薛一鳴 趙宇先 謝 斌 陳奎孚
(中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué) 1信息與電氣工程學(xué)院, 2工學(xué)院, 3理學(xué)院,北京 100083)
電阻計(jì)算是電路分析的基本任務(wù)。簡(jiǎn)單電路可以使用串聯(lián)或并聯(lián)來(lái)分析。不能用串并聯(lián)分析的電路也很常見(jiàn),比如不平衡電橋,此時(shí)常用Y-Δ變換進(jìn)行分析。本文將給出復(fù)雜電路分析的一個(gè)遞推關(guān)系?;诖岁P(guān)系,任何復(fù)雜的電路都可以逐步刪除選定電阻,使得電路簡(jiǎn)化成簡(jiǎn)單電路。新遞推關(guān)系每操作一次,電阻就會(huì)少一個(gè), 而現(xiàn)有的Y-Δ變換,電阻數(shù)目在變換前后不會(huì)減少。此外,所給的遞推關(guān)系簡(jiǎn)潔,容易記憶。
圖1為電阻網(wǎng)絡(luò)示意圖,R是其中任一電阻。本文第2節(jié)將證明從網(wǎng)絡(luò)端口看到的整個(gè)網(wǎng)絡(luò)RN可按下式計(jì)算:
(1)
圖1 電阻網(wǎng)絡(luò)示意圖
其中:R短是把R短路后的網(wǎng)絡(luò)電阻;R正是把R斷路后,從網(wǎng)絡(luò)端口觀察到的電阻;R反是把R斷路后,從兩個(gè)斷線端口觀察到的電阻。
圖2(a)所示的電橋是經(jīng)常使用的電路,5個(gè)電阻之間關(guān)系并非簡(jiǎn)單的串并聯(lián)。通常的做法是用Δ-Y變換。下面采用式(1)分析。
選擇R5作為式(1)的R。
R5斷路后(圖2(b)),從網(wǎng)絡(luò)端口看:R1與R2串聯(lián),R4與R3串聯(lián);兩組串聯(lián)后再并聯(lián),因此
R正=(R1+R2)//(R3+R4)
(2)
式中,“+”表示串聯(lián);“//”表示并聯(lián)(“//” 比“+”優(yōu)先,下同)。
從R5端口看(網(wǎng)絡(luò)的端口開(kāi)路):R1與R3串聯(lián),R4與R2串聯(lián);兩組串聯(lián)后再并聯(lián),因此
R反=(R1+R3)//(R2+R4)
(3)
R5短路后(圖2(c)),R1與R3并聯(lián),R4與R2并聯(lián);兩組并聯(lián)后再串聯(lián),因此
R短=R1//R3+R2//R4
(4)
給定具體數(shù)值,可以計(jì)算出式(2)、式(3)和式(4)的3個(gè)數(shù)值,再代入式(1)即可得到最終的RN。代數(shù)上,把式(2)、式(3)和式(4)的表達(dá)式代入式(1),整理可得如下的電橋電阻隨各電阻變化的函數(shù)式
(5)
此式與文獻(xiàn)[1]中式(5)的最終結(jié)果相同。
圖3所示為門形電阻網(wǎng)絡(luò),分析該電路的等效電阻RAB。
(6)
(7)
圖 2
圖4(c)的反向電路與正向電路結(jié)構(gòu)對(duì)稱,則
(8)
將式(6)、式(7)和式(8)代入式(1)后整理可得RAB的代數(shù)式,但過(guò)于冗長(zhǎng),不再給出。作為驗(yàn)
圖3 門形電阻網(wǎng)絡(luò)
圖 4
證,取R1=30Ω,R2=60Ω,R3=20Ω,R4=40Ω,R5=70Ω,R6=65Ω,R7=80Ω,R8=80Ω,R9=90Ω,R9=10Ω,可得RN=100/3Ω,與文獻(xiàn)[2]利用平衡電橋特殊性所得結(jié)果相同。
文獻(xiàn)[3]討論了圖5所示的田字形電阻網(wǎng)絡(luò),圖中各邊電阻分別為R12,R23,R34,……(右角標(biāo)為相鄰兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的標(biāo)號(hào))。
作為新遞推式的示例,本文只分析2和5兩個(gè)端口的等效電阻。2和5兩個(gè)端口之間有R25電阻,去掉該電阻后的新網(wǎng)絡(luò)在2和5兩個(gè)端口間當(dāng)然也有一個(gè)等效電阻R′。顯然R25與R′之間是并聯(lián)關(guān)系。因此最為關(guān)鍵的是求圖6(a)所示的2和5兩個(gè)端口之間的電阻R′。
將R58短路(圖6(b))和斷路(圖6(c))。
圖6(b)的電阻(從2和5端口看)
(9)
圖6(c)的正向電阻(從2和5端口看)
(10)
圖6(c)的反向電阻(從5和8端口看)
(11)
(12)
最后RN=R25//R′
(13)
本節(jié)的電橋例子使用了一次遞推,門形網(wǎng)絡(luò)和田字形電阻的兩個(gè)例子本來(lái)需要兩次遞推,但是它們都使用了電橋計(jì)算式,因而只遞推了一次。因?yàn)槊窟f推一次,電阻就減少一個(gè),故只要網(wǎng)絡(luò)電阻數(shù)目有限,就最終能把任意復(fù)雜的電路遞推到不含“非串非并”的情形。
不管電阻網(wǎng)絡(luò)有多么復(fù)雜,它都是由一個(gè)個(gè)分立的電阻用導(dǎo)線連接而成。網(wǎng)絡(luò)對(duì)外有兩個(gè)端線,如圖1所示。兩條端線上電流數(shù)值相等(滿足電流守恒),即如圖中I。兩個(gè)線端的電位差為U。電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻可由下式計(jì)算
RN=U/I
(14)
為了凸顯R的作用,把圖1改成圖7(a)的形式。圖中,IR為通過(guò)R的電流,而UR為R兩端的電壓。
圖 7
將R斷路,與R相連的兩條斷線組成一個(gè)端口,該端口與網(wǎng)絡(luò)端口之間的電路構(gòu)成二端口網(wǎng)絡(luò),如圖7(b)所示。因?yàn)殡娐分兄挥蟹蠚W姆定律的電阻,所以此二端口為無(wú)源線性網(wǎng)絡(luò)。
對(duì)圖7(b)的二端網(wǎng)絡(luò)有如下傳遞關(guān)系
(15)
其中T11,T12,T21,T22為網(wǎng)絡(luò)傳遞系數(shù),它們均與R無(wú)關(guān)。
圖5 田字形電阻網(wǎng)絡(luò)
圖 6
如果將圖7(a)的R斷路(圖7(b)),則等價(jià)于式(15)中I′=0。記網(wǎng)絡(luò)端口的電流和電壓分別為I斷和U斷,則式(15)第一式為
0=T11I斷+T12U斷
顯然U斷/I斷即為從網(wǎng)絡(luò)端口觀察到R斷路下的網(wǎng)絡(luò)電阻,即R正。因此
R正=U斷/I斷=-T11/T12
(16)
(17)
如果圖7(a)的R短路(圖7(c)),則等價(jià)于式(15)中U′=0。記網(wǎng)絡(luò)端口的電流和電壓分別為I短和U短,則式(15)第二式為
0=T21I短+T22U短
顯然U短/I短即為從網(wǎng)絡(luò)端口觀察到R短路下的網(wǎng)絡(luò)電阻,即R短。因此
R短=U短/I短=-T21/T22
(18)
以上討論了3種特殊情形。對(duì)R取任意值的情形圖7(a)有
(19)
對(duì)其求逆得到
(20)
因而網(wǎng)絡(luò)電阻RN
(21)
把歐姆定律UR=IRR關(guān)系代入上式有
(22)
進(jìn)一步整理有
(23)
將式(16),(17)和(18)代入上式,即得到式(1)。
因?yàn)樵谕茖?dǎo)式(1)過(guò)程中對(duì)圖7中的二端口網(wǎng)絡(luò)沒(méi)有限制,所示式(1)適用于任何線性電路。不管電路是否對(duì)稱,是否具有互易性,式(1)都是正確的。
對(duì)交流情形,只要把上述的所有電阻換成阻抗,式(1)也適用于網(wǎng)絡(luò)阻抗的計(jì)算。
本文利用二端口網(wǎng)絡(luò)的傳遞關(guān)系,導(dǎo)出一遞推關(guān)系,該遞推關(guān)系使用3個(gè)縮減網(wǎng)絡(luò)的電阻,即讓選定電阻短路的網(wǎng)絡(luò)電阻,從選定電阻兩端觀察到的電阻,以及選定電阻斷路的網(wǎng)絡(luò)電阻。
每使用一次遞推關(guān)系,縮減網(wǎng)絡(luò)的電阻數(shù)就少一個(gè)。然而,傳統(tǒng)的Y-Δ變換不會(huì)減少電阻個(gè)數(shù)。反復(fù)使用上述遞推關(guān)系,最終可把復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)一步一步地分解為能用串并聯(lián)分析的簡(jiǎn)單網(wǎng)絡(luò)。
不管是Y-Δ變換,還是基于本文所給出的遞推關(guān)系,對(duì)于較復(fù)雜的電路,手工分析的工作量還是比較大,也很難用計(jì)算機(jī)程序化分析。未來(lái)應(yīng)該探索能夠程序化的電路分析方法。
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