廣義內(nèi)射環(huán)的擴(kuò)張

向躍明

1 引言

在文獻(xiàn)[1]中，Page和周引入了環(huán)與模的AP-內(nèi)射性和AGP-內(nèi)射性的概念.環(huán)R稱(chēng)為左AP-內(nèi)射環(huán)，如果對(duì)任意 0≠a∈R，aR 是 rRlR（a）的直和項(xiàng)；環(huán)R是左AGP-內(nèi)射環(huán)，如果對(duì)任意0≠a∈R，存在n＞0使得an≠0且anR是rRlR（an）的直和項(xiàng).在左AP-內(nèi)射環(huán)與左AGP-內(nèi)射環(huán)兩類(lèi)環(huán)上得到了許多左P-內(nèi)射環(huán)的結(jié)果.之后，周在文獻(xiàn)[2]中繼續(xù)研究了帶各種鏈條件的左AP-內(nèi)射環(huán)與左AGP-內(nèi)射環(huán).本文研究AP-內(nèi)射環(huán)和AGP內(nèi)射環(huán)的各種擴(kuò)張.證明了矩陣環(huán)Mn（R）是左AGP-內(nèi)射環(huán)，則R是左AP-內(nèi)射.因此，作為一個(gè)左AGP-內(nèi)射環(huán)不是Morita不變量.此外，我們還證明了如果R的平凡擴(kuò)張是左AGP-內(nèi)射，則R是左AP-內(nèi)射.最后考慮了R[D；C]的左AP-內(nèi)射性.

本文中R表示有單位元的結(jié)合環(huán)，所有模都是酉模，J=J（R）是R的Jacbson根.如果X是R的一個(gè)子集，X在R中的右零化子（左零化子）記作rR（X）（lR（X））.對(duì)于通常的符號(hào)參考文獻(xiàn)[3]和[4].

2 主要結(jié)論

我們首先有如下引理.

引理2.1 如果R是左AGP-內(nèi)射環(huán)，則eRe也是左AGP-內(nèi)射環(huán)，其中e2＝e∈R使得ReR=R.

證明：令 S=eRe，0≠a∈S.則存在 n≥1 使得 an≠0且rRlR（an）=anR⊕Xan這里Xan是R的右理想.由1-e∈lR（an）可知對(duì)任意 t∈Xan有（1-e）t=0，這推出.于是eanRe∩eXane=0.顯然eanRe?rSlS（an），由eanR=anR，

現(xiàn)在我們證明另外一個(gè)包含關(guān)系.不妨設(shè)x∈rSlS（an），記 1＝aiebi，其中 ai，bi∈R.于是對(duì)任意 y∈lR（an）和任意 i，有 ebiyean=ebiyan=0.這推出對(duì)任意 i，有ebiyex=0.

rSlS（an）=eanRe⊕eXane=anS⊕Xane，這里Xane是S的右理想.故S是左AGP-內(nèi)射環(huán).

注2.2 引理2.1中的條件ReR=R是必需的.例如，設(shè)R是域F上的矩陣代數(shù)，有如下形式

由文獻(xiàn) [5]的例子9，R是QF-環(huán)，于是R是左AGP-內(nèi)射環(huán).

設(shè)e=E11+E22+E44+E55矩陣單位的和.則e是R的冪等元且有ReR≠R和）.我們證明S不是左 AGP-內(nèi)射環(huán).事實(shí)上）.于是選因此不存在S的右理想XS使得rSlS（琢）=琢S⊕XS.

推論2.3 如果R是左AP-內(nèi)射環(huán)，則對(duì)任意滿足條件ReR=R的冪等元e，eRe也是左AP-內(nèi)射環(huán).

我們現(xiàn)在探討矩陣環(huán)Mn（R）是左AGP-內(nèi)射環(huán)的充分和必要條件.記矩陣單位為 Eij，1≤i，j≤n.

引理2.4設(shè)S=Mn（R），a∈R.則下述等價(jià)：

（1）rSlS（aE1n）=（aE1n）S⊕XS，這里XS是S的右理想；

（2）rRlR（a）=aR⊕XR，這里XR是R的右理想.

證明：（1）?（2）對(duì)任意 b∈rRlR（a），lR（a）?lR（b）.如果（cij）∈lS（aE1n），則ci1a=0，i=1，…，n，于是ci1∈lR（a）?lR（b），推出ci1b=0，i=1，…，n，這證明了（cij）（bE1n）=0.因此lS（aE1n）?lS（bE1n），進(jìn)而bE1n∈rSlS（aE1n）=（aE1n）S⊕XS.記bE1n=（aE1n）（cij）+（dij），其中（cij）∈S，（dij）∈XS，則b=acnn+d1n∈aR+XR，這里XR={d|dE1n∈XS}.假設(shè) c∈aR∩XR，則 c=ar，r∈R.于是 cE1n=（aE1n）（rEnn）∈（aE1n）S∩XS=0，這推出 c=0.故 rRlR（a）?aR⊕XR.現(xiàn)在需要證明XR?rRlR（a）.對(duì)任意x∈XR，有xE1n∈XS?rSlS（aE1n）.對(duì)任意y∈lR（a），有（yE11）（aE1n）＝0，于是yE11∈lS（aE1n）.因此（yE11）（xE1n）＝0.這推出yx=0，即有x∈rRlR（a）.所以aR⊕XR?rRlR（a）.

（2）?（1）如果B=（bij）∈rSlS（aE1n），則lS（aE1n）?lS（B）.對(duì)任意j≠1，Eij（aE1n）=0，因此EijB=0，這證明了=0 對(duì) k=1，2，…，n，bjk因此如果 b∈lR（a），則bE11∈lS（aE1n）?lS（B），因此b∈lR（b1j），j=1，…，n.故lR（a）?lR（b1j），這推出b1j∈rRlR（a）=aR⊕XR.不妨記 b1j=ac1j+e1j，其中 c1j∈R，e1j∈XR.

定理 2.5 如果Mn（R）（n≥2）是左 AGP-內(nèi)射環(huán)，則R是左AP-內(nèi)射環(huán).

證明：對(duì)任意0≠a2∈R，設(shè)U=aE1n.由Mn（R）左AGP-內(nèi)射環(huán)，故存在m＞0，使得Um≠0且rSlS（Um）=（Um）S⊕XS，這里 XS是 S 的右理想.然而 U2=0，故 rSlS（U）=US⊕XS.根據(jù)引理2.4，存在R的子集XR使得rRlR（a）=aR⊕XS.因此R是左AP-內(nèi)射環(huán).

推論2.6 設(shè)R是環(huán).則下述等價(jià)：

（1）Mn（R）是左AGP-內(nèi)射環(huán)（n≥1）；

（2）Mn（R）是左AP-內(nèi)射環(huán)（n≥1）；

（3）HomR（Rn，R）是 HomR（I，R）的直和項(xiàng)，這里 I是Rn的任意n-生成子模.

證明：（2）?（1）是顯然的.

（1）?（2）由假設(shè)，對(duì)n≥1，M2（Mn（R））?M2n（R）是左AGP-內(nèi)射環(huán).由定理2.5，Mn（R）是左AP-內(nèi)射環(huán).

（2）?（3）由[1]中推論 3.9可得.

注2.7 設(shè)K是域，L是K的子域且ρ：K→L是一個(gè)同構(gòu).例如，令K=F（y1，y2，….），這里F是域，ρ（yi）=yi+1，ρ（c）=c，c∈F.設(shè) K[x1，x2；ρ]是 K 上的擾多項(xiàng)式環(huán)，其中對(duì)任意 k∈K 和 i=1，2 有 kxi=xiρ（k）.記 R=K[x1，x2；ρ]/（x21，x2

2）.根據(jù)文獻(xiàn)[6]中例子 1 和命題 2，R 是左AGP-內(nèi)射環(huán)但不是左AP-內(nèi)射環(huán)，于是由定理2.5，Mn（R）不是左AGP-內(nèi)射環(huán)n＞1.因此環(huán)的左AGP-內(nèi)射性不是Morita不變量.

設(shè)R是環(huán)，M是R上的雙模.R在M上的平凡擴(kuò)張R∝M={（a，x）|a∈R，x∈M}，加法定義為分量分別相加，乘法定義為（a，x）（b，y）=（ab，ay+bx）.為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們記I∝X={（a，x）|a∈I，x∈X}，這里I是R的子集，X是M的子集.

下列結(jié)論是文獻(xiàn)[7]中命題3.1的對(duì)偶情況.

引理2.8 設(shè)R是環(huán)，對(duì)任意a∈R，Xa是R的右理想，T=R∝R.則下述等價(jià)：

（1）rRlR（a）=aR⊕Xa；

（2）rTlT（0，a）=（0，a）T⊕X（0，a），其中X（0，a）=0⊕Xa是T的右理想；

（3）rTlT（a，0）=（a，0）T⊕X（a，0），其中X（a，0）=Xa⊕0是T的右理想；

（4）rTlT（a，a）=（a，a）T⊕X（a，a），其中X（a，a）=Xa⊕Xa是T的右理想.

命題2.9 設(shè)R是環(huán).如果R∝R是左AGP-內(nèi)射環(huán)，則R是左AP-內(nèi)射環(huán).

證明：令 T=R∝R.對(duì)任意 0≠a∈R，（0，a）2=0.由假設(shè)，存在T的右理想X（0，a）使得rSlS（0，a）=（0，a）S⊕X（0，a）.對(duì)任意（b，c）∈rSlS（0，a），有l(wèi)S（0，a）?lS（b，c）.因?yàn)椋?，1）∈lS（0，a），0=（0，1）（b，c）=（0，b），這證明b=0.如果（m，n）∈（0，a）S，則 m=0.因此 X（0，a）=0⊕Xa，其中Xa是R的右理想.由引理2.8，我們有rRlR（a）=aR⊕Xa，這證明了R是左AP-內(nèi)射環(huán).

注2.10 值得注意的是：R是左AGP-內(nèi)射環(huán)不一定能推出T=R∝R是左AGP-內(nèi)射環(huán).例如，令R是注2.7中的環(huán).假設(shè)T=R∝R是AGP-內(nèi)射環(huán)，則根據(jù)命題2.9，R是AP-內(nèi)射環(huán)，矛盾.

設(shè)D是環(huán)，C是D的子環(huán)，1c∈D.我們記

R[D，C]={（d1，…dn，c，c…）|di∈D，c∈C，n≥1}其中的加法（乘法）定義為相應(yīng)的分量分別相加（相乘）.自從 Nicholson 在文獻(xiàn)[8]中利用 R[D，C]構(gòu)造半正則環(huán)不是正則環(huán)的例子，越來(lái)越多的代數(shù)學(xué)者使用這種結(jié)構(gòu)構(gòu)造各種反例（見(jiàn)[9]，[10]）.

下列引理由零化子的性質(zhì)顯而易見(jiàn).

引理2.11 設(shè)D是環(huán)，C是D的子環(huán).則對(duì)任意rDlD（a）?rDlC（a）且 rClD（a）?rClC（a）.

定理2.12 設(shè)D是環(huán)，C是D的子環(huán)，1c∈D.則下述等價(jià)：

（1）R[D，C]是左 AP-內(nèi)射環(huán)；

（2）D 是左 AP-內(nèi)射環(huán)且對(duì)任意 a∈C，C∩（aD⊕X）a?aC⊕X′a，其中Xa?rDl（Da），X′a?rCl（Da）.

證明：（1）?（2）記 S=R[D，C].我們首先證明 D 是左 AP-內(nèi)射環(huán).對(duì)任意 d∈D，令 d=（d，0，0，…）∈S.由S是左AP-內(nèi)射環(huán)，rSlS（d）=dS⊕Xdˉ，其中Xdˉ?rSlS（d）是S的右理想.對(duì)任意a∈rDlD（d），記a=（a，0，0，…）∈S.設(shè) y=（y1，…，ym，y，y，…）∈lS（d），則有 yd=0，于是y1d=0，進(jìn)而y1a=0，這推出ya=0.因此a∈rSlS（d）=dS⊕Xdˉ，進(jìn)而a∈dD⊕Xd，這里Xd={x∈D|（x，0，0，…）∈Xdˉ}.故 rDlD（d）?dD⊕Xd. 反之對(duì)任意 γ∈Xd，γ=（γ，0，0，…）∈Xd?rSlS（d）.任取b∈lD（d），b=（b，0，0，…）∈S，有bd=0，因此bγ=0，這推出bγ=0，即b∈rDlD（d），故有Xd?rDlD（d），所以 dD+Xd?rDlD（d）.現(xiàn)令 m∈dD∩Xd，則有 m=dd′，d′∈D 且 m=（m，0，0，…）∈Xdˉ.故有 m∈dS∩Xdˉ=0，這推出 m=0.我們證明了 rDlD（d）=dD⊕Xd.因此D是左AP-內(nèi)射環(huán).

現(xiàn)設(shè) x∈C∩（aD⊕X）a，其中 a∈C，Xa?rDl（Da），則 x=ad+k，k∈Xa.令 x=（x，x，…），a=（a，a，…）∈S.對(duì)任意y=（y1，…，ym，y，y，…）∈l（Sa），我們有yi∈lD（a）（i=1，…，m），y∈l（Ca）.由引理2.11，yix=y（iad+k）=yiad+yik=0，yx=yad+yk=0.這推出 yx=0.因?yàn)?S 是左 AP-內(nèi)射環(huán)，x∈rSl（Sa）=aS⊕Xaˉ，進(jìn)而x=ac+l，c∈C，l∈X′a，其中X′a={l∈C（|l，l，…）.如果n∈aC∩X′a，則 n=ac，c∈C.令 n=（n，n，…）∈S，因此 n∈aC∩Xaˉ=0，推出n=0.所以有 C∩（aD⊕X）a?aC⊕X′a.對(duì)任意 h∈X′a，h=（h，h，…）∈Xaˉ?rSl（Sa）.如果g∈l（Da），則g=（g，g，…）∈l（Sa），因此gh=0，進(jìn)而gh=0.于是h∈rClD（a），這推出?rCl（Da）.

（2）?（1）任取 a=（a1，…，am，a，a，…）∈S，設(shè) b=（b1，…，bn，b，b，…）∈rSl（Sa）.我們不妨令n≥m.對(duì)任意xi∈l（Da）i，i=1，…，m，記xi=（0，…，0，xi，0，…，0），這里xi是第 i個(gè)分量. 則 xi∈lS（a），進(jìn)而 xib=0，這推出xib=0，i=1，…，m.因?yàn)镈是左AP-內(nèi)射環(huán)，bi∈rDl（Da）i=aiD⊕Xai，i=1，…，m，其中Xai?rDl（Da）i是D的右理想.類(lèi)似地，我們有 bj∈rDl（Da）=aD⊕Xa，j=m+1，…，n，其中Xa?rDl（Da）是D的右理想.b∈rDl（Da）=aD⊕Xa.因此b∈C∩（aD⊕X）a?aC⊕X′a.由假設(shè)，X′a?rCl（Da），這推出 b∈aS+Xaˉ，其中

對(duì)任意 x=（x1，…，xn，x，x，…）∈Xaˉ和 z=（z1，…，zk，z，z，…）∈l（Sa）（k≥n），我們有ziai=0（i=1，…，m）；zja=0（j=m+1，…，k）；za=0.因此 zixi=0（i=1，…，m）；zjxj=0（j=m+1，…，n）；zj′x=0（j′=n+1，…，k）；zx=0，這證明了 zx=0，進(jìn)而x∈rSl（Sa），于是有Xaˉ?rSl（Sa）.如果x=（x1，…，xn，x，x，…）∈aS∩Xaˉ，則 xi∈aiD∩Xai=0（i=1，…，m）；xj∈aD∩Xa=0（j=m+1，…，n）且 x∈aC∩X′a=0，故rSl（Sa）=aS⊕

所以S左AP-內(nèi)射環(huán).

引理2.13 設(shè)D是環(huán)，C是D的子環(huán)，1c∈D.如果 C 是左 AP-內(nèi)射環(huán)，則對(duì)任意 a∈C，C∩（aD⊕I）?aC⊕I′，其中I?rDl（Da），I′?rCl（Ca）.

證明：若 x∈C∩（aD⊕I）.則 x=ad+γ，這里 d∈D，γ∈I?rDl（Da）.任取y∈l（Ca），由引理2.11γ∈rDl（Da）?rDl（Ca）.故yx=y（ad+γ）=yad+y＝0.我們得l（Ca）?l（Cx）.又由C是左AP-內(nèi)射環(huán)，故x∈rCl（Ca）＝aC⊕I′，其中I′?rCl（Ca）.所以C∩（aD⊕I）?aC⊕I′.

根據(jù)定理2.12和引理2.13我們有：

推論2.14 設(shè)D是環(huán)，C是D的子環(huán)，1c∈D.如果C和D都是左AP-內(nèi)射環(huán)，且對(duì)任意a∈C，rCl（Ca）?rCl（Da），則R[D；C]是左AP-內(nèi)射環(huán).

注2.15 推論2.14的逆命題不成立.例如，設(shè)T=R[D；C]，其中 D=Z∝，C＝Z∝0.可知 C?Z 不是 AP-內(nèi)射環(huán).由文獻(xiàn)[10]中例子28的討論，T是FP-內(nèi)射環(huán)，因此T是AP-內(nèi)射環(huán).

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