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    標(biāo)度變換后Lorenz混沌系統(tǒng)的同步實(shí)現(xiàn)

    2018-01-17 09:42:21黃小娜石玉軍
    關(guān)鍵詞:標(biāo)度觀測器保密

    熊 麗, 黃小娜, 石玉軍

    (1.河西學(xué)院 物理與機(jī)電工程學(xué)院, 甘肅 張掖 734000;2.復(fù)旦大學(xué) 專用集成電路與系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200433)

    混沌同步是實(shí)現(xiàn)混沌保密通信的關(guān)鍵性問題,對混沌同步的研究具有廣闊的應(yīng)用前景。自從Pecora[1]和Carrol[2]提出了一種驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步方案,并通過電子電路實(shí)現(xiàn)了混沌同步,使得對混沌控制與同步的研究成為了混沌研究領(lǐng)域的熱點(diǎn),使得混沌研究者們受到了極大的鼓舞,加快了混沌研究的速度。由于混沌運(yùn)動(dòng)蘊(yùn)含著大量的信息,在保密通信、圖像處理、激光物理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等諸多領(lǐng)域都具有廣闊的應(yīng)用前景,因而對混沌的理論研究發(fā)展到應(yīng)用研究必將會(huì)產(chǎn)生巨大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值。

    目前,研究人員對混沌同步已經(jīng)做了廣泛而深入的研究,提出并實(shí)現(xiàn)了自適應(yīng)同步、廣義同步、基于狀態(tài)觀測器同步、基于耦合控制的同步等不同類型的混沌同步[3-9]。近些年,混沌同步在保密通信領(lǐng)域的研究得到了快速發(fā)展,因?yàn)榛煦缤绞菍?shí)現(xiàn)混沌保密通信的必要條件[10-13]。鑒于混沌同步的最終目標(biāo)是使得兩個(gè)具有相同結(jié)構(gòu)的混沌系統(tǒng)在初始值或參數(shù)存在細(xì)小的差別時(shí),其相應(yīng)狀態(tài)的同步誤差趨近于零。所以,利用自同步方式實(shí)現(xiàn)的混沌保密通信系統(tǒng)或多或少都存在一定的保密性和安全性不足的問題。而實(shí)現(xiàn)混沌保密通信的關(guān)鍵任務(wù)是解決混沌同步問題,故在混沌同步領(lǐng)域仍有很多問題值得研究。

    本文主要研究標(biāo)度變換后的Lorenz混沌系統(tǒng)的同步問題,利用主動(dòng)控制法、自適應(yīng)控制法和基于狀態(tài)觀測器控制3種不同的方法分別實(shí)現(xiàn)標(biāo)度變換后的Lorenz混沌系統(tǒng)的同步,并用MATLAB軟件做了仿真實(shí)驗(yàn)。

    1 Lorenz方程的標(biāo)度變換

    基本Lorenz方程組如下:

    (1)

    圖1 基本Lorenz混沌系統(tǒng)的奇異吸引子三維相圖

    式中:x,y,z是該Lorenz方程的3個(gè)狀態(tài)變量;σ,ρ,β是該Lorenz方程的固定參數(shù)。當(dāng)取參數(shù)為σ=10,ρ=28,β=8/3時(shí),系統(tǒng)(1)是混沌的。其奇異吸引子三維相圖如圖1所示。

    對系統(tǒng)(1)的仿真結(jié)果進(jìn)行分析,觀察運(yùn)行結(jié)果中坐標(biāo)提供的信息,x軸顯示的范圍是0~60,y軸顯示的范圍是-40~40,z軸顯示的范圍是-40~40。若顯示xy和xz的乘積項(xiàng),則數(shù)值明顯會(huì)更大,如xy的乘積項(xiàng)大約是800,而xz的乘積項(xiàng)大約是900。因此,基本Lorenz方程的數(shù)值解是不便于使用通常電路元件實(shí)現(xiàn)的,或者說,如果把以上數(shù)據(jù)的數(shù)值理解為是電路的電壓的伏特?cái)?shù),則設(shè)計(jì)必然失敗。對于普通的混沌電路而言,方程(1)中的變量均為某個(gè)運(yùn)算放大器的輸出電壓,因而其變化范圍不能超過電源電壓的數(shù)值。但是,從圖1可以看出,基本Lorenz方程的數(shù)值解的各個(gè)變量的變化范圍很大。因此,系統(tǒng)(1)是不能夠使用通常的電路元器件來實(shí)現(xiàn)的。為了便于利用通常的電路元器件實(shí)現(xiàn)基本方程,在實(shí)際應(yīng)用中,往往需要將基本方程中變量的變化范圍進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。這就需要利用標(biāo)度變換的方法,即對原方程引入新變量:

    (2)

    以u、v、w表示的Lorenz方程(1)變成

    (3)

    即得

    (4)

    利用MATLAB軟件對系統(tǒng)(4)進(jìn)行仿真,得到相圖如圖2所示。由圖2可見,系統(tǒng)(4)中各個(gè)參數(shù)的數(shù)值變化范圍均在-10~+10 V以內(nèi)了。由此說明,經(jīng)過標(biāo)度變換之后的Lorenz混沌系統(tǒng)的各個(gè)變量的變化范圍都沒有超過電源電壓的數(shù)值,故在實(shí)際應(yīng)用中完全符合電路設(shè)計(jì)的要求。

    (a) x-y相圖 (b) x-z相圖 (c) y-z相圖圖2 標(biāo)度變換后的Lorenz混沌系統(tǒng)的相圖

    2 標(biāo)度變換后的Lorenz混沌系統(tǒng)的同步

    所謂同步是指某一系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡收斂于另一系統(tǒng),并相互保持一致的一種動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。若考慮如下兩個(gè)混沌系統(tǒng),其中一個(gè)混沌系統(tǒng)為

    (5)

    則系統(tǒng)(5)稱為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),或者在保密通信中稱為發(fā)射系統(tǒng)。而另一個(gè)混沌系統(tǒng)為

    (6)

    則系統(tǒng)(6)稱為響應(yīng)系統(tǒng),或者在保密通信中稱為接收系統(tǒng)。其中,N為任意一個(gè)控制器,t為時(shí)間,矢量X,Y∈Rn,且分別具有n維分量(x1,x2,…,xn)和(y1,y2,…,yn)。另外,以上兩個(gè)混沌系統(tǒng)(5)和(6)既可以是完全相同的,也可以是不相同的M(X,t)=M′(Y,t),但是這兩個(gè)混沌系統(tǒng)的初始條件都是不相同的。如果假設(shè)這兩個(gè)混沌系統(tǒng)是通過所設(shè)計(jì)的控制器U的某種方式相互聯(lián)系著,令X(t;t0,X0)和Y(t;t0,Y0)分別為系統(tǒng)(5)和(6)的解,并且滿足函數(shù)的光滑條件,則當(dāng)Rn的一個(gè)子集W(t0)存在時(shí),從而使得初始值滿足X0,Y0∈W(t0),那么,當(dāng)t→∞時(shí),如果存在

    ;t0,X0)-Y(t;t0,Y0)‖→0,

    (7)

    2.1 主動(dòng)控制同步法

    設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為

    (8)

    當(dāng)a=10,b=28,c=8/3時(shí),系統(tǒng)是混沌的。則響應(yīng)系統(tǒng)為

    (9)

    其中u1,u2,u3為控制器。

    (10)

    構(gòu)造如下控制器:

    (11)

    將(11)式代入(10)式,可得

    (12)

    圖3 主動(dòng)控制同步誤差曲線和波形圖

    2.2 自適應(yīng)同步法

    (13)

    參數(shù)自適應(yīng)律為

    (14)

    將式(13)代入式(10),得到

    (15)

    其中a1,b1,c1為待定的控制參數(shù)。令參數(shù)誤差為A=a-a1,B=b-b1,C=c-c1,則同步誤差系統(tǒng)變?yōu)?/p>

    (16)

    圖4 自適應(yīng)同步誤差曲線和波形圖

    2.3 基于狀態(tài)觀測器的混沌同步法

    基于狀態(tài)觀測器同步法具有如下優(yōu)點(diǎn):不需要計(jì)算條件李雅普諾夫指數(shù),工程上容易實(shí)現(xiàn),在很大的外部干擾下仍能保持同步。所謂狀態(tài)觀測器[14],就是一個(gè)在物理上可以實(shí)現(xiàn)且與被觀測系統(tǒng)同階的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),它在被觀測系統(tǒng)輸出信號(這里是可以物理測量到的)的驅(qū)動(dòng)下,實(shí)現(xiàn)所有的狀態(tài)變量或輸出都逼近于被觀測系統(tǒng)的狀態(tài)變量或輸出。同步狀態(tài)觀測器的數(shù)學(xué)定義和設(shè)計(jì)方案如下所述:

    若考慮一個(gè)非線性系統(tǒng)為

    (17)

    式中A∈Rn×n,Bi∈Rn×n(i=1,2,3,…),f:Rn→Rm(m≤n),其中fi(x)為非線性映射,Ax為系統(tǒng)的線性部分,Bifi(x)為系統(tǒng)的非線性部分,Bi為系統(tǒng)的常數(shù)矩陣。則式(17)的輸出為

    u1i=Kx+fi(x), (i=1,2,3,…)

    (18)

    其中K為待定系數(shù)。由式(17)和式(18)組成非線性系統(tǒng)

    (19)

    根據(jù)控制理論中的狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)方法,可構(gòu)造出式(19)的狀態(tài)觀測器為

    (20)

    A(y-x)+Bi[fi(y)-fi(x)]-Bi[-Kx-fi(x)+Ky+fi(y)]=

    A(y-x)+BiKx-BiKy=Ae-BiKe=

    [A-(B1+B2+B3+…)K]e,

    (21)

    f1(x)=x1x3,f2(x)=x1x2,u11=-Kx-f1(x),u12=-Kx-f2(x)。

    式(20)中的f1(y)=-y1y3,f2(y)=y1y2,u21=Ky+f1(y),u22=Ky+f2(y)。則響應(yīng)系統(tǒng)為

    (22)

    故稱系統(tǒng)(22)是系統(tǒng)(8)的一個(gè)狀態(tài)觀測器。用MATLAB及Simulink進(jìn)行仿真,取λ=(-5,-20+i,-20-i),則K=(1.4692,1.1247,-0.7294),取驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的初始值為x1(0)=5,x2(0)=3,x3(0)=-1,響應(yīng)系統(tǒng)的初始值為y1(0)=-3,y2(0)=-6,y3(0)=2,同步誤差曲線如圖5所示。從曲線圖可以看出,在短時(shí)間內(nèi),同步誤差e1、e2、e3就穩(wěn)定到零點(diǎn),即驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(8)和響應(yīng)系統(tǒng)(22)實(shí)現(xiàn)了狀態(tài)觀測器同步。圖5(d)為達(dá)到同步時(shí)變量x3和y3的波形圖,從圖中可以看出,兩個(gè)混沌系統(tǒng)的波形是相同的,即利用基于狀態(tài)觀測器的同步方法實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的混沌同步。

    圖5 基于狀態(tài)觀測器同步誤差曲線和波形圖

    3 結(jié) 論

    為了滿足實(shí)際應(yīng)用的需求和電路設(shè)計(jì)的要求,本文研究了標(biāo)度變換后的Lorenz混沌系統(tǒng),將其轉(zhuǎn)換成能夠使用通常電路元器件實(shí)現(xiàn)的混沌系統(tǒng),然后用主動(dòng)控制法、自適應(yīng)控制法和基于狀態(tài)觀測器控制3種方法分別實(shí)現(xiàn)了標(biāo)度變換后的Lorenz混沌系統(tǒng)的同步。理論分析和仿真結(jié)果都證明了所設(shè)計(jì)的這些同步方案的有效性和可行性,且可以應(yīng)用于混沌保密通信的設(shè)計(jì),為混沌保密通信的實(shí)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ),具有較高的實(shí)用價(jià)值。另外,將上述同步方法應(yīng)用到基于超混沌系統(tǒng)或復(fù)雜混沌系統(tǒng)的保密通信領(lǐng)域?qū)⑹俏覀兿乱徊窖芯康恼n題。

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