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    基于流動理論的板材多步成形模擬方法

    2018-01-19 07:47:15奎,杰,
    大連理工大學(xué)學(xué)報 2018年1期
    關(guān)鍵詞:構(gòu)型度量曲面

    張 向 奎, 劉 偉 杰, 胡 平

    ( 大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室, 遼寧 大連 116024 )

    0 引 言

    經(jīng)濟(jì)發(fā)展和環(huán)境保護(hù)日益增長的需求,使得生產(chǎn)更加輕量化、幾何形狀復(fù)雜和低消耗費用的車用機(jī)械零件變得日益迫切.通過冷熱沖壓工藝得到的大尺寸的金屬零件往往經(jīng)歷了多軸加載、高應(yīng)變率和高溫等復(fù)雜的加載條件.基于有限元的數(shù)值模擬方法可以對設(shè)計的零件提供零件成形性分析、起皺和破裂等缺陷估計,以輔助零件制造和優(yōu)化工藝參數(shù).

    多步成形模擬有限元方法,通過快速構(gòu)造若干的中間構(gòu)型,基于流動理論的本構(gòu)積分模型,以克服采用全量理論的一步法對最終零件的應(yīng)力估計精度不足的問題.其待解決的主要問題有:構(gòu)造滑移約束曲面、生成中間構(gòu)型初始解和中間構(gòu)型的平衡迭代.一步法是由Guo等[1]于1990年提出的采用全量理論并廣泛應(yīng)用于零件初始設(shè)計階段的一種快速有限元模擬方法.大量的數(shù)值驗證表明,該方法可以提供較好的應(yīng)變度量,但是由于僅考慮變形終了狀態(tài)而忽略了變形歷史導(dǎo)致應(yīng)力度量不準(zhǔn)確.多步成形模擬方法的工作最初見于Majlessi等[2-3]的文章,其采用基于最小勢能原理和比例構(gòu)造中間構(gòu)型的方法,用膜單元分析了簡單軸對稱零件的成形.隨后Lee等[4]在已知幾何中間變形狀態(tài)的情況下,應(yīng)用多步模擬方法對方盒和油底殼零件進(jìn)行了分析并優(yōu)化了初始板料形狀.Kim等[5-6]提出根據(jù)接觸節(jié)點構(gòu)造滑移約束曲面和截面線映射構(gòu)造初始解的方法分析了S-Rail零件的成形過程.Guo等[7]提出了通過求解空間曲面面積最小構(gòu)造滑移約束曲面的擬一步法,來提高應(yīng)力的度量精度.Huang等[8]提出了修改的截面線弧長法來獲得中間構(gòu)型的初始解.Li等[9]提出了一種直接標(biāo)量算法以實現(xiàn)快速更新多步模擬法構(gòu)型間的應(yīng)力.Tang等[10]將擬一步法擴(kuò)展到一般三維狀態(tài)下,并提出一種針對中間構(gòu)型間平衡迭代時的空間滑移策略.Halouani等[11]提出了自由曲面糾正的方法構(gòu)造中間構(gòu)型的初始解,并將擬一步法應(yīng)用到軸對稱冷軋成形分析中.

    本文在一步法的基礎(chǔ)上提出多步成形模擬方法來提高對最終零件的應(yīng)力評估精度.

    1 運動幾何關(guān)系

    考慮如圖1所示的3個構(gòu)型:初始平板、中間構(gòu)型和最終零件間的非線性運動幾何關(guān)系.以初始平板構(gòu)型C0為參考構(gòu)型的C1構(gòu)型上的應(yīng)變增量度量幾何關(guān)系與一步逆成形法的參考平板構(gòu)型的非線性幾何關(guān)系是一致的.為引入變形后參考構(gòu)型的彎曲效應(yīng),本文僅推導(dǎo)變形后參考中間構(gòu)型C1的最終零件構(gòu)型C上的應(yīng)變增量度量.

    圖1 運動關(guān)系示意圖

    考慮最終零件構(gòu)型的中性層上的物質(zhì)點p和沿其法向無限接近的點q:

    (1)

    式中:n和n1分別為物質(zhì)點p和p1處的法向,dn1不為0反映了參考中間構(gòu)型C1的彎曲程度.式(1)寫為如下的矩陣形式:

    Fx=(o1+zn,xo2+zn,yn)=T(I+zb)

    (z1n1,xz1n1,y0)

    (2)

    由此可以建立中間構(gòu)型與最終構(gòu)型間的變形梯度張量:

    (3)

    同樣的,左柯西-格林變形張量的逆可以表示為

    (4)

    式中系數(shù)如下:

    a=A0(1+zr)2+2B0sz(1+zr)+C0(sz)2;

    b=A0(1+zr)sz+B0(1+zr)(1+zt)+

    B0(sz)2+C0sz(1+zt);

    c=A0(sz)2+2B0sz(1+zt)+C0(1+zt)2

    (5)

    A0=a0-z1n1,x(2(o1-up,x)+z1(n1,x));

    B0=b0-z1((o2-up,y)n1,x+(o1-up,x)n1,y+

    z1n1,xn1,y);

    C0=c0-z1n1,y(2(o2-up,y)+z1(n1,y))

    (6)

    其中a0、b0和c0與一步逆成形法[1]中的系數(shù)一致.

    從式(6)中可以看出,當(dāng)z1=0,物質(zhì)點位于中性面時,該應(yīng)變增量度量退化為一步逆成形法的幾何關(guān)系;當(dāng)z1≠0,物質(zhì)點位于厚度方向時,參考構(gòu)型是已變形彎曲的中間構(gòu)型C1,由于彎曲效應(yīng)此有限應(yīng)變增量度量不再等同于一步逆成形法的應(yīng)變度量方式.

    2 本構(gòu)方程

    本文采用厚向異性彈塑性耦合各向同性硬化(Power-Law硬化)材料模型,結(jié)合Hill48塑性勢、關(guān)聯(lián)流動法則和隱式返回算法更新應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài).總變形梯度張量F根據(jù)乘法分解為彈性Fe和塑性Fp部分,為滿足客觀性要求,應(yīng)變與應(yīng)力等度量均在共旋系下操作,考慮到金屬成形中的小彈性應(yīng)變假設(shè),應(yīng)變率可近似按加法

    e+Dp分解為彈性部分Jaumann率

    ε.

    e和塑性部分Dp.

    Hill48的二次塑性勢函數(shù)定義為

    (7)

    式中:σ是柯西應(yīng)力張量;P是各向異性矩陣;q是用于計算各向同性硬化的內(nèi)變量,通常取為累積塑性應(yīng)變.

    根據(jù)關(guān)聯(lián)流動法則,塑性應(yīng)變率可表示為

    Dp=λ.Pσ(σPσ)1/2

    (8)

    式中:λ為拉格朗日塑性乘子,并通過一致性條件

    f.

    (σ,q)=0求得

    λ.=?fT?σCε.?fT?σC?f?σ-?f?q

    (9)

    利用上式可求得應(yīng)力率為

    σ.=Cepε.=C-C?f?σ?fT?σC?f?σTC?f?σ-?f?q?è??????÷÷÷÷ε.

    (10)

    采用經(jīng)典彈性預(yù)測塑性返回算法以更新應(yīng)力狀態(tài).(n+1)時刻第i次迭代的更新應(yīng)力可由下式計算:

    (11)

    多步成形模擬方法采用較少的中間構(gòu)型,使得構(gòu)型間的有限應(yīng)變增量取值較大,從而導(dǎo)致應(yīng)力更新的圖形返回算法迭代收斂困難.鑒于在一步法中廣泛采用的彈性厚向異性假設(shè),可以得到泊松比與厚向異性系數(shù)存在的關(guān)系:

    ν=r/(1+r)

    (12)

    3 中間構(gòu)型

    3.1 滑移約束曲面

    鑒于采用最小曲面作為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化模型是極難以進(jìn)行求解的,作者等提出了采用擬最小面積法以獲得可以高效求解的優(yōu)化模型[12].該方法假定滑移約束曲面是在凸模、凹模約束下的所有可能形狀中面積平方最小的曲面,則目標(biāo)函數(shù)修改為

    (13)

    經(jīng)過代數(shù)運算,單元面積的平方可表示為

    (14)

    其中ξe是單元的基本變量向量,He和Ce類似于單元的剛度矩陣和內(nèi)力向量.

    同樣的,按組裝單元剛度矩陣和內(nèi)力向量的方式整合該面積坐標(biāo)矩陣和向量,則目標(biāo)函數(shù)式(13)變?yōu)?/p>

    (15)

    其中ξ、H和C分別對應(yīng)于結(jié)構(gòu)的基本變量向量、面積矩陣和面積向量.原問題即轉(zhuǎn)化為一個可在多項式時間內(nèi)求解的二次規(guī)劃問題.本文采用Matlab/quadprog( )進(jìn)行求解.

    此時,人為假定容許誤差E,則任何滿足條件

    ξ

    (16)

    的節(jié)點處于與凹模或凸模接觸的狀態(tài).據(jù)此,可遍歷節(jié)點篩選得到與工具網(wǎng)格接觸的節(jié)點,基于這些接觸節(jié)點采用直接連接接觸邊界或Delaunay三角網(wǎng)格的方法重新構(gòu)造滑移曲面的側(cè)壁部分,以改善擬最小面積法構(gòu)造的側(cè)壁,本文稱為強(qiáng)化的PMA方法(EPMA方法).

    3.2 構(gòu)造初始解

    由上一節(jié)構(gòu)造的中間構(gòu)型的滑移約束曲面僅為幾何曲面,本節(jié)則采用直接映射物質(zhì)點到滑移曲面上的方法生成初始的中間構(gòu)型,即中間構(gòu)型的初始解.其基本思想為構(gòu)造的中間構(gòu)型是成形過程中的臨時狀態(tài),則其對應(yīng)的初始坯料與最終已知零件的初始坯料是一致的.由此可以求得中間構(gòu)型的初始解,其主要步驟為

    (2)同樣求解最終構(gòu)型C得到初始平板構(gòu)型C0;

    圖2 物質(zhì)點映射示意圖

    (4)利用物質(zhì)點的唯一標(biāo)識,在滑移曲面構(gòu)型Ci上的單元編號ep內(nèi),依據(jù)面積坐標(biāo)P(Ai,Aj,Ak)創(chuàng)建點P變形后對應(yīng)物質(zhì)點P′;

    (5)循環(huán)投影所有物質(zhì)點,則得到了位于滑移約束曲面上的中間構(gòu)型的初始解.

    該過程可進(jìn)行多次直至前后兩次初始解趨于一致,以避免過大的工藝補(bǔ)充面阻礙材料流動而影響一步法求解的坯料精度.

    3.3 中間構(gòu)型的平衡迭代

    通過以上擬最小面積法和初始解構(gòu)造方法,可快速生成若干真實的中間構(gòu)型,然而注意到初始解構(gòu)造過程中采用的一步法是基于全量理論的,因此要進(jìn)行采用流動理論更新應(yīng)力方法的中間構(gòu)型間的平衡迭代.

    考慮一階線性三角形單元,其單元剛度矩陣和內(nèi)力向量為

    (17)

    式中:he和Ae為單元的厚度與面積,B為局部系下的單元應(yīng)變操作矩陣.

    由于平衡迭代過程中,中間構(gòu)型上的物質(zhì)點被約束在滑移曲面上移動,通過罰函數(shù)的方法施加單元剛度矩陣約束:

    Ke=BTCepBheAe+γNTN

    (18)

    式中:γ為經(jīng)試錯法確定的罰函數(shù)系數(shù),N是單元的節(jié)點法向矩陣.

    利用從全局系到局部系的單元坐標(biāo)變換矩陣Q,得到全局系下的單元剛度矩陣和內(nèi)力向量:

    (19)

    經(jīng)組裝可得到結(jié)構(gòu)的殘余力向量:

    R(U(i))=Fext-Fint(U(i))=KΔU≠0

    (20)

    采用Newton-Raphson迭代求解:

    U(i+1)=Ui+ΔU

    (21)

    4 數(shù)值模擬

    某汽車彈簧盒支座的幾何形狀如圖3所示,材料參數(shù)如下:彈性模量207 GPa,泊松比0.28,屈服應(yīng)力154.31 MPa,冪指數(shù)硬化模量520.4 MPa,硬化參數(shù)0.232,平均各向異性系數(shù)1.653.成形工藝參數(shù):壓邊力15 kN,摩擦因數(shù)0.15.

    圖3 彈簧盒支座零件的CAD模型

    圖4給出了擬最小面積法求解的中間構(gòu)型在凸模行程15 mm和25 mm時的比例系數(shù)ξ的分布.其中灰色區(qū)域表示滿足篩選條件式(16)(ξ<0.01或1-ξ<0.01),處于與凸凹模接觸狀態(tài)的單元.

    為評估本文提出的中間構(gòu)型構(gòu)造方法的有效性,圖5展示了由Ls-dyna增量法(INC)和多步成形模擬方法計算的各中間構(gòu)型上截面線AB(見圖6)的Z向坐標(biāo)值比較.

    可以看出針對15 mm構(gòu)型時,PMA方法構(gòu)造的中間構(gòu)型在坐標(biāo)范圍-55~-40 mm(20~60 mm)內(nèi)低于、在坐標(biāo)范圍-75~-55 mm(60~80 mm)處高于INC的中間構(gòu)型.觀察此中間構(gòu)型的比例系數(shù)分布圖4(a)發(fā)現(xiàn),只有曲面A和D上的節(jié)點處于接觸狀態(tài)(灰色區(qū)域).結(jié)合接觸節(jié)點集合和Delaunay三角網(wǎng)格法,重新構(gòu)造的零件的側(cè)壁與INC方法得到的中間構(gòu)型相吻合,如圖5中的EPMA曲線.

    對于25 mm的中間構(gòu)型,PMA方法的截面線僅在坐標(biāo)范圍-55~-40 mm(20~60 mm)內(nèi)低于INC的,觀察其構(gòu)型的比例系數(shù)分布可以發(fā)現(xiàn),曲面A、C和D均處于接觸區(qū)域,而其他曲面處于非接觸區(qū)域,通過EPMA方法重新生成的側(cè)壁與INC的結(jié)果保持一致.

    圖4 中間構(gòu)型比例系數(shù)ξ的分布

    圖5 中間構(gòu)型上截面線AB的形狀

    (a) 15 mm

    (b) 25 mm

    圖6 中間構(gòu)型的等效應(yīng)力分布

    Fig.6 Distributions of equivalent stress for middle configurations

    針對凸模行程35 mm時的中間構(gòu)型,PMA、INC和EPMA 3種方法的中間構(gòu)型趨于一致,這是由于35 mm時,曲面A、B、C和D全部處于接觸狀態(tài),構(gòu)造的中間構(gòu)型的曲面之間連接的側(cè)壁部分趨同于凹模的側(cè)壁形狀,此時,該3種方法得到的中間構(gòu)型是沒有差別的.

    由此可見,EPMA方法可有效改善PMA方法構(gòu)造的中間構(gòu)型的側(cè)壁.圖6給出了兩個中間構(gòu)型的等效應(yīng)力分布.

    為表明該多步成形模擬方法在考慮了若干中間構(gòu)型對最終零件應(yīng)力估計精度的改善,圖7展示了由增量法、8個中間構(gòu)型的多步法(MSTP08)和一步法(OSTP)計算的截面線CD(見圖6)的X和Y方向上的應(yīng)力分量分布圖.

    從圖7中可以看出,整體趨勢上多步法估計的應(yīng)力分量分布曲線與增量法計算的應(yīng)力分布保持同步的變化,而一步法不能提供經(jīng)歷復(fù)雜變形歷史位置點的有效應(yīng)力估計.在截面線X坐標(biāo)約25 mm處,增量法估計的X應(yīng)力分量存在明顯的局部峰值(約250 MPa)和谷值(約-100 MPa),Y應(yīng)力分量有最小值(約-350 MPa);而一步法估計該處的應(yīng)力分量分布均變化較平緩,分別對應(yīng)X應(yīng)力分量的約-15 MPa和10 MPa及Y應(yīng)力分量的-100 MPa;多步法預(yù)示了相應(yīng)處的X應(yīng)力分量局部峰值(約125 MPa)和谷值(約-75 MPa),及Y應(yīng)力分量的最小值約-200 MPa.類似的對應(yīng)力分量的改善在X坐標(biāo)值約50 mm和200 mm等處觀察到.

    可以發(fā)現(xiàn),采用多步法顯著地改善了最終零件上的拉壓應(yīng)力狀態(tài)的估計精度,如修正了X坐標(biāo)25 mm處的X應(yīng)力分量的局部峰值分布,提高了Y應(yīng)力分量的應(yīng)力精度.

    (a) X應(yīng)力分量

    (b)Y應(yīng)力分量

    圖7 最終構(gòu)型截面線CD上的應(yīng)力分量

    Fig.7 Stress components of section lineCDon final configuration

    5 結(jié) 論

    (1)以擬最小面積法建立的二次規(guī)劃模型來高效生成滑移約束曲面,并根據(jù)設(shè)定閾值篩選接觸節(jié)點和Delaunay三角網(wǎng)格法以改善滑移約束曲面的側(cè)壁使之符合真實變形情況.借助直接映射物質(zhì)點的方法生成初始解構(gòu)型,并采用施加罰函數(shù)約束的方式使構(gòu)造的中間構(gòu)型達(dá)到平衡狀態(tài).

    (2)重新推導(dǎo)了基于中間構(gòu)型的有限應(yīng)變增量度量,以考慮已發(fā)生變形的參考構(gòu)型本身的彎曲效應(yīng)對中性層外物質(zhì)點的影響.

    (3)通過對盒支座零件的分析驗證了強(qiáng)化的擬最小面積法生成的中間構(gòu)型質(zhì)量,表明了考慮8個中間構(gòu)型的多步法預(yù)測的應(yīng)力分布的精度,修正了一步法預(yù)估的最終零件上的錯誤的拉壓應(yīng)力和局部極值應(yīng)力分量分布,并得到了與增量法的應(yīng)力估計趨勢相一致的結(jié)果.

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    LIU Weijie, HU Ping, ZHOU Ping,etal. Research on intermediate configurations of multi-step inverse approach in sheet metal forming [J].JournalofMechanicalEngineering, 2012,48(4):21-25. (in Chinese)

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