數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)讓數(shù)學(xué)概念課妙趣橫生—以“認(rèn)識(shí)無理數(shù)”為例

廣東省佛山市南海外國語學(xué)校(528200) 封小波 龐小訪

1.前言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出,“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容,從學(xué)生實(shí)際出發(fā),創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情境,引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐、思考、探索、交流等,獲得數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),促使學(xué)生主動(dòng)地、富有個(gè)性地學(xué)習(xí),不斷提高發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中,教師要把基本理念轉(zhuǎn)化為自己的教學(xué)行為,注重啟發(fā)學(xué)生積極思考,當(dāng)好學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者、合作者,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能,鼓勵(lì)學(xué)生大膽創(chuàng)新與實(shí)踐,創(chuàng)造性地使用教材,積極開發(fā)、利用各種教學(xué)資源,為學(xué)生提供豐富多彩的學(xué)習(xí)素材.”

中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)是根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)的需要,在一定的數(shù)學(xué)原理的指導(dǎo)下,讓學(xué)生借助一定的工具、儀器和技術(shù)手段,對(duì)具有一定數(shù)學(xué)意義的實(shí)物、模型、事件,以及數(shù)字、圖形、式子、題目等,進(jìn)行觀察、測試、度量、計(jì)算、歸納、類比、猜想、判斷、推廣、抽樣、檢驗(yàn)、逼近、模擬等數(shù)學(xué)化操作,經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)”的過程,是教師根據(jù)教學(xué)需要人為地有目的地、模擬地為學(xué)生創(chuàng)設(shè)積極的思維背景,使學(xué)生通過實(shí)際操作獲得數(shù)學(xué)體驗(yàn)的活動(dòng),其目的是讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中“學(xué)數(shù)學(xué)”、“用數(shù)學(xué)”.

本文以北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《認(rèn)識(shí)無理數(shù)》為例構(gòu)建數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng),以期加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念形成過程的教學(xué),提高學(xué)生的思維水平,準(zhǔn)確把握無理數(shù)概念的內(nèi)涵和外延,讓學(xué)生經(jīng)歷無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程,感知生活中確實(shí)存在不同于有理數(shù)的數(shù),從而產(chǎn)生探求的欲望,通過一系列的數(shù)學(xué)活動(dòng)使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的活力,讓數(shù)學(xué)概念課妙趣橫生.

2.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)設(shè)計(jì)

2.1 實(shí)驗(yàn)探究一：拼正方形之合二為一

如圖1是兩個(gè)邊長為1的正方形,你能通過剪一剪、拼一拼,設(shè)法得到一個(gè)大的正方形嗎?請(qǐng)同學(xué)們利用兩張正方形紙片完成探索.探索完成后請(qǐng)思考以下三個(gè)問題.

(1)設(shè)大正方形的邊長為a,則a滿足什么條件?

(2)a可能是整數(shù)嗎?請(qǐng)說出你的理由;

(3)a可能是分?jǐn)?shù)嗎?請(qǐng)說出你的理由.

實(shí)驗(yàn)探究報(bào)告一樣例

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)流程

step1首先讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的兩個(gè)邊長為1的正方形紙片和剪刀,獨(dú)立思考之后,動(dòng)手剪一剪,拼一拼,設(shè)法得到一個(gè)面積為2的正方形.然后再小組交流、討論,形成共識(shí)并對(duì)拼圖結(jié)果進(jìn)行展示,學(xué)生的做法可能有多種如圖2所示.

圖2

step3 通過以上三問發(fā)現(xiàn)歸納出實(shí)驗(yàn)結(jié)論：任何整數(shù)的平方還是整數(shù),任何最簡分?jǐn)?shù)的平方還是一個(gè)分?jǐn)?shù).因此,a既不是整數(shù),也不是分?jǐn)?shù),即a不是有理數(shù).

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生通過動(dòng)手拼圖、觀察、計(jì)算、思考、交流,感受無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程,感知生活中存在著不同于有理數(shù)的數(shù),即無理數(shù).

2.2 實(shí)驗(yàn)探究二：尋找非有理數(shù)

1.如圖3,請(qǐng)你計(jì)算以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是多少?設(shè)該正方形的邊長為b,則b應(yīng)滿足什么條件?b是有理數(shù)嗎?

2.如圖4是由16個(gè)邊長為1的小正方形拼成的,任意連接這些小正方形的若干個(gè)頂點(diǎn),可以得到一些線段,試分別找出兩條長度是有理數(shù)的線段和三條長度不是有理數(shù)的線段.

實(shí)驗(yàn)探究報(bào)告二樣例

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)流程

step1首先利用問題1讓學(xué)生借助勾股定理得出以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是5,該正方形的邊長b應(yīng)滿足條件b2=5,然后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)驗(yàn)探究一的分析方法進(jìn)行小組合作交流、討論,得出2＜b＜3(可提示學(xué)生結(jié)合直角三角形斜邊大于任一直角邊以及三角形三邊關(guān)系得到),從而得出b不是有理數(shù)的結(jié)論.

step2然后利用問題2引導(dǎo)學(xué)生在方格紙上獨(dú)立思考構(gòu)造直角三角形,借助勾股定理尋找不是有理數(shù)的線段,再小組交流、討論,達(dá)成共識(shí)后對(duì)部分同學(xué)的結(jié)果進(jìn)行展示.

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)意圖進(jìn)一步豐富無理數(shù)的實(shí)際背景,以幾何圖形為載體,借助勾股定理讓學(xué)生親歷無理數(shù)的尋找過程,體會(huì)到無理數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在,同時(shí)增添知識(shí)的趣味性,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

2.3 實(shí)驗(yàn)探究三：感受非有理數(shù)

2.請(qǐng)同學(xué)們?cè)僮孕袑憙蓚€(gè)分?jǐn)?shù),并將它化為小數(shù)的形式,觀察其小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字,是否仍具有問題1中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律?

實(shí)驗(yàn)探究報(bào)告三樣例

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)流程

step1首先讓學(xué)生把問題1中提供的幾個(gè)有理數(shù)化為小數(shù)形式,引導(dǎo)學(xué)生觀察這幾個(gè)小數(shù)的特征,得出這幾個(gè)有理數(shù)可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式.

step2 然后利用問題2讓學(xué)生自行構(gòu)造分?jǐn)?shù),并化為小數(shù)形式,通過觀察發(fā)現(xiàn)其仍具有問題1中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律后,再小組交流討論,讓學(xué)生感受到不同的分?jǐn)?shù)都能化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式.從而明確有理數(shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù),同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式.從而得出結(jié)論：有理數(shù)總可以用有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)表示.反過來,任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù).讓學(xué)生在腦海中建立有理數(shù)與“有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

step3 最后通過獲取新知“無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù).例如我們十分熟悉的圓周率π=3.14159265···就是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù),因此它是個(gè)無理數(shù).”自然就引出了無理數(shù)的概念.

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)意圖

通過讓學(xué)生動(dòng)手計(jì)算、觀察歸納、合作交流,把不同的有理數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù),進(jìn)而總結(jié)出有理數(shù)都可以化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù),從而得出無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù),因?yàn)樗鼈兓怀烧麛?shù)或分?jǐn)?shù),也就不是有理數(shù),從而引出新知——無理數(shù)的概念.

2.4 實(shí)驗(yàn)探究四：構(gòu)造無理數(shù)

1.兩人一組,合作進(jìn)行擲十面體骰子實(shí)驗(yàn)：一人負(fù)責(zé)擲骰子,另一人負(fù)責(zé)記錄骰子擲出的點(diǎn)數(shù).將第一次擲出的點(diǎn)數(shù)作為整數(shù)位,其后擲出的點(diǎn)數(shù)依次寫在小數(shù)位,即可寫出一個(gè)不斷延伸的小數(shù).請(qǐng)將你的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)填寫在實(shí)驗(yàn)記錄表中.如果骰子不斷的擲下去,那么將會(huì)得到一個(gè)無限小數(shù),那么這個(gè)無限小數(shù)有何特點(diǎn)?它是無理數(shù)嗎?

2.請(qǐng)觀察無限小數(shù) 0.585885888588885···(其構(gòu)造方法為,相鄰兩個(gè)5之間的8的個(gè)數(shù)逐次加1),那么這個(gè)無限小數(shù)有何特點(diǎn)?它是無理數(shù)嗎?你能根據(jù)類似方法構(gòu)造一個(gè)這樣的數(shù)嗎?

實(shí)驗(yàn)探究報(bào)告四樣例

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)流程

step1首先讓學(xué)生兩人一組,合作進(jìn)行擲十面體骰子實(shí)驗(yàn),讓學(xué)生親身感受擲出的點(diǎn)數(shù)是沒有任何規(guī)律可循的,如果骰子不斷的擲下去,那么將會(huì)得到一個(gè)無限小數(shù),而這樣的小數(shù)是不循環(huán)的,從而得出結(jié)論：通過這種方式構(gòu)造的數(shù)是一個(gè)無理數(shù).通過這個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)使學(xué)生經(jīng)歷無理數(shù)的構(gòu)造過程,加深對(duì)無理數(shù)無限不循環(huán)這一特征的認(rèn)識(shí).

step2讓學(xué)生通過觀察無限小數(shù)0.585885888588885···(其構(gòu)造方法為,相鄰兩個(gè)5之間的8的個(gè)數(shù)逐次加1)讓學(xué)生明確,雖然這類小數(shù)的數(shù)字有規(guī)律可循,但卻不是循環(huán)的,從而也是無理數(shù).最后激勵(lì)學(xué)生利用這種方法去構(gòu)造一個(gè)無理數(shù),使其更加全面的認(rèn)識(shí)無理數(shù)的概念.

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)意圖通過讓學(xué)生擲骰子寫小數(shù),構(gòu)造像0.58588588···這樣的小數(shù),體會(huì)無限不循環(huán)小數(shù)是真實(shí)存在的,而且按照以上兩種方法很容易就可以構(gòu)造出來.讓學(xué)生通過這個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)更加全面的認(rèn)識(shí)無理數(shù)的概念.

2.5 上機(jī)實(shí)驗(yàn)—-估算無理數(shù)的近似值

為了探索出面積為2的正方形的邊長a的值究竟是多少,小明利用Excel軟件的計(jì)算功能進(jìn)行了一系列的探索,他的探索過程如下：

首先,他通過實(shí)驗(yàn)探究一知道,面積為2的正方形的邊長a的大小介于1與2之間,即1＜a＜2.從而獲知a的整數(shù)部分是1,為了確定a的十分位上的數(shù)字,小明利用Excel軟件的計(jì)算功能分別計(jì)算了1至2中的9個(gè)數(shù)字1.1,1.2,1.3,···,1.9 的平方,如下表 1：

表1

從表1可知1.42=1.96＜2,1.52=2.25＞2,所以,1.4＜a＜1.5.即a的十分位上的數(shù)字是4.

緊接著為了確定a的百分位上的數(shù)字,小明再次利用Excel軟件的計(jì)算功能分別計(jì)算了1.4至1.5中的9個(gè)數(shù)字1.41,1.42,1.43,···,1.49 的平方,如下表 2：

從表2可知1.412=1.9881＜2,1.422=2.016＞2,所以,1.41＜a＜1.42.即a的百分位上的數(shù)字是1.

······

小明利用這種方法將他的探索結(jié)果整理如下表所示：

邊長a 面積S=a2=2 1＜a＜2 1＜S＜4 1.4＜a＜1.5 1.96＜S＜2.25 1.41＜a＜1.42 1.9881＜S＜2.0164 1.414＜a＜1.415 1.999396＜S＜2.002225 1.4142＜a＜1.4143 1.99996164＜S＜2.00024449······

小明發(fā)現(xiàn)這一探索過程可以永無止境的進(jìn)行下去,a=1.41421356···是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù).

請(qǐng)同學(xué)們參考小明的方法估計(jì)面積為5的正方形的邊長b的值,要求結(jié)果精確到0.001.

上機(jī)實(shí)驗(yàn)報(bào)告樣例

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)流程

step1首先讓學(xué)生獨(dú)自閱讀小明的探索方法,體會(huì)逐次逼近法的思想原理,相互交流各自的感悟.

step2給學(xué)生演示如何利用Excel軟件的計(jì)算功能快速的進(jìn)行計(jì)算.

step3指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行上機(jī)實(shí)驗(yàn),并完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告.

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)意圖通過利用逐次逼近法對(duì)面積為2的正方形的邊長a這一無理數(shù)的值進(jìn)行估算讓學(xué)生體會(huì)無限逼近的數(shù)學(xué)思想.讓學(xué)生明白當(dāng)用“逐次逼近法”來解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí),首先從一個(gè)與該問題的實(shí)質(zhì)內(nèi)容有著本質(zhì)聯(lián)系的較大范圍開始進(jìn)行解決,再逐步縮小范圍,逐步逼近,以致最后達(dá)到問題所要求的解.最后通過讓學(xué)生進(jìn)行上機(jī)實(shí)驗(yàn)求解面積為5的正方形的邊長b的近似值這一實(shí)踐活動(dòng),加深學(xué)生對(duì)無限逼近的數(shù)學(xué)思想理解.

3.結(jié)束語

本文通過設(shè)計(jì)一系列的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng),旨在吸引學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、觀察發(fā)現(xiàn)、猜想驗(yàn)證,合作交流,在已有的對(duì)有理數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上去發(fā)現(xiàn)新知識(shí)無理數(shù),探索無理數(shù)的特征,在實(shí)驗(yàn)中讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生過程,尋找數(shù)學(xué)問題的規(guī)律,以期達(dá)到提高學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析、歸納及創(chuàng)新思維的能力的目的.