基于覆蓋樹的電路網(wǎng)絡(luò)分析法

李 竹， 黃錦安， 徐行健， 蔡小玲

(南京理工大學 電光院, 江蘇 南京 210094)

0 引言

眾所周知，在一般的電路分析方法中，割集電壓法選擇任意一個樹的樹支電壓ut作為獨立變量，通過解代數(shù)方程求得ut，再由ut求樹支電流it和連支電壓ul，連支電流il[1]；回路電流法是選擇任意一個樹的連支電流il作為獨立變量，當求得il后，再由il求ul、it和ut。然而在上述方法中所選擇的任意樹并不能以其連支電壓ul或樹支電流it為對偶的獨立變量進行分析。那么能否尋求一個樹，依賴于這個樹進行分析時，既可用ut或il作為獨立變量，也可用it或ul為獨立變量進行求解呢？為此，本文引進了覆蓋樹的概念，提出了解決上述問題的分析法，并舉例進行說明。

1 覆蓋樹

設(shè)有圖G的一個樹T，設(shè)B(T)為T的所有單樹支回路的支路構(gòu)成的集合，Q(T)為T的所有單連支割集的支路構(gòu)成的集合，若滿足B(T)∪Q(T)為圖G中的所有支路，則T被稱作圖G的一個覆蓋樹。特別地，若B(T)包含圖G中所有支路，則T被稱作圖G的一個B覆蓋樹；若Q(T)包含圖G中所有支路，則T被稱作圖G的一個Q覆蓋樹。

現(xiàn)舉例說明。在圖1所示圖G中，選取1，2，3為G的一個樹，由樹支1，2，3，形成的單樹支回路(1，4，7)(2，5，6)(3，6，7)包含了G的所有支路，故T=(1，2，3)為圖G的一個B覆蓋樹。在圖2所示圖G中，選取1，2，3，4為G的一個樹，由于連支5，6，7形成的單連支割集(2，5，3)(6，3，4)(7，2，1)的并集包含了G的所有支路，故T=(1，2，3，4)為圖G的一個Q覆蓋樹。

圖1 B覆蓋樹

圖2 Q覆蓋樹

2 基于覆蓋樹的電路分析

在電路分析中，割集電壓法和回路電流法通常是任選圖G的一個樹T來分析，割集電壓法中，當選定以T的樹支電壓為獨立變量時，連支電壓是樹支電壓的線性組合，但是，如果選取連支電壓為獨立變量，樹枝電壓并不一定是連支電壓的線性組合?；芈冯娏鞣ㄖ?，當選定以T的連支電流為獨立變量時，樹支電流是連支電流的線性組合，但是，如果選取樹支電流為獨立變量，連支電流并不一定是樹支電流的線性組合。也即由于樹的任意性不能保證樹支電壓與連支電壓之間，連支電流與樹支電流之間互為線性組合。那么能否尋求一種樹，依賴于這種樹進行分析時能夠保證樹支電壓與連支電壓之間、連支電流與樹支電流之間互為線性組合呢？下述定理給出了答案。

定理：當且僅當圖G的一個樹T是B覆蓋樹時，不僅連支電壓是樹支電壓的線性組合，樹支電壓也是連支電壓的線性組合。當且僅當圖G的一個樹T是Q覆蓋樹時，不僅樹支電流是連支電流的線性組合，連支電流也是樹支電流的線性組合。

證明：必要性：T是G的一個樹，在割集電壓法和回路電流法中，當選T的樹支電壓或連支電流為獨立變量時，連支電壓是樹支電流的線性組合，樹支電流是連支電流的線性組合。當T是圖G的B覆蓋樹時，B(T)為T的所有單樹支回路的支路構(gòu)成的集合，且覆蓋圖G，當以連支電壓為變量時，T的某個樹支電壓可由這個單樹支回路的其它連支電壓線性表示，因而T的各個樹支電壓都可由各個單樹支回路中的連支電壓線性表示；當T是圖G的Q覆蓋樹時，Q(T)為T的所有單連支割集的支路的集合，且覆蓋圖G，當以樹支電流為變量時，T的某個連支電流可由這個單連支割集的其它樹支電流線性表示，因而T的各個連支電流都可由各個單連支割集中的樹支電流線性表示。

充分性：設(shè)圖G的一個樹T不是覆蓋樹，且T不是B覆蓋樹，則在圖G中至少有兩個樹支不能形成單樹支回路，在與這兩個樹支關(guān)聯(lián)的回路中，其中任意一個樹支電壓都不能用這個回路中其它連支電壓來線性組合；設(shè)圖G的一個樹T不是覆蓋樹，且T不是Q覆蓋樹，則在圖G中至少有兩個連支不能形成單連支割集，在與這兩個連支關(guān)聯(lián)的割集中，其中任意一個連支電流都不能用這個割集中其它樹支電流來線性組合；因此，僅當T是B覆蓋樹或Q覆蓋樹時，樹支電壓與連支電壓之間，連支電流與樹支電流之間才能互為線性組合。

由上述定理可知，當在圖G中找出某一個B覆蓋樹或Q覆蓋樹時，不僅可用樹支電壓ut或連支電流il為獨立變量進行求解，而且也可用連支電壓ul或樹支電流it為獨立變量進行求解。顯然，這兩種分析中存在著一定的聯(lián)系。我們把這種方法稱為基于覆蓋樹的電路網(wǎng)絡(luò)分析法，并在下面舉例說明。

3 舉例說明

例1. 圖3為電路所對應(yīng)的圖G。

圖3

在圖G中, 選B覆蓋樹T=(1，2，3)。由單連支回路可得基本回路矩陣Bf(下述矩陣中列序均為先樹支后連支)：

Bf={Bt1l}= 1 2 3 4 5 6

由BfU=[Bt1l][UtUl]T得：

Ul=-BtUt

(1)

由單樹支回路可得回路矩陣

(2)

其中Ut，Ul為樹支電壓列向量和連支電壓列向量，U為支路電壓列向量。由式(1)和(2)可見連支電壓Ul與樹支電壓Ut互為線性組合。

在正向分析中，以連支電流為變量可得如下回路電流方程

BfZBfTIl=BfUs-BfZIs

(3)

式中，Bf為基本回路矩陣，Z為支路阻抗矩陣，Il為連支電流列向量，US為支路電壓源列向量，IS為支路電流源列向量。

按本文所提方法，也可以用連支電壓為變量進行分析。由式(2)可知支路電壓列向量U可表示為

(4)

又QfI=0

(5)

式中，Qf為基本割集矩陣，I為支路電流列向量。支路方程可表示為

I=Y(U+Us)-Is

(6)

式中，Y為支路導(dǎo)納矩陣。由式(4)、(5)和(6)可得以連支電壓為變量的如下電壓方程。

(7)

式(7)即為以連支電壓Ul為變量的方程，可直接解得Ul。

由上述分析可知，只要找到圖G的B覆蓋樹，不僅可用連支電流Il為獨立變量進行分析，也可用連支電壓Ul為獨立變量進行分析。式(3)和(7)可直接作為公式使用。

例2． 圖4為電路所對應(yīng)的圖G。在圖G中, 選Q覆蓋樹T=(1,2,3,4)。由單樹支割集可得基本割集矩陣。

圖4

由QfI=[1tQl][ItIl]T=0,得

It=-QlIl

(8)

由單連支割集可得割集矩陣

(9)

由式(8)和(9)可見樹支電流It與連支電流Il互為線性組合。

在正向分析中，以樹支電壓為變量可得如下割集電壓方程

(10)

我們也可以It為變量進行分析。 由式(9)可知各支路電流與樹支電流It之間的關(guān)系：

(11)

又BfU=0

(12)

且支路方程：

U=Z(I+Is)-Us

(13)

其中Bf為基本回路矩陣，Z為支路阻抗矩陣，US為支路電壓源電壓列向量，IS為支路電流源電流列向量。由式(11)、(12)和(13)可得方程：

(14)

式(14)即為以It為變量的方程，可直接解得It。

由上面分析可知，只要找到圖G的Q復(fù)蓋樹，即可以樹支電壓Ut為獨立變量分析，也可用樹支電流It為獨立變量進行求解。式(10)和(14)可直接作為公式使用。

4 結(jié)語

本文引進了覆蓋樹的概念，使樹支電壓和連支電壓、連支電流和樹支電流能夠互為線性組合。本文提出的基于覆蓋數(shù)的電路網(wǎng)絡(luò)分析法，使得樹支上的電壓和電流、連支上的電流和電壓均可作為獨立變量進行分析求解。這種分析方法將使電路分析變得更加靈活簡便。(李 竹等文)

[1] 邱關(guān)源. 電路(第5版). 北京：高等教育出版社.2003.