求解多波次聯(lián)合火力打擊武器

針對多波次聯(lián)合火力打擊武器—目標(biāo)分配問題，本文設(shè)計(jì)了JMMRE（Maximum Marginal Return Expectation in Joint Fire Strike）算法，用以求解多波次聯(lián)合火力打擊的武器—目標(biāo)分配方案，重點(diǎn)解決的是在籌劃多波次武器—目標(biāo)分配方案時(shí)，如何使第一波次打擊的作戰(zhàn)效益盡可能大同時(shí)兼顧后續(xù)波次打擊，使得整體作戰(zhàn)效益達(dá)到最大。

【關(guān)鍵詞】聯(lián)合火力打擊 武器—目標(biāo)分配 多波次

1 引言

多波次聯(lián)合火力打擊武器—目標(biāo)分配（Weapon-Target Assignment，簡稱WTA）問題，是研究在聯(lián)合火力打擊作戰(zhàn)樣式的背景下，根據(jù)作戰(zhàn)目的、當(dāng)前態(tài)勢、目標(biāo)特性和武器系統(tǒng)的技戰(zhàn)術(shù)指標(biāo)等因素，把具有不同作戰(zhàn)效能的武器分多個(gè)波次，用于打擊合適的目標(biāo)，以取得最佳作戰(zhàn)效益的問題。

在我軍面對強(qiáng)敵的聯(lián)合火力打擊作戰(zhàn)中，敵我雙方實(shí)力相當(dāng)、我方武器數(shù)量有限、敵方的目標(biāo)情況不能完全確定且具有一定反制能力，這就需要我方根據(jù)瞬息萬變的戰(zhàn)場情況，針對被修復(fù)目標(biāo)或新發(fā)現(xiàn)目標(biāo)等情況不斷調(diào)整武器—目標(biāo)分配方案，必須從一開始就統(tǒng)籌考慮多波次打擊下的武器—目標(biāo)分配方案。如果只考慮單波次的武器—目標(biāo)分配作戰(zhàn)效益最大化，就很可能造成后續(xù)波次打擊武器資源不足，影響整個(gè)作戰(zhàn)過程取得最佳效益，甚至不能完成后續(xù)波次的必要打擊任務(wù)。同理，如果在多波次打擊中僅考慮使每一個(gè)單波次的作戰(zhàn)效益最大（即按照“多個(gè)單波次”來考慮武器—目標(biāo)分配），而不為后續(xù)波次的打擊預(yù)留下合理數(shù)量的武器資源，不僅會(huì)造成作戰(zhàn)效費(fèi)比低，也會(huì)影響整體作戰(zhàn)效益。

本文以我軍面對強(qiáng)敵的聯(lián)合火力打擊作戰(zhàn)為背景，以多波次聯(lián)合火力打擊中的武器—目標(biāo)分配問題為研究對象，對求解武器—目標(biāo)分配方案的算法進(jìn)行了系統(tǒng)研究，旨在為聯(lián)合戰(zhàn)役指揮員在聯(lián)合火力打擊作戰(zhàn)中籌劃武器—目標(biāo)分配方案提供參考。重點(diǎn)解決的是在籌劃多波次武器—目標(biāo)分配方案時(shí)，如何使第一波次打擊的作戰(zhàn)效益盡可能大同時(shí)兼顧后續(xù)波次打擊，使得整體作戰(zhàn)效益達(dá)到最大。

武器—目標(biāo)分配問題的研究歷史可追溯到20世紀(jì)50年代。美國的G.G. denBroeder等[1]在1959年提出了一種優(yōu)化目標(biāo)分配的方法。在現(xiàn)代信息化戰(zhàn)爭條件下，武器—目標(biāo)分配問題的研究目的是當(dāng)武器和目標(biāo)數(shù)量都很龐大時(shí)，能夠通過相應(yīng)模型快速有效地求解出武器—目標(biāo)的分配方案，從而提高戰(zhàn)場指揮控制的效率。

1988年12月，Kolitz[2]提出一個(gè)針對武器—目標(biāo)分配問題的啟發(fā)式算法。該算法以使敵方目標(biāo)體系總價(jià)值的減少量作為作戰(zhàn)效益的衡量指標(biāo)，用于給每個(gè)武器分配能使其取得最大作戰(zhàn)效益的目標(biāo)，并將每一步驟的目標(biāo)函數(shù)設(shè)置為敵方總的目標(biāo)存活期望的邊際減少量，因此被稱為“最大邊際回報(bào)（Maximum Marginal Return，簡稱MMR）算法”。

美軍空軍研究所的Ahner等人在此基礎(chǔ)上提出了MMR Plus算法[3]。其將目標(biāo)出現(xiàn)分為兩個(gè)波次，其中第一波次的目標(biāo)信息已知而第二波次的信息未知，僅得知概率分布。為在此情況下求解問題，MMR Plus算法以MMR算法為基礎(chǔ)，將所有第二波次新出現(xiàn)的目標(biāo)看作一個(gè)整體，進(jìn)而可以并入MMR算法中進(jìn)行求解。

2 CAVE算法

根據(jù)MMR Plus算法的模型假設(shè)[3]，第二波次新出現(xiàn)目標(biāo)的具體信息未知，已知條件僅有其概率分布，直接對概率分布進(jìn)行解析求解的計(jì)算量過于龐大，為了用較少的時(shí)間取得近似解，可以將第二波次看作一個(gè)整體，使用收益估值函數(shù)來表示給第二波次預(yù)留武器數(shù)量與帶來收益的關(guān)系。由于解析求解的具體形式也會(huì)帶來龐大的計(jì)算量，故使用CAVE算法[4]來近似計(jì)算，即使用分段線性函數(shù)來對進(jìn)行擬合，在迭代過程中不斷更新近似函數(shù)的分段斜率直至收斂，以此得到的近似表達(dá)形式。

CAVE算法使用分段線性函數(shù)來對函數(shù)進(jìn)行近似。算法使用一組橫坐標(biāo)上的點(diǎn)uk以及每個(gè)點(diǎn)處的斜率vk來表示分段線性函數(shù)。uk和vk需要再迭代更新，每次迭代中使用uk和vk表示的近似函數(shù)計(jì)算出在已知點(diǎn)處的函數(shù)值，再以函數(shù)值的左右導(dǎo)數(shù)對uk和vk進(jìn)行更新，直至收斂。這是一種快速且有效的近似算法，在研究動(dòng)態(tài)武器—目標(biāo)分配問題的過程中被廣泛應(yīng)用。

針對本文所述的問題，uk初始設(shè)置為uk=k， k=0，…， Mtotal，其中Mtotal表示所有種類武器的總數(shù)量， vk初始設(shè)置為0。在每一次迭代中，首先通過uk和vk表示的近似函數(shù)算出預(yù)留給新出現(xiàn)目標(biāo)的武器數(shù)量x3，再對第二波次新增目標(biāo)概率分布Ω進(jìn)行一次隨機(jī)采樣，生成出一組實(shí)際的目標(biāo)分布ω。隨后計(jì)算價(jià)值函數(shù)在x3點(diǎn)處的左右斜率，即

通過上述步驟可以求得一組新的斜率數(shù)組vk，即得到了新的函數(shù)的近似函數(shù)。將更新后的近似函數(shù)繼續(xù)代入JMMRE算法（詳見下一節(jié)）進(jìn)行計(jì)算，可以得出新的用于第二波次新出現(xiàn)目標(biāo)的預(yù)留武器數(shù)量x4，再利用該點(diǎn)處的左右斜率對數(shù)組vk進(jìn)行更新。重復(fù)上述迭代，直至uk和vk收斂到逼近函數(shù)的實(shí)際值，進(jìn)而完成了CAVE算法的計(jì)算，即利用uk和vk表示的分段線性函數(shù)來得到函數(shù)的近似估計(jì)。

3 JMMRE算法

為了求解多波次聯(lián)合火力打擊武器—目標(biāo)分配方案，本文設(shè)計(jì)了一種適用于聯(lián)合火力打擊的最大邊際回報(bào)期望（Maximum Marginal Return Expectation in Joint Fire Strike，簡稱為JMMRE）算法。

JMMRE算法與MMR Plus[36]算法采用了相類似的思路，即將所有在某一波次打擊前新增的目標(biāo)看作一個(gè)整體。不同之處在于，本文需要求解的問題不僅需要考慮多種武器（MMR Plus算法求解時(shí)簡化為同種武器，實(shí)際作戰(zhàn)中極少出現(xiàn)只有一種武器投入使用的情況），每種武器對每種目標(biāo)都有獨(dú)立的毀傷概率和單次毀傷程度，更需要考慮到部分目標(biāo)會(huì)在后續(xù)波次被敵方搶修恢復(fù)。由此可見，問題求解的整體難度大于MMR Plus算法所求解的問題。endprint

輪次和波次劃分是由指揮員及指揮機(jī)關(guān)確立的，為了便于論述，不妨將下文涉及的打擊波次定為第一輪次的前三個(gè)波次。由于在本文所研究問題中存在敵方可對部分目標(biāo)修復(fù)以及第一波次攻擊加成的條件，故將每個(gè)目標(biāo)在各個(gè)波次視作不同的目標(biāo)以便問題求解。在下文表述中，“第一波次目標(biāo)”至“第三波次目標(biāo)”均指代同一組實(shí)際目標(biāo)，僅在算法求解層面將其在第一波次和后續(xù)波次中視作不同的目標(biāo)，而“新出現(xiàn)目標(biāo)”則指在后續(xù)波次新出現(xiàn)的目標(biāo)，這些出現(xiàn)在那些并不影響算法可行性，為便于論述，不妨假設(shè)其出現(xiàn)于第三波次打擊前。

令xj=1，…，N表示對N個(gè)目標(biāo)在第一波次的武器分配數(shù)量，xj=N+1，…，N*2 表示對N個(gè)目標(biāo)在第二波次的武器分配數(shù)量，xj=N*2+1，…，N*3表示對N個(gè)目標(biāo)在第三波次的武器分配數(shù)量，其中，xN+K，K=1，…，N表示第K個(gè)目標(biāo)在第二波次所得到的武器分配，xN*2+K，K=1，…，N表示第K個(gè)目標(biāo)在第三波次所得到的武器分配，xN*3+1表示為第三波次新出現(xiàn)目標(biāo)預(yù)留的武器數(shù)量。

同樣地，MRj=1，….N*3+1數(shù)組的構(gòu)成規(guī)則與xj=1，….N*3+1數(shù)組一致，即MRj=1，…，N表示N個(gè)目標(biāo)在第一波次的剩余價(jià)值期望，MRj=N+1，…，N*2表示N個(gè)目標(biāo)在第二波次的剩余價(jià)值期望，MRj=N*2+1，…，N*3表示N個(gè)目標(biāo)在第三波次的剩余價(jià)值期望，其中xN+K，K=1，…，N對應(yīng)第K個(gè)目標(biāo)。MRN*3+1表示為第三波次新出現(xiàn)目標(biāo)多預(yù)留一枚武器所帶來的邊界收益。此處MRj=1，….N*3+1數(shù)組表示對應(yīng)目標(biāo)的剩余價(jià)值期望，單個(gè)武器分配后實(shí)際的邊界收益需要在STEP 2（詳見本節(jié)表1中STEP 2）里單獨(dú)計(jì)算。

JMMRE算法可用偽代碼的方式表述如表1所示。

在JMMRE算法偽代碼中，假設(shè)針對第三波次新出現(xiàn)目標(biāo)分配武器的收益估值函數(shù)已知。在STEP 1的初始化過程中，xj=1，…，N*3+1數(shù)組表示對每個(gè)目標(biāo)的武器分配情況。初始化完成后對每個(gè)武器分配情況進(jìn)行最大邊界收益計(jì)算。在STEP 2中，算法為當(dāng)前武器分別計(jì)算了分配給第一波次目標(biāo)、第二波次目標(biāo)、第三波次目標(biāo)以及新出現(xiàn)目標(biāo)的邊界收益，并選取其中的最大值。

具體來說，將該武器分配給第一波次的目標(biāo)所能達(dá)到的最大邊界收益mr1表示為：

令mr4則表示預(yù)留給第三波次新增目標(biāo)所帶來的邊界收益。本文所研究的聯(lián)合火力打擊主要由常規(guī)導(dǎo)彈力量和航空兵力量組成。由于常規(guī)導(dǎo)彈力量和航空兵力量作戰(zhàn)各有特點(diǎn)，為了貼近作戰(zhàn)實(shí)際，本文在得到各個(gè)階段的最大邊界收益之后，需要針對當(dāng)前打擊力量類型來進(jìn)行不同處理?；鸺姷年懟Ｒ?guī)導(dǎo)彈在作戰(zhàn)中是置于發(fā)射架上發(fā)射的，通常發(fā)射架上會(huì)有一枚導(dǎo)彈作為待發(fā)狀態(tài)，待發(fā)射后，再裝填上配給該發(fā)射架的下一枚導(dǎo)彈。航空兵的飛機(jī)在執(zhí)行完打擊任務(wù)后，也需要一定的準(zhǔn)備時(shí)間后才可再次出動(dòng)作戰(zhàn)。本文假設(shè)常規(guī)導(dǎo)彈力量同一個(gè)發(fā)射架發(fā)射導(dǎo)彈后在下一波次可繼續(xù)發(fā)射，航空兵力量同一架飛機(jī)出動(dòng)后需要隔一個(gè)波次后才能再次出動(dòng)。由于本文假設(shè)作戰(zhàn)分為三個(gè)波次，在不影響算法有效性的前提下為了方便敘述，不妨令每個(gè)發(fā)射架配備兩枚導(dǎo)彈。

如果當(dāng)前待分配武器屬于常規(guī)導(dǎo)彈力量（指單個(gè)導(dǎo)彈發(fā)射架），按本文假設(shè)，該武器可以在兩個(gè)不同的波次發(fā)射兩次，因此需要在mr1、mr2、mr3、mr4中選取擁有最大收益的兩個(gè)目標(biāo)來進(jìn)行分配，即求解下式得到對于該武器的最優(yōu)目標(biāo)分配。

如果當(dāng)前待分配武器屬于航空兵力量（指單架飛機(jī)），按本文假設(shè)，分為兩種情況。情況1：若該武器在第一波次中參與攻擊，可以在第三波次再次出動(dòng)打擊，情況2：若該武器用于第二波次攻擊，則在第三波次無法參戰(zhàn)。因此需要根據(jù)能否在打擊時(shí)間段內(nèi)具有再次出動(dòng)攻擊的能力作區(qū)分處理。對于屬于情況1的武器，則在mr1到mr4中選取擁有最大收益的目標(biāo)即可。而對于屬于情況2的武器，則需要在mr1和mr2中挑選擁有最大值的單位作為第一次攻擊的目標(biāo)，并且在mr3和mr4中挑選擁有最大值的單位作為第二次攻擊的目標(biāo)。

通過上述步驟可以求得每個(gè)武器分配后擁有最大收益的目標(biāo)。隨后，在STEP 3中需要對這些目標(biāo)的武器分配情況和剩余價(jià)值進(jìn)行更新。

用xk=xk+1表示為該目標(biāo)分配了一個(gè)武器。如果K≤N，表示該目標(biāo)是第一波次目標(biāo)，首先要更新該目標(biāo)的剩余價(jià)值。剩余價(jià)值的更新后的值為：，其中，MRk表示當(dāng)前目標(biāo)的剩余價(jià)值，表示打擊后的殘留度期望。

如果該目標(biāo)在第二波次不可修復(fù)，則意味著當(dāng)前的打擊損毀需要反映到其在第二波次對應(yīng)的目標(biāo)上。因?yàn)槎咂鋵?shí)是同一個(gè)實(shí)際目標(biāo)，在第一波次打擊造成的損毀會(huì)延續(xù)到第二波次，因此需要使用

如果，表示該目標(biāo)是第二波次目標(biāo)，則只需要更新自身的剩余價(jià)值MRk即可，更新方法與第一波次目標(biāo)類似，不同之處僅在于毀傷程度沒有受到第一波次毀傷加成系數(shù)B的作用。如果，，亦同理。

如果，表示武器被預(yù)留給了第三波次新出現(xiàn)目標(biāo)，因此使用為第三波次新出現(xiàn)目標(biāo)分配武器的收益估值函數(shù)對MRN*3+1進(jìn)行更新。通過上述步驟完成對該武器的分配后，將對應(yīng)的數(shù)值進(jìn)行更新。隨后將i=i+1，繼續(xù)循環(huán)直到所有的武器分配完畢。

結(jié)合上文論述，得出求解多波次聯(lián)合火力打擊武器—目標(biāo)分配方案的步驟偽代碼如表2所示。

4 總結(jié)與展望

本文為求解多波次聯(lián)合火力打擊武器—目標(biāo)分配方案設(shè)計(jì)了JMMRE算法，下一步將設(shè)計(jì)一個(gè)多波次聯(lián)合火力打擊行動(dòng)的案例，用JMMRE算法求出武器—目標(biāo)分配方案，算出總作戰(zhàn)效益，再通過與利用MMR算法求解的多個(gè)單波次的靜態(tài)武器—目標(biāo)分配方案取得的總作戰(zhàn)效益相對比，驗(yàn)證本文提出的JMMMR算法的合理性和可行性。由于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)涉及軍事機(jī)密，故該實(shí)驗(yàn)結(jié)果不在本文進(jìn)行闡述。

本文針對多波次聯(lián)合火力打擊武器—目標(biāo)分配方案的優(yōu)化進(jìn)行了初步探索，但仍然存在諸多不足，具體包括：

（1）本文默認(rèn)可修復(fù)目標(biāo)在后續(xù)波次打擊中會(huì)完全恢復(fù)。進(jìn)一步研究中可以考慮在解決方案中引入敵方可修復(fù)目標(biāo)的恢復(fù)率；

（2）本文未考慮敵方的反擊能力，聯(lián)合火力打擊是雙方對抗性的作戰(zhàn)行動(dòng)，敵方的反擊或反制行動(dòng)對我方的進(jìn)攻會(huì)產(chǎn)生相當(dāng)影響。在進(jìn)一步研究中，可以嘗試將敵方的反擊或反制能力納入模型中進(jìn)行考慮。

參考文獻(xiàn)

[1]Broeder G G D，Ellison R E，Emerling L.On Optimum Target Assignment[J].Operations Research，1959，7（03）：322-326.

[2]S.E.Kolitz.Analysis of a maximum marginal return assignment algorithm[J].Decision and Control，1988：2431-2436.

[3]Darryl K.Ahner，Carl R.Parson. Optimal multi-stage allocation of weapons to targets using adaptive dynamic programming[J].Optim Lett，2015（09）：1689-1701.

[4]Godfrey.G.，Powell.W.B.An adaptive，distribution-free algorithm for the newsvendor problem with censored demands，with applications to inventory and distribution[J]. Manag Sci，2001，47（08）：1101-1112.

作者簡介

倪霄漢（1990-），男，國防大學(xué)研究生院十八隊(duì)碩士研究生，上尉。

江澤強(qiáng)（1990-），男，國防大學(xué)研究生院十八隊(duì)碩士研究生，技術(shù)上尉。

作者單位

國防大學(xué) 北京市 100091endprint