永磁球形電動機(jī)空芯定子線圈磁場的解析分析

李洪鳳，李天夢，韓?冰

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永磁球形電動機(jī)空芯定子線圈磁場的解析分析

李洪鳳1，李天夢1，韓?冰2

(1. 天津大學(xué)電氣自動化與信息工程學(xué)院，天津 300072；2. 國網(wǎng)天津市電力公司檢修公司，天津 300230)

永磁球形電機(jī)定子線圈呈空芯圓柱形結(jié)構(gòu)，由多匝導(dǎo)線纏繞在柱狀鋁芯上，離散分布在定子球殼內(nèi)壁不同經(jīng)、緯度線交叉點(diǎn)處．針對采用集中繞制方式的定子線圈的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，基于畢奧-薩伐爾定律，并考慮球形電機(jī)定子線圈在定子坐標(biāo)系中的位置關(guān)系對問題分析復(fù)雜性的影響，首先推導(dǎo)得到了任意位置單匝線圈在空間任意點(diǎn)處的磁場分布，并與現(xiàn)有文獻(xiàn)進(jìn)行了比較驗(yàn)證．其次將單匝線圈推廣到多層多匝線圈，求解得到了任意位置多層多匝定子線圈在空間任意點(diǎn)處的磁場分布解析表達(dá)式．最后就定子線圈在不同路徑上的磁場分布情況，與有限元法所得結(jié)果進(jìn)行了比較，證明了該解析表達(dá)式的有效性．

永磁球形電機(jī)；畢奧-薩伐爾定律；定子線圈磁場分布；有限元法

渦流損耗是永磁球形電機(jī)(permanent magnet spherical motor，PMSM)設(shè)計的關(guān)鍵性問題，而定子線圈磁場是引起電機(jī)渦流損耗的主要原因，因此，準(zhǔn)確計算永磁球形電機(jī)內(nèi)渦流損耗的前提是對定子線圈磁場進(jìn)行分析研究．

定子線圈磁場較為復(fù)雜，有關(guān)電機(jī)定子線圈磁場的研究多是借助于有限元法進(jìn)行仿真分析[1-4]，并基于有限元法的分析結(jié)果對定子線圈做進(jìn)一步的優(yōu)化改進(jìn)[5-8]．與有限元法相比，解析法不僅能夠準(zhǔn)確反映電機(jī)參數(shù)對磁場分布的影響，而且能夠提高求解計算速度[9-15]．文獻(xiàn)[14-15]借助于矢量磁位對普通電機(jī)定子線圈磁場進(jìn)行了分析計算，將定子線圈等效為位于線圈間隙的厚度無窮小的電流片，通過逐步簡化求解得到了定子線圈磁場分布解析表達(dá)式．永磁球形電機(jī)定子線圈磁場分析需要求解的是集中繞組三維場問題，邊界條件復(fù)雜，很難將其簡化為二維模型進(jìn)行分析求解．文獻(xiàn)[16]采用磁場積分法得到了永磁步進(jìn)球形電機(jī)定子線圈在空間場點(diǎn)磁場分布的計算公式，但未求解得到最終的解析表達(dá)式．文獻(xiàn)[17-19]采用不同的方法對永磁球形電機(jī)定子線圈磁場進(jìn)行了求解，其中，文獻(xiàn)[18]采用的方法難以對電機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行準(zhǔn)確刻畫，通常只適合于氣隙處磁通密度的估計，文獻(xiàn)[19]中的等效定子線圈與實(shí)際定子線圈存在一定的偏差，將會影響所得解析表達(dá)式的準(zhǔn)確性．

畢奧-薩伐爾定律是電磁學(xué)最基本的定律，它可以計算任意穩(wěn)恒傳導(dǎo)電流在空間產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，文獻(xiàn)[20-21]采用該定律求解得到了圓電流在空間任意位置處的磁場分布，并利用軟件仿真或?qū)嶒?yàn)測試方法驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性．本文針對永磁球形電機(jī)柱形定子線圈的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，基于畢奧-薩伐爾定律求解了任意位置單匝、多層多匝定子線圈在空間任意點(diǎn)的磁場分布，并與有限元結(jié)果進(jìn)行了對比，驗(yàn)證了本文解析方法的有效性．

1?永磁球形電機(jī)的基本結(jié)構(gòu)

永磁球形電機(jī)的實(shí)物模型如圖1(a)所示，電機(jī)由球形轉(zhuǎn)子和球殼型定子構(gòu)成，6塊永磁體按N、S極交替貼于轉(zhuǎn)子赤道一周．永磁體采用釹鐵硼，定子線圈采用銅線．定子線圈采用集中繞制方式，由多匝導(dǎo)線纏繞在柱狀鋁芯上，沿定子內(nèi)壁赤道處、北緯22.5°線處、南緯22.5°線處放置3層，每層18個線圈，均勻分布在定子球殼內(nèi)壁不同經(jīng)緯度交叉點(diǎn)處．永磁球形電機(jī)的原理如圖1(b)所示，按照一定的通電規(guī)律，當(dāng)給赤道處的定子線圈通電時，可以實(shí)現(xiàn)球形電機(jī)的自轉(zhuǎn)運(yùn)動，當(dāng)同時給不同緯度線上的定子線圈通電時，可以實(shí)現(xiàn)球形電機(jī)的俯仰和偏航運(yùn)動．定子線圈在空間任意點(diǎn)處產(chǎn)生的磁場分為3個磁通密度分量：徑向磁通密度分量B、緯向磁通密度分量B、周向磁通密度分量，3個磁通密度分量的單位矢量分別為、、，其方向如圖1(b)所示．

圖1?永磁球形電機(jī)的實(shí)物模型與原理

2?基于畢奧-薩伐爾定律求解定子線圈磁場

2.1?永磁球形電機(jī)定子線圈在定子坐標(biāo)系中的位置

永磁球形電機(jī)定子線圈在空間任意點(diǎn)產(chǎn)生的磁場是所有不同位置定子線圈在以轉(zhuǎn)子球心為原點(diǎn)的定子坐標(biāo)系下磁場分布的疊加．求解出任意位置單個定子線圈在空間任意點(diǎn)的磁場分布，進(jìn)而運(yùn)用疊加原理可得電機(jī)定子線圈在空間任意點(diǎn)的磁場分布．

圖2為永磁球形電機(jī)某位置第個柱形定子線圈的位置示意．其中，圖2(a)為該定子線圈在以轉(zhuǎn)子球心為坐標(biāo)原點(diǎn)的定子坐標(biāo)系下的示意，圖2(b)為該定子線圈在以定子線圈中心點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以定子線圈中心軸線為軸的定子線圈坐標(biāo)系下的示意．

圖2?任意位置定子線圈示意

其中，表示定子線圈中心點(diǎn)到轉(zhuǎn)子球心的距離；、分別表示第個定子線圈中心軸線與軸正向和軸正向之間的夾角；1、2分別表示定子線圈的內(nèi)外半徑；為定子線圈的有效長度；為空間任一點(diǎn)，記為場點(diǎn)；為線圈上任一點(diǎn)，記為源點(diǎn)；dd為源點(diǎn)處的電流元．

首先建立定子坐標(biāo)系與定子線圈坐標(biāo)系間的映射關(guān)系．取空間任一點(diǎn)，記該點(diǎn)在定子坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(1，1，1)，在定子線圈坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(1，1，1)．將定子坐標(biāo)系平移至其坐標(biāo)原點(diǎn)與定子線圈中心點(diǎn)重合的位置，將該點(diǎn)在平移后的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)記為(3，3，3)，則(1，1，1)與(3，3，3)滿足關(guān)系

???(1)

???(2)

???(3)

將上述平移得到的坐標(biāo)系繞軸逆時針旋轉(zhuǎn)，記該點(diǎn)在此時旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(4，4，4)，滿足關(guān)系

???(4)

???(5)

???(6)

將式(1)～式(3)分別代入式(4)～式(6)中可得

?????(7)

?????(8)

???(9)

繼續(xù)繞軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ，此時該坐標(biāo)系將與定子線圈坐標(biāo)系重合，滿足關(guān)系

???(10)

???(11)

???(12)

將式(7)～式(9)分別代入式(10)～式(12)中可得

?????(13)

???(14)

????(15)

最終整理得到空間任一點(diǎn)在定子坐標(biāo)系和定子線圈坐標(biāo)系間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為

???(16)

???(17)

?????(18)

將B、B、B定義為定子坐標(biāo)系中的磁通密度分量，B、B、B定義為定子線圈坐標(biāo)系中的磁通密度分量，則滿足關(guān)系

???(21)

2.2?基于畢奧-薩伐爾定律求解單匝線圈的磁場

當(dāng)圖2(b)所示定子線圈為單匝時，即為圖3所示的單匝線圈示意．

圖3?單匝線圈示意

設(shè)單匝線圈的電流大小為；記源點(diǎn)在定子線圈坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(，，0)(直角坐標(biāo)系下)，或(，，0)(柱坐標(biāo)系下)；空間任一場點(diǎn)在定子線圈坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(，，)(直角坐標(biāo)系下)，或(，，)(柱坐標(biāo)系下)．源點(diǎn)處的電流元d在場點(diǎn)處的磁場可由畢奧-薩伐爾定律確定．

由畢奧-薩伐爾定律可知，源點(diǎn)處的電流元d在場點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

???(22)

式中：為真空磁導(dǎo)率；為由源點(diǎn)向場點(diǎn)所引的矢徑；為矢徑的模值；d為單匝線圈的長度微分，方向?yàn)樵袋c(diǎn)的切線方向，正負(fù)號取決于線圈線電流密度的方向，文中規(guī)定從軸正向望去，逆時針為正，順時針為負(fù)．

?????(23)

式中′為單匝線圈的半徑．

矢徑為

?????(24)

矢徑的模長為

???(25)

將式(23)～式(25)代入式(22)得

?????(26)

整理得d的3個分量分別為

?????(27)

?????(28)

????(29)

?????(30)

?????(31)

?????(32)

式(16)～式(21)給出了空間任一點(diǎn)以及磁通密度各分量在定子坐標(biāo)系和定子線圈坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，運(yùn)用該關(guān)系式，可得單匝定子線圈在以轉(zhuǎn)子球心為原點(diǎn)的定子坐標(biāo)系的空間任一點(diǎn)產(chǎn)生的磁場分布解析表達(dá)式．

運(yùn)用該求解思路可降低直接從定子坐標(biāo)系入手分析定子線圈磁場的復(fù)雜度，使得求解大大簡化，且不需要討論奇異點(diǎn)的特殊情況．

2.3?基于畢奧-薩伐爾定律求解多層多匝線圈磁場

對于圖2(b)所示的定子線圈為多層多匝時，記源點(diǎn)在定子坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(，，)(直角坐標(biāo)系下)或(，，)(柱坐標(biāo)系下)；場點(diǎn)和單匝線圈時定義一致．此時源點(diǎn)處的電流元dd在場點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

???(33)

式中d表示d面內(nèi)所流過的電流大?。?/p>

???(34)

???(35)

將式(34)和式(35)代入式(33)，整理得源點(diǎn)處的電流元dd在場點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

???(36)

?????(37)

?????(38)

矢徑的模長為

?????(39)

將式(37)～式(39)分別代入式(36)，整理得

?????(40)

整理得d的3個分量分別為

?????(41)

(42)

?????(43)

?????(44)

?????(45)

?????(46)

經(jīng)積分運(yùn)算整理得

(47)

???(48)

?????(49)

???(50)

???(51)

???(52)

???(53)

?????(54)

?????(55)

???(56)

???(58)

?????(59)

?????(60)

?????(61)

?????(62)

?????(63)

式(16)～式(21)給出了空間任一點(diǎn)以及磁通密度各分量在定子坐標(biāo)系和定子線圈坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，運(yùn)用該關(guān)系式，最終可得任意位置多層多匝定子線圈在以轉(zhuǎn)子球心為原點(diǎn)的定子坐標(biāo)系的空間任一點(diǎn)產(chǎn)生的磁場分布解析表達(dá)式．

3?有限元仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證多層多匝定子線圈磁場分布解析方法的正確性，選取定子線圈中心軸線與軸重合，即θ＝90°，＝0°的定子線圈為研究對象，就3個不同路徑的磁場分布情況與有限元所得結(jié)果進(jìn)行對比．相關(guān)參數(shù)如表1所示，空載轉(zhuǎn)速為300,r/min．

表1?結(jié)構(gòu)和材料參數(shù)

Tab.1?Structure and material parameters

圖4所示為部分電機(jī)參數(shù)示意，電機(jī)氣隙長度指的是永磁體外徑ro與定子內(nèi)徑si之間的距離．

圖4?永磁球形電機(jī)部分參數(shù)示意

圖5所示為采用ANSOFT有限元分析軟件Maxwell 3D根據(jù)表1中的電機(jī)參數(shù)建立的永磁球形電機(jī)有限元模型及其剖分結(jié)果，采用自適應(yīng)網(wǎng)格剖分方式進(jìn)行剖分．求解場域內(nèi)的永磁體、氣隙、線圈與鐵芯之間的邊界滿足自然邊界條件，區(qū)域最外層邊界滿足第一類齊次邊界條件．

圖5?永磁球形電機(jī)有限元模型及其剖分結(jié)果

圖6給出了場點(diǎn)路徑選取在定子線圈的中心軸線上時，解析法和有限元法所得磁通密度各分量對比.

從圖6中可以看出，解析法所得定子線圈中心軸線上的磁場分布與有限元結(jié)果幾乎吻合．由于線圈中心軸線與軸重合，當(dāng)場點(diǎn)選取在線圈中心軸線上時，僅存在方向上的磁場．由于近軸區(qū)磁場分布的影響，有限元仿真所得軸和軸方向上的磁場在很小的范圍內(nèi)呈高頻上下浮動，在忽略影響因素的情況下，同樣僅存在方向上的磁場．

圖7給出了場點(diǎn)路徑選取位于面內(nèi)(即＝90°)，以轉(zhuǎn)子球心為圓心，半徑為80,mm(即＝80,mm)，取值范圍為－90°到90°的半圓時，解析法和有限元法所得磁通密度各分量對比．

從圖7中可以看出，由于柱形定子線圈關(guān)于面對稱，且所研究的磁場路徑位于面內(nèi)，因此，方向上的磁場以定子線圈中心軸線為對稱軸呈軸對稱分布；方向上的磁場以定子線圈中心點(diǎn)為對稱點(diǎn)，呈中心對稱分布；方向上的磁場為零．

圖8給出了場點(diǎn)路徑選取為面內(nèi)(即＝0°)，以轉(zhuǎn)子球心為圓心，半徑為80,mm(即＝80,mm)，取值范圍為0°到180°的半圓時，解析法和有限元法所得磁通密度各分量對比．

從圖８中可以看出，由于柱形定子線圈既關(guān)于面對稱，又關(guān)于面對稱．所以，當(dāng)所研究的磁場路徑位于面內(nèi)時，方向上的磁場以定子線圈中心軸線為對稱軸呈軸對稱分布；方向上的磁場以定子線圈中心點(diǎn)為對稱點(diǎn)，呈中心對稱分布；方向上的磁場為0．

綜上，有限元結(jié)果和解析法結(jié)果幾乎吻合，對比結(jié)果表明，在誤差允許范圍內(nèi)，該解析方法是有效的.

圖9給出了場點(diǎn)路徑選取在定子線圈的中心軸線上，電機(jī)轉(zhuǎn)速分別為1,000,r/min、300,r/min、＝50,r/min時的磁通密度B分量對比．

從圖9中可以看出，電機(jī)轉(zhuǎn)速分別為1,000,r/min、300,r/min、50,r/min時，定子線圈磁場分布曲線基本重合，電機(jī)轉(zhuǎn)速對定子線圈磁場分布的影響較小．

圖9 場點(diǎn)在線圈中心軸線上時不同電機(jī)轉(zhuǎn)速下的BX分量磁場分布

4?結(jié)?語

本文基于畢奧-薩伐爾定律首先求解了任意位置單匝線圈在空間任意點(diǎn)產(chǎn)生的磁場，并與現(xiàn)有文獻(xiàn)[22-25]結(jié)論相比較，驗(yàn)證了求解思路的正確性．在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步求解得到了任意位置多層多匝線圈在空間任意點(diǎn)的磁場解析表達(dá)式．最后就定子線圈在不同路徑下的磁場分布與有限元結(jié)果進(jìn)行了對比，證明了本文所得多層多匝線圈磁場分布解析表達(dá)式的有效性，為結(jié)構(gòu)復(fù)雜的永磁電機(jī)定子線圈磁場的研究拓寬了思路．

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(責(zé)任編輯：孫立華)

Magnetic Field Analysis of the Hollow Stator Coil in Permanent Magnet Spherical Motor

Li Hongfeng1，Li Tianmeng1，Han Bing2

(1. School of Electrical and Information Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2.State Grid Tianjin Power Maintenance Company，Tianjin 300230，China)

Permanent magnet spherical motor stator coils are of hollow cylindrical structure．Stator coils are formed by multiple wires wrapping cylindrical aluminum core and distributed independently on the intersection of longitude line and latitude line on the inner wall of the stator spherical shell．In view of the centralized winding structure characteristics of the stator coils，based on Biot-Savart law，and given the influence of the actual position relationship between spherical motor stator coils and stator coordinate system on the complexity of problem analysis，the magnetic field distribution of single turn coil at any position in any space is obtained in this paper and it is verified by comparing with the existing literature．Then，single turn coil is extended to multilayer turns coil and the magnetic field distribution of multilayer turns coil at any position in any space is obtained．Finally，the analytical method in this paper is compared with finite element method in terms of magnetic field distribution on different paths to verify the effectiveness of the proposed analytical method.

permanent magnet spherical motor；Biot-Savart law；magnetic field distribution of stator coil；finite element method

10.11784/tdxbz201701030

TM351

A

0493-2137(2018)01-0064-09

2017-01-25；

2017-07-15.

李洪鳳（1979—??），女，博士，副教授.

李洪鳳，lihongfeng@tju.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項目(51677130).

the National Natural Science Foundation of China(No.,51677130).