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    巧用物理方法解決幾何問題

    2018-01-19 23:39:10栗高龍
    考試周刊 2018年19期
    關(guān)鍵詞:高中物理

    摘 要:高考在物理學(xué)科中要求學(xué)生具備“五大能力”,其中“運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題”這一項(xiàng)要求,對(duì)學(xué)生的理科素養(yǎng)提出了更高層次的要求,因此我們?cè)趯W(xué)生的日常應(yīng)考訓(xùn)練中,經(jīng)常教育學(xué)生要能夠?qū)⒉糠治锢韱栴}轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,如電學(xué)中電流輸出功率與內(nèi)外電阻的函數(shù)極值關(guān)系;數(shù)學(xué)中的圖象法、極值法、解析函數(shù)等幾種常見的數(shù)學(xué)方法。特別是用圖象和函數(shù)的思想,研究和解決物理問題,可使問題變得簡(jiǎn)明、直觀。數(shù)學(xué)在物理學(xué)科上的應(yīng)用常常起到有力的輔助作用。然而,在有些問題中,物理知識(shí)的合理應(yīng)用也可以巧妙地解決數(shù)學(xué)問題。本文就在處理物理題目中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)幾何問題,通過構(gòu)建物理模型,成功地將該問題予以解決。

    關(guān)鍵詞:高中物理;物理方法;幾何問題;物理與數(shù)學(xué)

    【例】 如圖1所示,一質(zhì)量為m的小球套在光滑豎直桿上,輕質(zhì)彈簧一端固定于O點(diǎn),另一端與該小球相連?,F(xiàn)將小球從A點(diǎn)由靜止釋放,沿豎直桿運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn),已知OA長度小于OB長度,彈簧處于OA、OB兩位置時(shí)彈力大小相等。在小球由A到B的過程中( )

    A. 加速度等于重力加速度g的位置有兩個(gè)

    B. 彈簧彈力的功率為零的位置有兩個(gè)

    C. 彈簧彈力對(duì)小球所做的正功等于小球克服彈簧彈力所做的功

    D. 彈簧彈力做正功過程中小球運(yùn)動(dòng)的距離等于小球克服彈簧彈力做功過程中小球運(yùn)動(dòng)的距離

    這是一道功能關(guān)系的綜合題目,難度屬于中等偏上,每一個(gè)選項(xiàng)都值得我們深思。

    首先挖掘題目中的關(guān)鍵信息:“OA長度小于OB長度,彈簧處于OA、OB兩位置時(shí)彈力大小相等”告訴我們處于OA的彈簧一定處于壓縮狀態(tài),處于OB的彈簧處于拉伸狀態(tài)。這樣,我們很容易在AB之間將彈簧所處的幾個(gè)特殊位置確定出來,如圖2所示(為了能清晰表示彈簧處于不同狀態(tài)的位置,我們將圖中的彈簧都用直線代替,如線段OA表示處于OA狀態(tài)的彈簧):

    OA是小球釋放時(shí)彈簧的壓縮狀態(tài);

    OC是彈簧壓縮最短的位置,此時(shí)彈簧水平;

    OD與OA關(guān)于OC對(duì)稱,即彈簧處于OD位置的壓縮量與OA相同;

    OE是彈簧處于原長的位置;

    OB是彈簧處于壓縮的狀態(tài),形變量與OA相同。

    由以上分析可知,加速度等于重力加速度g的位置有兩個(gè),即水平位置OC和原長位置OE,故A對(duì);彈簧彈力功率為零的位置有三個(gè),即OA、OC和原長OE位置,故B錯(cuò)誤;彈簧對(duì)物體做正功,彈簧彈性勢(shì)能減少,彈簧對(duì)物體做負(fù)功,彈簧彈性勢(shì)能增加,彈簧處于OA和OB兩位置(即初末位置)時(shí),形變量相同,故彈簧彈性勢(shì)能相同,即彈簧在該過程中對(duì)物體所做的正功和負(fù)功在數(shù)值上相等,故C對(duì)。

    D選項(xiàng)涉及做功時(shí)的距離,故需要分段看。對(duì)小球下落過程分析很容易判斷出:

    WAC<0 WCD>0 WAC=-WCD WDE>0 WEB<0

    即AC段負(fù)功與CD段正功數(shù)量相等,故要比較AB段做正負(fù)功所走距離大小,只需要比較做正功的DE段與做負(fù)功的EB段長度大小。由于OD與OA關(guān)于OC對(duì)稱,故OD位置的壓縮量與OB位置的拉伸量一定相等,因此有如下的幾何線段關(guān)系:

    OB-OE=OE-OD

    我們可以將該問題抽化成如圖3的幾何模型:

    已知在三角形ODB中,OB-OE=OE-OD,比較DE與EB的大小關(guān)系。

    在這個(gè)幾何問題中,我們可以借助平面幾何關(guān)系或代數(shù)中的向量知識(shí)予以化解,但過程都比較繁瑣,對(duì)于學(xué)生來說不容易思考。這時(shí)我們可以通過一個(gè)很簡(jiǎn)單的物理模型將該幾何問題巧妙解答。過程如下:

    如圖4所示,一根輕繩跨過光滑的定滑輪,左端連接著水平面上可視為質(zhì)點(diǎn)的小物體M,右端吊著物體m。外力F作用在M上,使M沿著水平面勻速向右運(yùn)動(dòng)。設(shè)E點(diǎn)和D點(diǎn)是M運(yùn)動(dòng)過程中的兩個(gè)位置,且滿足tBE=tED,E′和D′是物體m對(duì)應(yīng)的兩個(gè)位置。由關(guān)聯(lián)速度知識(shí)可知,物體m的速度可以表示為vcosα,其中α角為滑輪左側(cè)繩子與水平面的夾角。因?yàn)棣两堑牟粩嘣黾樱梢灾涝贛向右勻速直線運(yùn)動(dòng)過程中,m在做減速運(yùn)動(dòng)。故對(duì)于m的運(yùn)動(dòng)過程可以得出:XB′E′>XE′D′

    即線段關(guān)系:OB-OE>OE-OD

    故在△ODE中,當(dāng)DE=EB時(shí),線段滿足OB-OE>OE-OD;推理可得,當(dāng)OB-OE=OE-OD時(shí),E點(diǎn)必定向靠近B點(diǎn)方向移動(dòng)少許,此時(shí)DE>EB。

    回到例題中的D選項(xiàng),借助于剛才模型中得到的結(jié)論可知,“彈力做正功過程中小球運(yùn)動(dòng)的距離大于小球克服彈簧彈力做功過程中小球運(yùn)動(dòng)的距離”,故D項(xiàng)錯(cuò)誤。

    構(gòu)建物理模型巧妙解決幾何問題、數(shù)學(xué)問題,這是一個(gè)嶄新的思路。老師和同學(xué)們平時(shí)在做題過程中,只要勤于思考、善于發(fā)現(xiàn),一定還可以發(fā)現(xiàn)更多的成功案例,從而更進(jìn)一步加強(qiáng)物理學(xué)科和數(shù)學(xué)學(xué)科的緊密協(xié)作,綜合提升高中學(xué)生的理科素養(yǎng)。

    參考文獻(xiàn):

    [1]張業(yè)金.新課程標(biāo)準(zhǔn)下物理教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的探究[D].上海師范大學(xué),2009.

    [2]張國明.巧用數(shù)學(xué)知識(shí),妙解物理極值問題[J].中國校外教育中旬刊.

    作者簡(jiǎn)介:

    栗高龍,河北省張家口市,河北省張家口市宣化第一中學(xué)。endprint

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