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      邏輯運(yùn)算的算術(shù)實(shí)現(xiàn)

      2018-01-19 10:43:46黎明杰
      關(guān)鍵詞:存器輸出特性化簡(jiǎn)

      黎明杰

      (深圳大學(xué) 光電工程學(xué)院, 廣東 深圳 518060)

      0 引言

      在布爾代數(shù)中,由于其基本邏輯定義的關(guān)系,使得其邏輯表達(dá)式不能進(jìn)行直接的算術(shù)運(yùn)算的,如“或”運(yùn)算Y=A+B,這里當(dāng)A和B的值同時(shí)為1時(shí),不代表輸出值Y為2。同理,“非”運(yùn)算、“異或”運(yùn)算、“同或”運(yùn)算符號(hào),也不能進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算。

      本文就針對(duì)此問(wèn)題作出改進(jìn)。

      1 對(duì)邏輯語(yǔ)言的數(shù)學(xué)化

      為避免和漢語(yǔ)表述混淆,將邏輯語(yǔ)言的“與”“或”“非”等加雙引號(hào)表示,以作區(qū)分。

      (1) “與”:在計(jì)算A“與”B中,僅當(dāng)A和B同時(shí)為1時(shí),結(jié)果才為1,即,當(dāng)A或者B其中一個(gè)為0,結(jié)果將為0。對(duì)此,數(shù)學(xué)運(yùn)算中乘法恰好有這樣的特性。因此定義

      A“與”B:A×B

      (2) “非”:在計(jì)算 “非”A中,當(dāng)A為1,結(jié)果為0,當(dāng)A為0,結(jié)果為1;在這里,如果將 全碼 定為 1,那么1和0則互補(bǔ)。故可將 “非”A看作求A對(duì)全碼1的補(bǔ)。因此定義

      “非”A:1-A

      (3) “異或”:在計(jì)算A“異或”B中,一旦A和B不相等,結(jié)果為1,否則為0。而減法恰好有這樣的特性,可令運(yùn)算為A-B,但這樣運(yùn)算的話,結(jié)果將有可能為負(fù)值。因此定義

      A“異或”B“:(A-B)2

      考慮到A、B的取值無(wú)外乎0和1,則可以知道An=A。所以,上式可以化簡(jiǎn)為

      A“異或”B:A+B-2AB

      (4) “同或”:在計(jì)算A“同或”B中,其結(jié)果為“異或”運(yùn)算的非,即,A“同或”B等于對(duì)A“異或”B取非,因此定義

      A“同或”B:1-(A-B)2=1+2AB-A-B

      (5) “或”:在計(jì)算A“或”B中,其結(jié)果可以看作

      (1)“異或”和“與”的疊加,即,A“或”B等于A“異或”B加A“與”B,因此定義

      (2)A“或”B:(A-B)2+AB=A+B-AB

      上述將邏輯運(yùn)算用數(shù)學(xué)運(yùn)算替代的方法,稱之為新定義。

      2 新定義的應(yīng)用

      2.1 德·摩根定理的證明

      該定理用邏輯運(yùn)算描述為:

      (1)(“非”A)“或”(“非”B)= “非”(A“與”B)

      (1)

      (2) (“非”A)“與”(“非”B)= “非”(A“或”B)

      (2)

      證(1):用數(shù)學(xué)運(yùn)算描述,等號(hào)左端 = [ (1-A) + (1-B) - (1-A)(1-B) ] = 2-A-B-1+A+B-AB=1-AB=等號(hào)右端

      證(2):等號(hào)左端 = (1-A)×(1-B) = 1-A-B+AB= 1 - (A+B-AB) =等號(hào)右端

      2.2 求解SR鎖存器的輸出特性

      1)或非門SR鎖存器的輸出特性:

      或非門SR鎖存器原理圖示于圖1。

      圖1 或非門SR鎖存器

      根據(jù)新定義,對(duì)每個(gè)或非門列方程,有:

      (3)

      對(duì)式(3)求解,可以得到以下關(guān)系:

      (4)

      根據(jù)結(jié)果將S、R的值代入式(4)進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算可以得到: ①S=1,R=0時(shí),Q=1 ,Q′=0;

      ②S=0 ,R=1時(shí),Q=0 ,Q′=1;

      ③S=1 ,R=1時(shí),Q=0 ,Q′=0;

      ④S=0 ,R=0時(shí),有

      (5)

      這時(shí),如果是由①和②的情況跳變到④的話,那么Q和Q′互非,根據(jù)式(5)可知,Q和Q′保持原來(lái)的狀態(tài);而對(duì)于由③跳變到④,則需要考慮兩種情況:

      第一種:S和R的其中一個(gè)比另一個(gè)先到達(dá)0狀態(tài),即有中間過(guò)程,③→①→④或者③→②→④,那么經(jīng)歷了中間態(tài)之后,Q和Q′互非,保持狀態(tài);

      第二種: 如果S和R嚴(yán)格地同時(shí)到達(dá)0狀態(tài),即沒(méi)有中間過(guò)程,根據(jù)式(5)可知,Q和Q′在不斷地翻轉(zhuǎn),由{Q=0,Q′=0}→{Q=1,Q′=1}→{Q=0,Q′=0},無(wú)限循環(huán),顯然,出現(xiàn)此情況的概率微乎其微。

      2)與非門SR鎖存器的輸出特性:

      與非門SR鎖存器原理圖示于圖2

      圖2 與非門SR鎖存器

      根據(jù)新定義,對(duì)每個(gè)或非門列方程,有:

      (6)

      對(duì)式(6)求解,可以得到以下關(guān)系:

      (7)

      根據(jù)結(jié)果,將S、R的值代入式(7)進(jìn)行運(yùn)算可以得到:

      ①S′=1 ,R′=0,時(shí),Q=0 ,Q′=1;

      ②S′=0 ,R′=1,時(shí),Q=1 ,Q′=0;

      ③S′=0 ,R′=0,時(shí),Q=1 ,Q′=1;

      ④S′=1 ,R′=1,時(shí),同樣得到(5),

      這時(shí)如果是由①和②的情況跳變到④的話,那么Q和Q′互非,根據(jù)式(5)可知,Q和Q′保持原來(lái)的狀態(tài);而對(duì)于由③跳變到④,則需要考慮兩種情況:

      第一種:S和R的其中一個(gè)比另一個(gè)先到達(dá)1狀態(tài),即有中間過(guò)程,③→①→④或者③→②→④,那么經(jīng)歷了中間態(tài)之后,Q和Q′互非,保持狀態(tài);

      第二種: 如果S和R嚴(yán)格地同時(shí)到達(dá)1狀態(tài),即沒(méi)有中間過(guò)程,根據(jù)方程組(5)可知,Q和Q′在不斷地翻轉(zhuǎn),由{Q=1,Q′=1}→{Q=0,Q′=0}→{Q=1,Q′=1},無(wú)限循環(huán),顯然,出現(xiàn)此情況的概率微乎其微。

      2.3 在邏輯設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

      根據(jù)圖3真值表設(shè)計(jì)邏輯電路。

      圖3 真值表

      根據(jù)真值表可寫出Y=(1-A0)A1A2+A0(1-A1)A2+A0A1(1-A2)+A0A1A2;

      化簡(jiǎn)后有Y=A0A1+A0A2+A1A2-2A0A1A2;至此就可以清晰看見(jiàn)輸入與輸出之間的數(shù)值關(guān)系了。

      為方便繪制邏輯電路,將結(jié)果轉(zhuǎn)為邏輯語(yǔ)言表述出來(lái),進(jìn)行配項(xiàng)有Y=A0A1+A0A2+A1A2-2A0A1A2=(A0A1+A0A2-A0A1A2)+A1A2-A0A1A2=(A0A1+A0A2-A0A1A2)+A1A2-(A0A1+A0A2-A0A1A2)A1A2;

      即Y=[A0“與”A1]“或”(A0“與”A2)“或”(A1“與”A2),設(shè)計(jì)結(jié)果如圖4所示。

      圖4 邏輯電路

      3 結(jié)語(yǔ)

      根據(jù)上述可以發(fā)現(xiàn),利用新定義,可以將邏輯運(yùn)算完全轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)運(yùn)算,即可將一切邏輯運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,將邏輯分析變得更為直觀易解,特別是當(dāng)變量繁多或者邏輯運(yùn)算過(guò)程含有反饋的時(shí)候,這種優(yōu)勢(shì)更為明顯,如2.2中求解SR鎖存器的輸出特性時(shí),邏輯運(yùn)算中就含有反饋,利用新定義可求解出一條簡(jiǎn)單的表達(dá)式,而布爾代數(shù)的方法就只能通過(guò)逐步推導(dǎo)來(lái)得出結(jié)果。因此對(duì)于邏輯表達(dá)式的化簡(jiǎn),利用新定義就可以直接數(shù)學(xué)化簡(jiǎn)。這將大大簡(jiǎn)化邏輯問(wèn)題的分析,同樣也方便了邏輯設(shè)計(jì)。

      [1] 閻石 主編,數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)(第五版),高等教育出版社。

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