淺析函數(shù)極值的應(yīng)用

楊秀松

摘 要：函數(shù)極值是中學(xué)數(shù)學(xué)研究中的重要內(nèi)容之一，涉及代數(shù)、幾何、數(shù)論和組合等諸多數(shù)學(xué)分支的知識(shí)，同時(shí)函數(shù)極值有著極大的生活應(yīng)用，無論是在各科的學(xué)習(xí)中還是日常生活中都有著極大的應(yīng)用性。因此，現(xiàn)階段對函數(shù)極值問題的探討具有十分重要的意義，談?wù)勱P(guān)于函數(shù)極值的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：函數(shù)極值；應(yīng)用；概念

一、函數(shù)極值的概念

如果函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0附近有定義，而且對x0附近的所有點(diǎn)，都有f（x）f（x0）），我們就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大（或極?。┲?，記做y極大值=f（x0）（或y極小值=f（x0）），極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.

1.根據(jù)定義知，極值點(diǎn)x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn)a，b.

2.連續(xù)函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)的極值點(diǎn)可能不止一個(gè)，也可能沒有，函數(shù)極大值與極小值沒有必然的聯(lián)系.

3.可導(dǎo)函數(shù)f（x）在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，但是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如果f（x）在x0處連續(xù)，在x0兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，那么點(diǎn)x0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn).

二、函數(shù)極值的應(yīng)用

1.求極值

例1.設(shè)f（x）=2x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)為f′（x），若函數(shù)y=f′（x）的圖象關(guān)于直線x=-對稱，且f′（1）=0.

（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；

（2）求函數(shù)f（x）的極值.

分析：原函數(shù)是三次函數(shù)，求導(dǎo)后是二次函數(shù)，所以根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸容易得出a的數(shù)值，再結(jié)合f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)值求得b的數(shù)值，最后利用求函數(shù)極值的方法求出極值.

解：（1）因?yàn)閒（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b.從而

f′（x）=6（x+）2+b-，即y=f′（x）關(guān)于直線x=-對稱，由題設(shè)知-=-，解得a=3.

又由于f′（1）=0，即6+2a+b=0，解得b=-12

（2）由（1）知f（x）=2x3+3x2-12x+1，

f′（x）=6x2+6x-12=6（x-1）（x+2）.

令f′（x）=0，即6（x-1）（x+2）=0，解得x1=-2，x2=1.

當(dāng)x∈（-∞，-2）時(shí)，f′（x）>0，故f（x）在（-∞，-2）上為增函數(shù)；

當(dāng)x∈（-2，1）時(shí)，f′（x）<0，故f（x）在（-2，1）上為減函數(shù)；

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）>0，故f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)；

從而函數(shù)f（x）在x1=-2處取得極大值f（-2）=21，在x2=1處取得極小值f（1）=-6.

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)極值的一般步驟為：①求f′（x）；②令f′（x）=0，解方程；③判斷極值.

2.根據(jù)極值求參數(shù)

例2.已知函數(shù)f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=-1時(shí)有極值0，則m= ，n= .

分析：根據(jù)題意利用f′（-1）=0與f（-1）=0建立方程組求解.

解：f′（x）=3x2+6mx+n，由題意，

得f′（-1）=3-6m+n=0f（-1）=-1+3m-n+m2=0

解得m=1n=3或m=2n=9，但m=1，n=3時(shí)f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0恒成立，即x=-1不是f（x）的極值點(diǎn)，應(yīng)舍去，故分別填2，9.

點(diǎn)評(píng)：本題的解答充分體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用，通過已知的極值求得函數(shù)解析式中的參數(shù)，但要注意對所求值的驗(yàn)證.

3.考查極值中的函數(shù)圖象

例3.設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=-1為函數(shù)f（x）ex的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列圖象不可能為y=f（x）的圖象的是（ ）

分析：根據(jù)函數(shù)圖象特征，對照四個(gè)選項(xiàng)逐步解決.

解：設(shè)h（x）=f（x）ex，則h′（x）=（2ax+b）ex+（ax2+bx+c）ex=（ax2+2ax+bx+b+c）ex，由x=-1是函數(shù)f（x）ex的一個(gè)極值點(diǎn)，所以ax2+2ax+bx+b+c=c-a=0，所以c=a，所以f（x）=ax2+bx+a，若方程ax2+bx+a=0，∴Δ=b2-4ac=b2-4a2，當(dāng)Δ=0時(shí)，b=±2a，即對稱軸所在直線方程為x=±1，所以A、B正確；又設(shè)方程兩根為x1、x2，則x1·x2==1，顯然D不滿足這一條件.所以選D.

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)圖象的識(shí)別，難度較大，需要綜合各方面的知識(shí)求解.

？誗編輯 謝尾合