回路成型最優(yōu)設(shè)計方法在X-29驗證機中的應(yīng)用

劉 瀏

（江蘇金陵機械制造總廠，南京 211100）

由于飛行器具備非常廣泛的應(yīng)用，最近幾十年來，受到了各研究機構(gòu)的高度關(guān)注。飛行器是非常復(fù)雜的動力學(xué)系統(tǒng)，具有非線性、高耦合、時變等特性，使得為飛行器設(shè)計相應(yīng)的控制系統(tǒng)變得非常困難[1]。而驗證機則是一種用于測試新技術(shù)可行性的試驗型飛機，它所使用的技術(shù)往往綜合了各學(xué)科最新最前沿的技術(shù)，目的是為了驗證各單項技術(shù)的相容性和綜合技術(shù)方案的可行性[2]。只有經(jīng)過驗證機驗證過的技術(shù)，才能安全地應(yīng)用于其他飛機上，這樣做不僅減少了型號研制的風(fēng)險，而且可以提高科研投資的效費比[3]。

近年來，在各研究機構(gòu)的努力下，用于飛行器的控制方法有了很大的發(fā)展，并且出現(xiàn)了很多的成功應(yīng)用。卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的無人直升機研究組采用魯棒回路成形和增益調(diào)度的方法設(shè)計控制器[4]，并在雅馬哈R50上實現(xiàn)。喬治亞理工大學(xué)用近似逆模型加神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法設(shè)計控制器[5]，該控制器為多回路結(jié)構(gòu)，內(nèi)環(huán)為姿態(tài)控制環(huán)，外環(huán)是速度和位置速度環(huán)，該控制器的飛行包線很寬，并且具備良好的軌跡跟蹤性能，對飛行器參數(shù)的變化具備很好的魯棒性。斯坦福大學(xué)用強化學(xué)習(xí)的方法設(shè)計了一種控制器[6]，該方法首先通過學(xué)習(xí)建立飛行器的動力學(xué)模型，然后再通過學(xué)習(xí)的方法設(shè)計飛行器特技飛行控制器，該控制器能夠使飛機實現(xiàn)翻轉(zhuǎn)飛行等一系列特技動作。

在眾多的設(shè)計方法中，回路成型是比較受關(guān)注的設(shè)計方法[1，7-8]，該方法不僅能夠處理多輸入多輸出系統(tǒng)，還能處理系統(tǒng)模型中的不確定性，有較為固定的設(shè)計步驟，設(shè)計過程比較簡單，并且使用穩(wěn)定裕度作為設(shè)計目標(biāo)，設(shè)計任務(wù)明確。

1 系統(tǒng)建模

X-29是X系列試驗飛行器中十分重要的一員，用于試驗前掠翼技術(shù)以及為達到下一代戰(zhàn)斗機所要求的高機動性、輕重量、低成本、高效率而應(yīng)用的其它先進技術(shù)[9-11]。前掠翼布局具有優(yōu)越的氣動性能，可大大提高飛機的低速操縱性能，顯著減小跨聲速飛行時的阻力并增強機動性，在大迎角下具有良好的失速特性和橫航向可控制性[12-13]。

X-29的簡化系統(tǒng)模型[14-15]如圖1所示，控制方式為由鴨翼和襟副翼來控制傾斜角和攻擊角，傾斜角θ是機軸與水平線的夾角，攻擊角α是機軸與飛機速度之間的夾角，飛行路徑角γ＝θ-α是速度與水平線之間的夾角，三者之間的關(guān)系如圖2所示。

圖1 X-29簡化系統(tǒng)模型Fig.1 Simplified system model of X-29

圖2 傾斜角、攻擊角和飛行路徑角Fig.2 Pitch angle，attack angle and flight angle

在文獻[16]中，建立了3種不同的系統(tǒng)模型，第一種是以鴨翼的轉(zhuǎn)動作為輸入，以攻擊角的變化作為輸出。第二種是以鴨翼的轉(zhuǎn)動作為輸入，以傾斜角的變化作為輸出。第三種是以鴨翼和襟副翼的變化作為輸入來控制傾斜角和攻擊角的變化。在本文中，考慮第一種系統(tǒng)模型，建模為一個單輸入單輸出系統(tǒng)，被控對象簡化模型的傳遞函數(shù)為[17]

由于系統(tǒng)是不穩(wěn)定的和非最小相位的，因而設(shè)計控制器使得系統(tǒng)穩(wěn)定并具有一定的性能指標(biāo)比較困難。

2 控制器的設(shè)計

本文采用最簡單的回路成型設(shè)計方法，在保持系統(tǒng)內(nèi)穩(wěn)定要求的前提下設(shè)計一個最小控制誤差的控制器，圖3是一個典型的單輸入單輸出系統(tǒng)，其中 C（s）為所設(shè)計的飛行器控制器，P（s）為被控驗證機的系統(tǒng)模型，取回路開環(huán)傳遞函數(shù)為[17]

圖3 閉環(huán)控制系統(tǒng)Fig.3 Closed-loop control system

飛行器控制系統(tǒng)有2個性能要求，在保證系統(tǒng)是內(nèi)穩(wěn)定的條件下使得‖S‖∞是最小的。根據(jù)性能要求建立的代價函數(shù)為

作為控制系統(tǒng)，首先要保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，在穩(wěn)定基礎(chǔ)上才能保證系統(tǒng)的其他性能要求。系統(tǒng)回路參數(shù)ωc的選擇范圍可由勞斯穩(wěn)定判據(jù)來求得，控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

可以得到控制系統(tǒng)的特征多項式為

式中：a3=0.016；a2=15.904-ωc；a1=10ωc-96；a0=96ωc

由勞斯穩(wěn)定判據(jù)得：

由此可以得到使系統(tǒng)內(nèi)穩(wěn)定的ωc取值范圍為9.85＜ωc＜15.5。進一步簡化帶約束條件的最優(yōu)控制器性能代價函數(shù)為

在Matlab中，我們先用無窮范數(shù)命令norm（F，inf）來對靈敏度函數(shù)S進行處理，求出帶參的無窮模函數(shù)，然后以這個關(guān)于ωc的函數(shù)作為簡化的性能代價函數(shù)，求出最優(yōu)的控制器參數(shù)，部分Matlab代碼為

然后把得到的關(guān)于ωc的函數(shù)作為新目標(biāo)函數(shù)，求出它的帶約束最優(yōu)解：

得到最優(yōu)控制器的參數(shù)為

對于求解上述的最優(yōu)控制器設(shè)計問題，因為含有2個變量，且系統(tǒng)階數(shù)較高，不易通過求導(dǎo)方式得到。所以，在本文中，我們使用Matlab最優(yōu)化工具箱中的fimincon（）函數(shù)來求解該最優(yōu)控制器設(shè)計問題，該函數(shù)的調(diào)用格式為

所以可以得出當(dāng)ωc=13.0677時，靈敏度函數(shù)的無窮模‖S‖∞有最小值為13.4262。

此時最優(yōu)控制器的表達式為

控制器參數(shù)最優(yōu)整定算法流程為

3 仿真試驗結(jié)果

圖4 回路傳遞函數(shù)波特圖Fig.4 Bode of loop transfer function

在滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性和性能指標(biāo)的前提下，ωc越大，性能越好，因為這樣可以在更寬的頻率范圍內(nèi)較小。

當(dāng)ωc＝13.0677時，靈敏度函數(shù)和補靈敏度函數(shù)的波特圖如圖5所示，從圖中可以看到，在ωc＝13.0677的條件下，靈敏度函數(shù)的剪切頻率約為7.37 rad/s，相角裕度約為207°，在頻率為22.5 rad/s時取得幅值22.6 dB，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性的要求。

圖5 靈敏度函數(shù)和補靈敏度函數(shù)波特圖Fig.5 Bode of sensitivity function and complementary sensitivity function

當(dāng) ωc取 10，11，12，13，14，15 時的靈敏度函數(shù)無窮模和波特圖如表1和圖6所示，從中可以看出當(dāng)ωc=13.0677時靈敏度函數(shù)幅值的無窮模是最小的，誤差傳遞函數(shù)的諧振峰值Mr達到最小說明對于跟蹤誤差的穩(wěn)定性也是最好的，達到了最優(yōu)的控制器設(shè)計性能指標(biāo)。

表1 靈敏度函數(shù)的無窮模Tab.1 Infinite norm of sensitivity function

圖6 不同取值時的靈敏度函數(shù)波特圖Fig.6 Bode of sensitivity function under different parameters

圖 7 為 ωc取 10，11，12，13，14，15 時的閉環(huán)系統(tǒng)波特圖，表2為閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性。從圖7和表2中可以看到，當(dāng)ωc=13.0677時，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的諧振峰值也是最小的，這表明系統(tǒng)的阻尼系數(shù)較小，階躍響應(yīng)的超調(diào)較小，因而系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性也越好。

圖7 不同取值時的閉環(huán)系統(tǒng)波特圖Fig.7 Bode of closed-loop system under different parameters

表2 不同取值時的閉環(huán)傳遞函數(shù)特性Tab.2 Characteristics of closed-loop transfer function under different parameters

當(dāng) ωc取 11，12，13，14 時的閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)、脈沖響應(yīng)和斜坡響應(yīng)如圖8～圖10所示。從圖中我們可以看出，對于脈沖和單位階躍輸入，閉環(huán)控制系統(tǒng)能夠很好地消除穩(wěn)態(tài)誤差。而對于單位斜坡輸入，雖然不能完全消除穩(wěn)態(tài)誤差，但是當(dāng)ωc＝13.0677時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是最小的。同時考慮系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量，得出當(dāng)ωc＝13.0677時系統(tǒng)的綜合性能指標(biāo)是最好的。

圖8 不同參數(shù)時閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)Fig.8 Step responses of closed-loop system under different parameters

圖9 不同參數(shù)時閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)Fig.9 Impulse responses of closed-loop system under different parameters

圖10 不同參數(shù)時閉環(huán)系統(tǒng)的斜坡響應(yīng)Fig.10 Slope responses of closed-loop system under different parameters

4 結(jié)語

本文首先對X-29前掠翼驗證機進行了分析與建模，在所建立的不穩(wěn)定和非最小相位模型上，利用回路成型的方法設(shè)計了在約束條件下的最優(yōu)化控制器，在滿足系統(tǒng)內(nèi)穩(wěn)定的條件下盡可能地減少了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，達到了要求的性能指標(biāo)，并通過Matlab驗證和比較了所設(shè)計控制器，分析了系統(tǒng)的控制特性。仿真試驗結(jié)果表明所設(shè)計的控制器具備良好的穩(wěn)定性、跟蹤性和干擾抑制特性。

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