隨機(jī)振動(dòng)螺栓松動(dòng)數(shù)值仿真分析

朱光宇，鄭保仲

（福州大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福建 福州 350002）

1 引言

在機(jī)械設(shè)計(jì)中，由于很多零件都處于隨機(jī)振動(dòng)載荷工況下，伴隨著隨機(jī)振動(dòng)失效預(yù)測(cè)及有效控制是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵，而隨機(jī)振動(dòng)外載荷不像其他載荷可以用確定的函數(shù)表達(dá)，但人們對(duì)隨機(jī)振動(dòng)的研究步伐從未停歇。人們把統(tǒng)計(jì)學(xué)、通訊噪聲及湍流理論移植到機(jī)械結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)中去研究。

FPK方程法[1]，隨機(jī)平均法[2]，隨機(jī)等效線性法，柔性結(jié)構(gòu)隨機(jī)等效線性法均是研究單自由度非線性隨機(jī)振動(dòng)常用的方法。其中由林家浩提出的虛擬激勵(lì)法[3]將平穩(wěn)的隨機(jī)振動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)諧振動(dòng)，大大提升運(yùn)算速度及效率，而Pradiwarter和Harnpornchai采用MonteCarlo法[4]對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性隨機(jī)振動(dòng)分析，但該方法求解精度是以犧牲計(jì)算時(shí)間為代價(jià)，故對(duì)大規(guī)模多自由度系統(tǒng)該方法不能適用，文獻(xiàn)[5]最早提出等效線性化方法在實(shí)際工程中應(yīng)用較為普遍。隨著計(jì)算機(jī)硬件資源高速發(fā)展以及模擬仿真軟件的不斷升級(jí)換代，運(yùn)用有限元法數(shù)值模擬非線性系統(tǒng)在時(shí)域中的隨機(jī)振動(dòng)。其原理是通過(guò)給定的隨機(jī)振動(dòng)加速度功率譜密度采用文獻(xiàn)[6]轉(zhuǎn)化為隨機(jī)振動(dòng)的時(shí)域信號(hào)供大型顯示有限元軟件計(jì)算。螺栓聯(lián)接是一種結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中普遍存在的緊固方式，而螺栓聯(lián)接在隨機(jī)振動(dòng)作用下軸向力跳躍關(guān)系著聯(lián)接的失效與否，故對(duì)隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境下的螺栓聯(lián)接可靠性提出更高的要求。實(shí)際以某款電動(dòng)車車載充電機(jī)為主體，充電機(jī)用四個(gè)螺栓與車架相連，載荷的來(lái)源主要是通過(guò)車架傳來(lái)的路面不平度激勵(lì)，考查連接充電機(jī)螺栓預(yù)緊力變化情況及螺栓等級(jí)選擇。運(yùn)用SineOnRandom法生成振動(dòng)信號(hào)時(shí)域樣本，采用顯示非線性求解施加預(yù)緊力螺栓軸向力響應(yīng)情況。

2 隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)轉(zhuǎn)化原理

統(tǒng)計(jì)信號(hào)有兩種方法：一種是將信號(hào)采集成時(shí)域函數(shù)，另一種是將采集的信號(hào)通過(guò)傅里葉轉(zhuǎn)換成頻率函數(shù)。時(shí)間函數(shù)是真實(shí)世界中唯一存在的，同時(shí)產(chǎn)品的安全性最終也是在時(shí)域中檢測(cè)的。頻域不是真實(shí)存在的，它是一種數(shù)學(xué)構(gòu)造，遵循特定的數(shù)學(xué)范疇，同時(shí)正弦波的頻域，且時(shí)域中的任何波形都可以用正弦波疊加，這是正弦波一個(gè)十分重要的性質(zhì)。根據(jù)信號(hào)等效原理，轉(zhuǎn)化前后信號(hào)的統(tǒng)計(jì)學(xué)特性是一致的。依據(jù)隨機(jī)振動(dòng)數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系，功率譜密度表達(dá)式[7-8]：

式中：f—振動(dòng)頻率；R（τ）是互相關(guān)函數(shù)，對(duì)于一個(gè)正弦位移信號(hào)：

可見(jiàn)正弦波的功率譜密度是一沖擊常數(shù)，其值與φ無(wú)關(guān)，在頻域中每個(gè)頻率點(diǎn)都有本身的幅值與相位。按諧波的頻率、幅值、相位等信息可以求得諧波所對(duì)應(yīng)時(shí)域的波形，最后將各諧波的時(shí)域疊加起來(lái)，即轉(zhuǎn)化成時(shí)域中的信號(hào)波。將所要轉(zhuǎn)換的功率譜密度函數(shù)所對(duì)應(yīng)的頻率區(qū)域（fstart，fend）劃分為n個(gè)區(qū)間，用第i個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)頻率fmid，i的功率譜密度來(lái)替代該區(qū)間的功率譜密度大小，所以第i個(gè)區(qū)間上的功率譜密度：

式中：Gq（，）—位移密度譜；Δfi—頻率間隔

因此，當(dāng)隨機(jī)振動(dòng)過(guò)程采用正弦信號(hào)疊加法模擬隨機(jī)過(guò)程的表達(dá)式為：

SineOnRandom法合成隨機(jī)振動(dòng)時(shí)域信號(hào)適用于模擬具有任意形狀的譜密度的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，而且所得到結(jié)果的樣本是連續(xù)的。值得注意的是，等效信號(hào)的時(shí)間樣本大小應(yīng)根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布均值方差均方值等一致的前提下盡量縮短計(jì)算時(shí)間。

3 顯式計(jì)算中心差分法

用世界上著名的通用顯式動(dòng)力分析有限元軟件LSDYNA[9-10]，該求解程序特別適合求解沖擊碰撞仿真，特別是在高應(yīng)變率數(shù)值計(jì)算中優(yōu)勢(shì)明顯。LSDYNA顯示動(dòng)力分析采用中心差分法，第n個(gè)時(shí)間步結(jié)束時(shí)刻的加速度由速度的一階中心差分給出，速度由位移的一階中心差分給出向量通過(guò)下式表達(dá)：

顯式算法的特點(diǎn)是：（1）不形成總體剛度矩陣，彈性項(xiàng)放在內(nèi)力中，避免了剛度矩陣的求逆，大大減小了求解程序?qū)τ?jì)算資源的占用，特別是對(duì)于非線性分析非常有益，避免在分析步中由于每個(gè)增量步都會(huì)帶來(lái)剛度矩陣的變化重新計(jì)算帶來(lái)的代價(jià)。（2）質(zhì)量陣為對(duì)角時(shí)，利用中心差分法計(jì)算運(yùn)動(dòng)方程時(shí)不需要進(jìn)行質(zhì)量矩陣的求逆運(yùn)算，僅僅利用矩陣的乘法得到等效載荷，計(jì)算效率很高。（3）中心差分法是條件穩(wěn)定算法，保持穩(wěn)定狀態(tài)需要相對(duì)較小的時(shí)間步長(zhǎng)，因此在計(jì)算模型設(shè)定時(shí)需減小初始時(shí)間增量步保證計(jì)算穩(wěn)定。

4 數(shù)值模擬隨機(jī)信號(hào)獲取

數(shù)值模擬采用新國(guó)標(biāo)GB/T 31467.3-2015，規(guī)定的振動(dòng)功率譜密度要求，如圖1和表1所示。由于表的頻譜數(shù)據(jù)是根據(jù)實(shí)際路譜采集信號(hào)經(jīng)過(guò)信號(hào)處理后再由FFT變化得到的原始功率譜密度，但該功率譜密度是頻域范圍內(nèi)的，不能用于時(shí)域的非線性系統(tǒng)計(jì)算，因此在信號(hào)處理軟件中采用SineOnRandom方法產(chǎn)生隨機(jī)振動(dòng)時(shí)域信號(hào)波。信號(hào)的失真度由采樣頻率，計(jì)算時(shí)間控制，前提是保證產(chǎn)生的時(shí)域信號(hào)加速度均方值與原始數(shù)據(jù)相差不大，通過(guò)不同組合得到的樣本，如表2所示。通過(guò)表數(shù)據(jù)規(guī)律分析可知，運(yùn)用SineOnRandom方法獲取的時(shí)間樣本由于采樣頻率及樣本大小不同會(huì)產(chǎn)生不一樣的模擬時(shí)域信號(hào)，且信號(hào)的加速度峰值存在著這樣一條規(guī)律：樣本越小，則采樣頻率越高才不會(huì)使信號(hào)失真過(guò)多，反之則采樣頻率相對(duì)下降才會(huì)使加速度峰值靠近原始值?？紤]到計(jì)算效率及樣本失真度，采用時(shí)間樣本為1s，采樣頻率為4500Hz進(jìn)行樣本抽取。但遵循的原則是樣本信號(hào)經(jīng)過(guò)傅立葉變換與原始功率譜密度進(jìn)行比對(duì)，失真度不能過(guò)高，在保證要求的前提下盡量的縮短計(jì)算時(shí)間，否則會(huì)給后續(xù)的有限元計(jì)算帶來(lái)沉重的負(fù)擔(dān)。

圖1 加速度PSD和頻率對(duì)應(yīng)關(guān)系Fig.1 Acceleration PSD and Frequency Correspondence

表1 PSD值和頻率Tab.1 PSD Value and Frequency

表2 時(shí)間和加速度峰值Tab.2 Time and Peak of Acceleration

圖2 原始與模擬功率譜密度比對(duì)Fig.2 Comparison of Original and Simulation Power Spectral Density

如圖2所示，模擬功率譜與原始功率譜在隨機(jī)振動(dòng)所關(guān)注的低頻段誤差在可接受范圍內(nèi)，這樣保證了信號(hào)轉(zhuǎn)換前后的一致性，即失真度達(dá)到要求的情況下可以等效的認(rèn)為轉(zhuǎn)換后的時(shí)域信號(hào)可以替代隨機(jī)振動(dòng)的功率譜密度信號(hào)。在隨后的非線性有限元計(jì)算中作為載荷輸入條件，通過(guò)計(jì)算時(shí)間軸函數(shù)來(lái)表達(dá)各個(gè)要求物理量的時(shí)域響應(yīng)特性。

5 隨機(jī)振動(dòng)數(shù)值仿真實(shí)際案例應(yīng)用

仿真建模思路參照實(shí)際裝車中充電機(jī)的裝配關(guān)系，截取與之相關(guān)的幾何零部件離散成有限元網(wǎng)格集合，由于仿真中不考慮焊接關(guān)系對(duì)結(jié)構(gòu)剛度影響，故對(duì)焊接關(guān)系采用剛性連接替代建立整個(gè)系統(tǒng)的仿真模型，其中所有參與振動(dòng)的部件全部加入接觸考慮接觸非線性及幾何非線性和材料非線性，并且對(duì)緊固充電機(jī)的四顆螺栓采用beam單元模擬實(shí)際的螺栓連接，beam單元與聯(lián)接的兩個(gè)零部件采用剛性耦合，通過(guò)對(duì)beam單元施加預(yù)緊力模擬實(shí)際裝車條件下的預(yù)擰緊力矩，通過(guò)beam單元在振動(dòng)時(shí)域信號(hào)下的軸向力響應(yīng)輸出來(lái)判斷螺栓是否會(huì)發(fā)生松動(dòng)模型，如圖3所示。

圖3 數(shù)值計(jì)算模型Fig.3 Numerical Compute Model

模擬仿真主要考查車載充電機(jī)緊固螺栓振動(dòng)強(qiáng)度，故對(duì)非關(guān)注區(qū)域的有限元離散不做詳細(xì)要求，由于充電機(jī)內(nèi)部電子元件復(fù)雜導(dǎo)致建模費(fèi)時(shí)費(fèi)力又不是計(jì)算關(guān)注點(diǎn)，故對(duì)充電機(jī)內(nèi)部進(jìn)行簡(jiǎn)化，采用配重的方式保證充電機(jī)質(zhì)量及慣量一致即可。另外整個(gè)模型網(wǎng)格大小為5mm，激勵(lì)源為與車架連接處，約束激勵(lì)處的5個(gè)自由度，放開(kāi)Z方向的平動(dòng)自由度。通過(guò)不同組合仿真計(jì)算結(jié)果，如表3所示。

表3 不同仿真工況結(jié)果Tab.3 Different Simulation Condition Result

由表3可以得出，不同的螺栓組合由于不同的初始預(yù)緊力及結(jié)構(gòu)不對(duì)稱導(dǎo)致不同的振動(dòng)后力量減小比率。且根據(jù)數(shù)據(jù)規(guī)律發(fā)現(xiàn)，螺栓等級(jí)強(qiáng)度越高，由于初始預(yù)緊力很大導(dǎo)致力量掉落比較厲害。通過(guò)仿真發(fā)現(xiàn)高強(qiáng)度螺栓在振動(dòng)一開(kāi)始預(yù)緊力就掉落厲害，且由于預(yù)緊力增大結(jié)構(gòu)不對(duì)稱導(dǎo)致螺栓上力量分布差距更加明顯，故振動(dòng)后力量減小厲害。

6 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

該實(shí)驗(yàn)由振動(dòng)臺(tái)、夾具、試件等組成。分別采用M4，M6，M8不同強(qiáng)度等級(jí)的螺栓依規(guī)定的初始擰緊力矩把充電機(jī)鎖附在振動(dòng)臺(tái)面上，如圖4所示。實(shí)驗(yàn)參照GB/T2423.56執(zhí)行隨機(jī)振動(dòng)，進(jìn)行8h的振動(dòng)后測(cè)試充電機(jī)上螺栓殘余預(yù)緊力大小并與仿真比對(duì)結(jié)果，如表4所示。

圖4 振動(dòng)試驗(yàn)Fig.4 Vibration Test

表4 振動(dòng)前后對(duì)照表Tab.4 Collation of Vibration Test

由表4可以得知，試驗(yàn)過(guò)后螺栓預(yù)緊力減小相對(duì)于仿真計(jì)算更厲害，但在誤差控制在合理范圍內(nèi)說(shuō)明仿真計(jì)算結(jié)果還是可以接受。而且通過(guò)實(shí)驗(yàn)也可以說(shuō)明實(shí)際振動(dòng)過(guò)程中螺栓預(yù)緊力跳動(dòng)更大，后續(xù)在數(shù)值仿真中須對(duì)時(shí)間樣本容量及采樣頻率作進(jìn)一步的研究以取得更為精確的樣本信號(hào)以提升仿真計(jì)算精度。

7 結(jié)論

（1）采用SineOnRandom法把隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)由頻域轉(zhuǎn)換成時(shí)域，從而使得隨機(jī)振動(dòng)在顯示非線性計(jì)算中實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的接觸行為及性能參數(shù)響應(yīng)。（2）通過(guò)SineOnRandom法獲取時(shí)間樣本容量須根據(jù)計(jì)算機(jī)性能謹(jǐn)慎選擇，但基本原則是時(shí)間樣本容量在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的均值，方差及均方值與原始信號(hào)一致的前提下適當(dāng)獲取。（3）通過(guò)仿真很好地驗(yàn)證了實(shí)際設(shè)計(jì)中不同等級(jí)強(qiáng)度的螺栓在隨機(jī)振動(dòng)過(guò)程中的強(qiáng)度原則。

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