關(guān)于策略性投票的一個注記*
——對“不利的特權(quán)”博弈的延伸探討

趙鳳儀， 丁 利

引 言

假設(shè)甲、乙、丙三人組成一個委員會，需要對三個候選方案X、Y、Z進行投票表決，從中選出一個最佳方案。其各自的偏好順序為：甲：X>Y>Z；乙： Y>Z>X；丙：Z>X>Y(其中的“>”表示“優(yōu)于”；如下圖:甲、乙、丙三人各自對于候選方案a、b、c的偏好程度從上到下依次遞減)?，F(xiàn)在，需要解決的一個問題是：對每一對方案的社會偏好的確定，可否按照多數(shù)規(guī)則來從三個人的偏好中集結(jié)出一個對此三個方案的合理的社會偏好排序？

表1

我們可以看到，按照上述偏好順序，在候選方案X和Y之間，三名投票者中甲和丙皆傾向于選擇X，只有乙傾向于選擇Y。根據(jù)多數(shù)規(guī)則，候選方案 X以2：1的票數(shù)戰(zhàn)勝候選方案Y，即社會偏好為X勝過Y；同理，對方案Y和Z，可得社會偏好為Y勝過Z；如果按照通常理性偏好所要求的傳遞性條件，在X勝過Y，Y勝過Z的情況下，方案X應(yīng)勝過Z。然而，對候選方案Z和X之間，甲和乙皆傾向于選擇Z，只有甲傾向于選擇X，得到的結(jié)論是方案Z勝過X，從而出現(xiàn)了Z勝過X勝過Y勝過Z的循環(huán)，這違背了理性決策理論中合理選擇規(guī)則所要求的最低條件“非循環(huán)性”。運用多數(shù)規(guī)則集結(jié)偏好的過程不能產(chǎn)生一個理性的社會偏好，此即著名的孔多塞悖論。眾所周知，孔多塞悖論是1951年阿羅的社會選擇不可能性定理的先驅(qū)。

孔多塞悖論中對每一對方案之間得到社會偏好時，根據(jù)所有人的真實偏好來進行，相當于每個人在投票中真實顯示自己的偏好。而在現(xiàn)實世界中，人們會策略性地選擇自己的行動，包括扭曲自己的偏好和操控議程(agendas)等手法，以達到策略性操縱(manipulate)結(jié)果的目的。

由于策略性投票問題的“普遍存在”，公共決策的投票結(jié)果并不一定能完全反映投票者的真實偏好。投票者為追求自身利益的最大化，往往會通過投票交易的方式，收受賄賂，在得到足夠回報的前提下投票贊成與已無關(guān)緊要甚至有所不利的議案；或者采取互投贊成票的方式，通過投票贊成其反對但不強烈反對的候選對象，以換取他人對自己所偏好的候選對象的支持。接下來我們將主要從虛假顯示自己的偏好和對投票議程的策略性操控之層面，結(jié)合委員會投票的基本框架，對不利的特權(quán)、提名選舉、序貫表決等幾種場景下的策略性投票問題進行討論。

一、不利的特權(quán)

美國政治學(xué)家Farquharson 在1969年的名著《投票理論》中討論過一個“不利的特權(quán)”(disadvantageous privilege)博弈*轉(zhuǎn)引自Hervé Moulin (1985): Fairness and strategy in voting, in H. Peyton Young (ed.): Fair Allocation, American Mathematical Society。。

甲、乙、丙三人組成一個投票委員會(甲、乙、丙三人都足夠理性且聰明)，對a、b、c三個方案進行一次性投票表決，他們的偏好如表格1所示。投票采取多數(shù)通過規(guī)則，得票數(shù)最多的方案最終當選。甲、乙、丙三人每人只有一次投票機會，且每次只能選擇一個方案。甲、乙、丙三人均秘密寫票，即各自寫票時對方看不到其所投結(jié)果，寫好選票后，每個人在選票背面簽上自己的名字。而在甲、乙、丙三人中，乙作為委員會的負責人，擁有相應(yīng)的特權(quán)。該特權(quán)為：當候選方案a、b、c各得一票打平時，由乙署名的那張票上所寫的候選方案最終勝出。

我們假設(shè)投票者的偏好和投票規(guī)則都是他們之間的共同知識。

博弈論的可容許性(admmissibility)要求，一個理性的人不會選擇弱劣策略作為自己的行為。所謂弱劣策略，是說此策略相對于另外一個策略而言，不管對手采取何種策略，他用此策略應(yīng)對對手的策略所得的支付都不會超過使用另一策略所得，并且至少存在一種情形是嚴格差于另一策略。如果無論對手采取何種策略，他用此策略所得都嚴格差于另一策略，則此策略為劣策略。這種一次性投票中，投自己最不喜歡的目標方案的票，只會降低那些更可取的選項被選中的概率，所以一定是弱劣策略。那么，我們可以把上述表格中的最后一行(對甲、乙、丙三個投票者而言各自最不喜歡的方案)剔除，進而可將表格1進一步簡化為下表(表格2)：

表2

(甲、乙、丙三人各自對于候選方案a、b、c的偏好程度從上到下依次遞減)

我們根據(jù)表格2所示的偏好情況，以矩陣的形式寫出該投票的策略型表示(如下圖)。其中，甲控制每個矩陣中每一行的策略，丙控制每個矩陣中每一列的策略，乙控制左右不同的矩陣。

丙 丙甲cacaabbacabbcc bc 乙

倘若甲、乙、丙三人按照自己的真實偏好進行投票，則甲選擇方案a，乙選擇方案b，丙選擇方案c。按照前述投票規(guī)則，乙作為投票委員會的負責人，由于其本身擁有特權(quán)，則以乙署名的票上所投結(jié)果為最終結(jié)果，即：b方案最終勝出。而由表格1可知，方案b為丙最不喜歡的方案，因此，作為一名理性的投票者，丙在合理預(yù)見自己按照真實偏好選擇c反而會導(dǎo)致自己最不喜歡的方案b當選的情況下，其往往會隱藏自己的真實偏好，采取策略性投票。由于對甲來說，比較兩行結(jié)果可以看出，投b相對于投a是一個弱劣策略，故甲只會選擇投a；這樣，丙只好放棄對自己而言的最優(yōu)方案c，退而求其次選擇次優(yōu)方案a，從而使方案a獲得兩票最終勝出。畢竟對于投票者丙而言，相較于真實表達自身偏好最后卻換來自己最不喜歡的結(jié)果，其有足夠的理由和動力通過策略性投票隱藏自己的真實偏好，從而避免使自身遭受最壞的結(jié)果。而根據(jù)表格1中所示的偏好順序可知，方案a恰好是特權(quán)者乙最不喜歡的方案，正因如此，這個投票博弈被稱為“不利的特權(quán)”。

在此，我們需要討論另外一種可能，即方案c是否有可能獲得兩票最終勝出。我們首先考慮投票者甲和投票者丙是否有可能結(jié)成同盟而共同選擇方案c的情況。很顯然，由于方案c是甲的嚴格劣策略，作為一個理性的人，投票者甲不會選擇自己最不喜歡的方案。所以通常情況下，只能由投票者丙做出讓步，選擇自己的次優(yōu)方案a而最終使得方案a勝出。接下來，我們需要討論投票者乙和投票者丙是否有可能結(jié)成同盟共同選擇方案c的情況。我們假設(shè)投票者乙和投票者丙之間有一個虛擬對話，即乙對丙說，“我為了避免最壞的情況——方案a當選，我會選擇對我而言的次優(yōu)方案c，對你而言方案c最終勝出自然比方案a勝出要好，對我亦然，我一定會信守諾言”諸如此類的承諾，然而，問題在于，乙對丙的該類承諾具有可信性嗎？答案顯然是否定的。

很顯然，甲選方案a,乙選方案c，丙選方案c的策略組合并不能合理的構(gòu)成納什均衡，乙作為理性的投票者，其有足夠的動力違背自己的承諾轉(zhuǎn)而投方案b；而丙事先預(yù)料到乙會違背承諾轉(zhuǎn)投方案b的情況，其為了避免讓自己最不喜歡的方案b當選，只有放棄自己的最優(yōu)選擇方案c轉(zhuǎn)而投方案a，讓自己的次優(yōu)選擇方案a勝出，這樣便又回到了我們前述結(jié)論，從而在結(jié)果上導(dǎo)致“不利的特權(quán)”。

二、單輪公開選舉中投票順序的重要性：以干部提名為例

我們自然會思考，在何種情形下，特權(quán)才能真正成為特權(quán)？作為投票委員會中的特權(quán)者(如上文中的乙)，究竟以何種方式才能使自己擺脫不利局面？對投票議程(agendas)的策略性操縱是我們接下來要集中探討的話題。我們首先考察一個干部的提名推選博弈，相應(yīng)地將上述“不利的特權(quán)”所涉之場景進行轉(zhuǎn)換。

投票者甲、乙、丙組成一個投票委員會，從候選人a、b、c中推選一人走向某個重要崗位，三名投票者對于三位候選人的偏好順序依然如圖一所示。

投票采取口頭表決的方式，每位投票者只有一次發(fā)言機會，且每次發(fā)言只能選擇a、b、c中的一位候選人，其他人可以聽到該投票者的發(fā)言內(nèi)容。結(jié)果采取多數(shù)通過規(guī)則，候選人a、b、c中任意一位候選人得到兩張?zhí)崦?，該候選人即獲推選。其中，乙作為投票委員會的負責人享有特權(quán)：其不僅可以決定發(fā)言的先后順序，而且當候選人a、b、c各得到一票時，其所支持的候選人即獲當選。

此博弈過程的展開型表示比較繁瑣，如果畫出此過程的博弈樹，雖然原理簡單卻需要較大篇幅，我們可以通過對其時序結(jié)構(gòu)(timing structure)進行本質(zhì)上相同的簡要刻畫：

階段一，乙指定某一位先發(fā)言；

階段二，被指定者發(fā)言；

階段三，根據(jù)前者的不同發(fā)言，乙相機指定第二位發(fā)言者；

階段四，第二位發(fā)言；

階段五，第三位發(fā)言。

接下來，我們將分情況探討特權(quán)者乙如何通過操縱發(fā)言者的順序，尋求有利于自身的投票結(jié)果，以使其擺脫“不利的特權(quán)”。如前所述，在本質(zhì)上是一次性的投票中,所有可供選擇的策略組合中，一個理性的人不會選擇提名自己最不喜歡的候選者，因此我們依然只考察每個人兩種提名選擇的情形。

首先，我們考察特權(quán)者乙讓丙第一個發(fā)言。按照偏好順序，丙會選擇c或者a。倘若丙選擇c，那么接下來乙要考慮的問題是：讓甲緊跟丙之后第二個發(fā)言還是自己緊跟丙之后第二個發(fā)言對其自身更有利。若乙讓甲第二個發(fā)言，則甲會選擇a或者b。無論甲選擇什么，乙作為最后一個發(fā)言者，出于自身利益最大化的需求，自然會選擇b，從而得到c, a, b或者c, b, b的結(jié)果組合，即勝出者一定是b。表面上看，這種情況下乙似乎輕而易舉即擺脫了“不利的特權(quán)”所刻畫的不利局面，但細想后便可發(fā)現(xiàn)，上述情況是建立在所有投票者均按照自身的真實偏好順序投票的前提之下的。由前述分析可知：若丙先發(fā)言，則無論甲選擇a還是b，最終當選的一定是候選人b。結(jié)合圖一所示的偏好順序可知，b是丙最不喜歡的候選人，根據(jù)逆向遞推的原理，丙作為一名理性的投票者，在預(yù)見到選擇自己最喜歡的候選人c反而會導(dǎo)致自己最不喜歡的b最終當選的情況下，其會放棄自己的最優(yōu)方案c，退而求其次選擇自己的次優(yōu)方案a。一旦丙作為第一個發(fā)言者，在其選擇候選人a的情況下，無論接下來乙讓甲第二個發(fā)言還是自己緊跟丙之后第二個發(fā)言，發(fā)言的順序已經(jīng)無關(guān)緊要，因為甲一定會選擇a，此時特權(quán)者乙無論選什么，最終結(jié)果都是a獲得兩票最終勝出，又會陷入“不利的特權(quán)”所示的情況。由此可知，丙、甲、乙或者丙、乙、甲的發(fā)言順序都不能讓乙擺脫“不利的特權(quán)”所刻畫的不利局面，因此，不能讓丙第一個發(fā)言。

其次，我們考察乙安排自己第一個發(fā)言的情形。倘若乙按照自己的真實偏好順序直接說選擇b，那么接下來需要考慮的是讓丙第二個發(fā)言還是讓甲第二個發(fā)言的情形。倘若乙讓甲第二個發(fā)言，甲作為一個理性的投票者，在選擇a所得的結(jié)果至少不會差于選擇b所得結(jié)果的情況下，自然會選擇a，此時，丙作為最后一個發(fā)言者，在推知自己選c一定會導(dǎo)致自身最不喜歡的b勝出的情況下，其會退而求其次選擇a，從而使得a以兩票最終勝出，這顯然又回到了“不利的特權(quán)”所示的局面；倘若乙讓丙緊跟自己之后第二個發(fā)言，丙會選擇a(理由同上)，則甲作為最后一個發(fā)言者自然會選擇a，結(jié)果還是a當選，導(dǎo)致“不利的特權(quán)”。由此可推知，乙作為理性的投票者，當其預(yù)見到自己按照真實偏好選擇b同樣會使其深陷“不利的特權(quán)”之囹圄時，就會退一步選擇自己的次優(yōu)方案c。在乙第一個發(fā)言選擇候選人c的情況下，接下來甲和丙的發(fā)言順序已無關(guān)緊要，因為無論讓甲和丙誰第二個發(fā)言，丙一定會選擇c，甲的選擇此時同樣可以忽略不計，因為候選人c已經(jīng)獲得了兩票而鎖定勝局。從圖5所示的偏好順序可以看出，c是乙的次優(yōu)方案，與乙最不喜歡的a當選相比，“不利的特權(quán)”所示的情況得到了一定程度的改善。

接下來要考察的是，乙讓甲第一個發(fā)言。甲有a和b兩種選擇。我們先分析甲選擇a的情況。此時需要關(guān)注的是讓丙第二個發(fā)言還是乙緊跟甲之后自己第二個發(fā)言的問題。倘若乙安排丙第二個發(fā)言，丙會選擇自己的次優(yōu)方案a而不是最優(yōu)方案c(理由如前文所述)，從而使得候選人a獲得兩票最終勝出。這又回到了“不利的特權(quán)”所描述的情況；倘若乙自己緊跟甲之后第二個發(fā)言，此時在甲已經(jīng)選擇a的情況下，乙深知倘若自己按照真實的偏好順序投票而選擇b的話，由于b是丙最不喜歡的候選人，丙一定會為了避免自己最不喜歡的人當選而作出讓步轉(zhuǎn)而投a，從而再次回到“不利的特權(quán)”所刻畫的局面。基于此種判斷，乙作為第二個發(fā)言人會選擇對其而言的次優(yōu)候選人c，從而使得c以兩票最終勝出。

正如討論展開時所進行的假設(shè)，甲、乙、丙皆為理性且足夠聰明的投票者。對于甲而言，若其能夠事先預(yù)料到特權(quán)者乙可以通過對發(fā)言順序的操縱而第二個發(fā)言，則甲為了避免出現(xiàn)自己最不喜歡的候選人c當選的局面，第一個發(fā)言時會選擇自己的次優(yōu)方案b而非自己最喜歡的a，從而使得候選人b獲得兩票最終勝出。這樣，特權(quán)者乙通過對投票順序的策略性操縱，如愿以償?shù)貙崿F(xiàn)了其所期待的最佳結(jié)果。

三、序貫表決：以美國國會議程為例

接下來，我們將結(jié)合美國國會議案表決的程序，具體分析一下分階段選舉中的策略性投票問題。

眾所周知，美國國會在需要就國防、外交、醫(yī)療、公共衛(wèi)生、環(huán)境等重要事項投票表決時，通常先由參議院、眾議院內(nèi)所設(shè)的專門委員會(如外交委員會、撥款委員會等)就有關(guān)事項擬定草案，國會有關(guān)部門在草案的基礎(chǔ)上擬定修正案。投票表決的議程通常分為兩個階段：首先，由專門委員會進行投票表決；然后，將首輪投票勝出的議案提交到國會，由參議院、眾議院進行草案和修正案之間的投票，接著對前一輪勝出的草案或修正案進行最終的投票決定是否通過，如果不通過則保持現(xiàn)狀。所以，現(xiàn)狀(status quo)永遠是備選方案之一。為討論方便起見，我們在分析問題時不考慮具體的投票表決方式(如唱名表決、點數(shù)投票、呼聲表決等)。我們將討論的場域限定在最常用的多數(shù)通過規(guī)則之下，在此基礎(chǔ)上結(jié)合前文所提到的甲、乙、丙三人委員會投票的事例，構(gòu)建如下場景：

假設(shè)a、b、c為國會相關(guān)部門就重要的社會問題所提出的議案(在此，不考慮具體何者為草案，何者為草案的修正案的問題)，由甲、乙、丙三個集團所組成的委員會就上述三個議案進行投票表決(每個集團內(nèi)部的行動步調(diào)一致)。投票分為兩個階段：在第一輪中，首先就a、b、c三個議案中的任何兩個議案進行投票表決(三個議案中沒被選中接受第一輪表決的那個議案自動進入第二輪)，得票數(shù)最多的議案勝出，獲得進入第二輪的資格；在第二輪中，由首輪勝出的議案與直接進入第二輪的議案進行最終的投票表決，得票最多者最終勝出。甲、乙、丙三個集團均秘密寫票，即各自寫票時對方看不到其所投結(jié)果。在每個階段的投票中，甲、乙、丙三個集團各自只有一次投票機會，且每次只能選擇該輪候選議案中的任何一個。其中，乙集團的頭目作為投票委員會的負責人，享有如下特權(quán)：他可以決定在第一輪中首先由哪兩個議案接受投票表決。投票者甲、乙、丙三個集團各自對于候選議案a、b、c的偏好順序如前述表格1。

這個三階段博弈的時序結(jié)構(gòu)為：

乙先決定扣住abc中的一個，讓其他兩個進入第一輪投票；

甲乙丙三個集團對此二方案進行投票，決出一個勝者；

對勝者和余者進行投票，決出最終勝選方案。

此類投票，有一個一般性的結(jié)論，即備選方案中的“頂級圈子”(top cycle)中的任何一員，都有機會在特定的議程下成為最終獲勝者*參見Jeffrey Banks: Strategic aspects of political systems, in Aumann & Hart (eds.): Handbook of game theory with economic applications, vol. III, 2203-2228, Elsevier Science B. V。，而表格1中的偏好結(jié)構(gòu)使得abc恰恰構(gòu)成這樣一個“頂級圈子”。接下來，我們將分不同情況具體討論，特權(quán)者乙如何通過選擇首輪率先接受投票表決的議案，以追求對其自身而言最有利的結(jié)果。

倘若乙在第一輪選擇讓議案a和議案c接受投票表決(即議案b自動進入第二輪)，并且投票者甲、乙、丙三個集團按照各自真實的偏好進行投票，那么按照上述表格1中所示的偏好順序，甲會選擇a，乙會選擇c，丙會選擇c，即議案c以兩票的優(yōu)勢勝出，獲得進入第二輪與議案b進行最終較量的資格。在第二輪中，按照甲、乙、丙三個集團的真實偏好順序，在議案c和議案b之間，甲會選擇b，乙會選擇b，丙會選擇c，即最終由特權(quán)者乙最喜歡的b勝出。表面上看，該種情況下似乎特權(quán)者乙可以很容易就實現(xiàn)自己所期望的最佳結(jié)果。但細想后便可發(fā)現(xiàn)，議案b最終當選是丙集團最不希望看到的結(jié)果。根據(jù)逆向遞推的原理，丙作為理性的投票者，當其預(yù)見到首輪自己按照真實偏好投票選擇c反而會招致最不利的后果時，就會在第一輪改投自己的次優(yōu)方案a，從而讓方案a在第一輪勝出，獲得進入第二輪的資格。這樣，第二輪在議案a和議案b之間進行投票表決，根據(jù)偏好順序可知，甲和丙都會選擇a，只有乙會選擇b，從而使得a以兩票的優(yōu)勢最終勝出。而方案a恰好是特權(quán)者乙最不喜歡的方案。由此可知，對于特權(quán)者乙而言，首輪讓議案a和議案c進行投票表決的安排只是一廂情愿，結(jié)果適得其反。

倘若乙在第一輪讓議案b和議案c接受投票表決(即議案a自動進入第二輪)，當甲、乙、丙三個集團按照真實偏好進行投票時，議案b會以兩票(因甲、乙會選擇b，丙會選擇c)的優(yōu)勢勝出，獲得進入第二輪的資格。在第二輪對議案b和議案a的表決中，很顯然，只有集團乙會選擇b，甲和丙都將選擇a，最終結(jié)果是議案a以兩票的優(yōu)勢勝出。方案a是特權(quán)者乙最不喜歡的方案。而根據(jù)逆向遞推的原理，乙作為理性、聰明的投票者，在合理地預(yù)見這種不利局面的前提下，在第一輪投票時自然不會誠實地按照真實偏好投票，他會放棄自己的最優(yōu)選擇b，轉(zhuǎn)而投c，使得議案c以兩票的優(yōu)勢勝出進入第二輪與議案a進行表決。結(jié)合表格1所示的偏好順序可知，在第二輪議案c與議案a的較量中，議案c將會最終以兩票的優(yōu)勢勝出(因乙、丙均會選擇c，甲會選擇a)。議案c對于特權(quán)者乙而言是其次優(yōu)選擇，相較于上述第一種情況議案a當選所引發(fā)的“不利的特權(quán)”，具有一定程度的改善。

我們最后考察乙在第一輪讓議案a和議案b接受投票表決(即議案c自動進入第二輪)的情形。同樣的，如果甲、乙、丙按照各自的真實偏好進行投票，則第一輪中，甲和丙都會選擇a，乙會選擇b，即議案a以兩票的優(yōu)勢進入第二輪的投票；在第二輪a與c的投票表決中，按照表格1所示的偏好順序，乙和丙均會選擇c，甲會選擇a，從而使得c最終勝出。此時，對于甲而言，在理性地預(yù)見到自己首輪選擇a反而會獲得最壞結(jié)果的前提下，自然不應(yīng)該按照真實的偏好順序投票，故甲在第一輪會放棄自己的最優(yōu)選擇a，改投方案b，從而使得方案b進入到第二輪的最終決選。于是，第二輪的投票在議案b與議案c之間展開，由表格1所示的偏好順序可知，議案b將會以兩票的優(yōu)勢最終勝出(因甲、乙都會選擇b，丙會選擇c)。而議案b恰恰為特權(quán)者乙最喜歡的議案，因此，讓議案a和議案b在首輪即接受投票表決的安排對于乙而言是最佳的策略選擇。

結(jié)合以上分析我們可以看到，第一輪即讓自己最喜歡的議案接受表決的策略選擇所得之結(jié)果至少不差于首輪讓自己最喜歡的議案輪空所得之結(jié)果；如策略安排得當，特權(quán)者乙甚至可以實現(xiàn)自身目標的最大化。日常生活中很多人參與競標時，在程序可控的范圍內(nèi)人們通常會選擇讓自己最喜歡的方案或者說對自身最有利的方案首輪輪空而直接晉級后面的議程，以規(guī)避首輪表決失敗的風(fēng)險，殊不知這種做法很有可能適得其反，最終導(dǎo)致對自身不利的后果。正如中國老話“不入虎穴，焉得虎子”，理智分析后的放手一搏反而會有意想不到的收獲。當然，具體問題決定了不同的博弈結(jié)構(gòu)和規(guī)則，相應(yīng)的策略也要因地制宜。

結(jié) 語

作為一種常用的將個體偏好集結(jié)為社會偏好的公共決策方式，投票本身即為一個復(fù)雜的博弈過程。理性的投票者在追求個人效用的過程中，當發(fā)現(xiàn)真實地表達個體偏好無利可圖時，自然會采取策略性投票的方式以尋求對自身最有利的結(jié)果。這也就要求我們在現(xiàn)實的公共決策中，對投票的各個環(huán)節(jié)審慎考量，綜合分析，制定合適的投票機制并選擇最佳策略，使得相應(yīng)社會博弈的均衡結(jié)果盡量接近公共決策的社會目標。

Jeffrey Banks: Strategic aspects of political systems, in Aumann & Hart (eds.): Handbook of game theory with economic applications, vol. III, 2203-2228, Elsevier Science B. V.

Herve Moulin (1985): Fairness and strategy in voting, in H. Peyton Young (ed.): Fair Allocation, 109-42, American Mathematical Society.