如果ΔW1∩ΔW2=?且ΔW?ΔW1∪ΔW2，則ΔW?ΔW1或ΔW?ΔW2.

設(shè)ΔW1∩ΔW2=?.令W(λ)=λW1+(1-λ)W2，0≤λ≤1.由2)和3)知，ΔW(λ)?ΔW1或ΔW(λ)?ΔW2.注意到，當(dāng)λ從0到1連續(xù)變化時，ΔW(λ)從ΔW2連續(xù)變化到ΔW1.記λ0=sup{λ∶ΔW(λ)?ΔW2}.可以斷言，如果ΔW(λ0)?ΔW2，則存在0<ε<1-λ0使得W(λ0+ε)≥0.否則，對任意的0<ε<1-λ0，ΔW(λ0+ε)≠?，且ΔW(λ0+ε)?ΔW1.所以對任意A∈ΔW(λ0)，Tr[W(λ0)A]<0，Tr[W(λ0+ε)A]≥0；另一方面，因為Tr(W1A)≥0，Tr(W2A)<0，故當(dāng)ε充分小時，

Tr[W(λ0+ε)A]=Tr[W(λ0)A]+
ε[Tr(W1A)-Tr(W2A)]<0 .

矛盾。類似可證，如果ΔW(λ0)?ΔW1，則存在0<ε<λ0使得W(λ0-ε)是一個正算子。證畢。

由定理4及證明可直接得到下面的結(jié)論：

定理5 設(shè)W1,W2∈Ω，則ΔW1∩ΔW2≠?當(dāng)且僅當(dāng)對任意的0≤λ≤1都有W=λW1+(1-λ)W2∈Ω.

定理4和定理5可以被推廣到有限多個Witness的情形。

記cov(Γ)為Γ的凸包，即

定理6 設(shè)Γ={Wi∶1≤i≤n}?Ω是由SOT-不可分離Witness構(gòu)成的有限子集。則：

1) ΔΓ=?當(dāng)且僅當(dāng)cov(Γ)中包含正算子。

2) Δ?！?當(dāng)且僅當(dāng)cov(Γ)?Ω.

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