標(biāo)度變換后Lorenz混沌系統(tǒng)的同步實(shí)現(xiàn)

熊 麗， 黃小娜， 石玉軍

(1.河西學(xué)院 物理與機(jī)電工程學(xué)院， 甘肅 張掖 734000；2.復(fù)旦大學(xué) 專用集成電路與系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 上海 200433)

混沌同步是實(shí)現(xiàn)混沌保密通信的關(guān)鍵性問題，對混沌同步的研究具有廣闊的應(yīng)用前景。自從Pecora[1]和Carrol[2]提出了一種驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步方案，并通過電子電路實(shí)現(xiàn)了混沌同步，使得對混沌控制與同步的研究成為了混沌研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)，使得混沌研究者們受到了極大的鼓舞，加快了混沌研究的速度。由于混沌運(yùn)動(dòng)蘊(yùn)含著大量的信息，在保密通信、圖像處理、激光物理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等諸多領(lǐng)域都具有廣闊的應(yīng)用前景，因而對混沌的理論研究發(fā)展到應(yīng)用研究必將會(huì)產(chǎn)生巨大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值。

目前，研究人員對混沌同步已經(jīng)做了廣泛而深入的研究，提出并實(shí)現(xiàn)了自適應(yīng)同步、廣義同步、基于狀態(tài)觀測器同步、基于耦合控制的同步等不同類型的混沌同步[3-9]。近些年，混沌同步在保密通信領(lǐng)域的研究得到了快速發(fā)展，因?yàn)榛煦缤绞菍?shí)現(xiàn)混沌保密通信的必要條件[10-13]。鑒于混沌同步的最終目標(biāo)是使得兩個(gè)具有相同結(jié)構(gòu)的混沌系統(tǒng)在初始值或參數(shù)存在細(xì)小的差別時(shí)，其相應(yīng)狀態(tài)的同步誤差趨近于零。所以，利用自同步方式實(shí)現(xiàn)的混沌保密通信系統(tǒng)或多或少都存在一定的保密性和安全性不足的問題。而實(shí)現(xiàn)混沌保密通信的關(guān)鍵任務(wù)是解決混沌同步問題，故在混沌同步領(lǐng)域仍有很多問題值得研究。

本文主要研究標(biāo)度變換后的Lorenz混沌系統(tǒng)的同步問題，利用主動(dòng)控制法、自適應(yīng)控制法和基于狀態(tài)觀測器控制3種不同的方法分別實(shí)現(xiàn)標(biāo)度變換后的Lorenz混沌系統(tǒng)的同步，并用MATLAB軟件做了仿真實(shí)驗(yàn)。

1 Lorenz方程的標(biāo)度變換

基本Lorenz方程組如下：

(1)

圖1 基本Lorenz混沌系統(tǒng)的奇異吸引子三維相圖

式中：x,y,z是該Lorenz方程的3個(gè)狀態(tài)變量；σ,ρ,β是該Lorenz方程的固定參數(shù)。當(dāng)取參數(shù)為σ=10，ρ=28，β=8/3時(shí)，系統(tǒng)(1)是混沌的。其奇異吸引子三維相圖如圖1所示。

對系統(tǒng)(1)的仿真結(jié)果進(jìn)行分析，觀察運(yùn)行結(jié)果中坐標(biāo)提供的信息，x軸顯示的范圍是0～60，y軸顯示的范圍是-40～40，z軸顯示的范圍是-40～40。若顯示xy和xz的乘積項(xiàng)，則數(shù)值明顯會(huì)更大，如xy的乘積項(xiàng)大約是800，而xz的乘積項(xiàng)大約是900。因此，基本Lorenz方程的數(shù)值解是不便于使用通常電路元件實(shí)現(xiàn)的，或者說，如果把以上數(shù)據(jù)的數(shù)值理解為是電路的電壓的伏特?cái)?shù)，則設(shè)計(jì)必然失敗。對于普通的混沌電路而言，方程(1)中的變量均為某個(gè)運(yùn)算放大器的輸出電壓，因而其變化范圍不能超過電源電壓的數(shù)值。但是，從圖1可以看出，基本Lorenz方程的數(shù)值解的各個(gè)變量的變化范圍很大。因此，系統(tǒng)(1)是不能夠使用通常的電路元器件來實(shí)現(xiàn)的。為了便于利用通常的電路元器件實(shí)現(xiàn)基本方程，在實(shí)際應(yīng)用中，往往需要將基本方程中變量的變化范圍進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。這就需要利用標(biāo)度變換的方法，即對原方程引入新變量：

(2)

以u、v、w表示的Lorenz方程(1)變成

(3)

即得

(4)

利用MATLAB軟件對系統(tǒng)(4)進(jìn)行仿真，得到相圖如圖2所示。由圖2可見，系統(tǒng)(4)中各個(gè)參數(shù)的數(shù)值變化范圍均在-10～+10 V以內(nèi)了。由此說明，經(jīng)過標(biāo)度變換之后的Lorenz混沌系統(tǒng)的各個(gè)變量的變化范圍都沒有超過電源電壓的數(shù)值，故在實(shí)際應(yīng)用中完全符合電路設(shè)計(jì)的要求。

(a) x-y相圖 (b) x-z相圖 (c) y-z相圖圖2 標(biāo)度變換后的Lorenz混沌系統(tǒng)的相圖

2 標(biāo)度變換后的Lorenz混沌系統(tǒng)的同步

所謂同步是指某一系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡收斂于另一系統(tǒng)，并相互保持一致的一種動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。若考慮如下兩個(gè)混沌系統(tǒng)，其中一個(gè)混沌系統(tǒng)為

(5)

則系統(tǒng)(5)稱為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，或者在保密通信中稱為發(fā)射系統(tǒng)。而另一個(gè)混沌系統(tǒng)為

(6)

則系統(tǒng)(6)稱為響應(yīng)系統(tǒng)，或者在保密通信中稱為接收系統(tǒng)。其中，N為任意一個(gè)控制器，t為時(shí)間，矢量X,Y∈Rn，且分別具有n維分量(x1,x2,…,xn)和(y1,y2,…,yn)。另外，以上兩個(gè)混沌系統(tǒng)(5)和(6)既可以是完全相同的，也可以是不相同的M(X,t)=M′(Y,t)，但是這兩個(gè)混沌系統(tǒng)的初始條件都是不相同的。如果假設(shè)這兩個(gè)混沌系統(tǒng)是通過所設(shè)計(jì)的控制器U的某種方式相互聯(lián)系著，令X(t；t0,X0)和Y(t;t0,Y0)分別為系統(tǒng)(5)和(6)的解，并且滿足函數(shù)的光滑條件，則當(dāng)Rn的一個(gè)子集W(t0)存在時(shí)，從而使得初始值滿足X0,Y0∈W(t0)，那么，當(dāng)t→∞時(shí)，如果存在

；t0,X0)-Y(t;t0,Y0)‖→0，

(7)

2.1 主動(dòng)控制同步法

設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為

(8)

當(dāng)a=10，b=28，c=8/3時(shí)，系統(tǒng)是混沌的。則響應(yīng)系統(tǒng)為

(9)

其中u1，u2，u3為控制器。

(10)

構(gòu)造如下控制器：

(11)

將(11)式代入(10)式，可得

(12)

圖3 主動(dòng)控制同步誤差曲線和波形圖

2.2 自適應(yīng)同步法

(13)

參數(shù)自適應(yīng)律為

(14)

將式(13)代入式(10)，得到

(15)

其中a1，b1，c1為待定的控制參數(shù)。令參數(shù)誤差為A=a-a1，B=b-b1，C=c-c1，則同步誤差系統(tǒng)變?yōu)?/p>

(16)

圖4 自適應(yīng)同步誤差曲線和波形圖

2.3 基于狀態(tài)觀測器的混沌同步法

基于狀態(tài)觀測器同步法具有如下優(yōu)點(diǎn)：不需要計(jì)算條件李雅普諾夫指數(shù)，工程上容易實(shí)現(xiàn)，在很大的外部干擾下仍能保持同步。所謂狀態(tài)觀測器[14]，就是一個(gè)在物理上可以實(shí)現(xiàn)且與被觀測系統(tǒng)同階的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，它在被觀測系統(tǒng)輸出信號(這里是可以物理測量到的)的驅(qū)動(dòng)下，實(shí)現(xiàn)所有的狀態(tài)變量或輸出都逼近于被觀測系統(tǒng)的狀態(tài)變量或輸出。同步狀態(tài)觀測器的數(shù)學(xué)定義和設(shè)計(jì)方案如下所述：

若考慮一個(gè)非線性系統(tǒng)為

(17)

式中A∈Rn×n，Bi∈Rn×n(i=1,2,3,…)，f：Rn→Rm(m≤n)，其中fi(x)為非線性映射，Ax為系統(tǒng)的線性部分，Bifi(x)為系統(tǒng)的非線性部分，Bi為系統(tǒng)的常數(shù)矩陣。則式(17)的輸出為

u1i=Kx+fi(x)， (i=1,2,3,…)

(18)

其中K為待定系數(shù)。由式(17)和式(18)組成非線性系統(tǒng)

(19)

根據(jù)控制理論中的狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)方法，可構(gòu)造出式(19)的狀態(tài)觀測器為

(20)

A(y-x)+Bi[fi(y)-fi(x)]-Bi[-Kx-fi(x)+Ky+fi(y)]=

A(y-x)+BiKx-BiKy=Ae-BiKe=

[A-(B1+B2+B3+…)K]e，

(21)

f1(x)=x1x3，f2(x)=x1x2，u11=-Kx-f1(x)，u12=-Kx-f2(x)。

式(20)中的f1(y)=-y1y3，f2(y)=y1y2，u21=Ky+f1(y)，u22=Ky+f2(y)。則響應(yīng)系統(tǒng)為

(22)

故稱系統(tǒng)(22)是系統(tǒng)(8)的一個(gè)狀態(tài)觀測器。用MATLAB及Simulink進(jìn)行仿真，取λ=(-5,-20+i,-20-i)，則K=(1.4692,1.1247,-0.7294)，取驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的初始值為x1(0)=5，x2(0)=3，x3(0)=-1，響應(yīng)系統(tǒng)的初始值為y1(0)=-3，y2(0)=-6，y3(0)=2，同步誤差曲線如圖5所示。從曲線圖可以看出，在短時(shí)間內(nèi)，同步誤差e1、e2、e3就穩(wěn)定到零點(diǎn)，即驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(8)和響應(yīng)系統(tǒng)(22)實(shí)現(xiàn)了狀態(tài)觀測器同步。圖5(d)為達(dá)到同步時(shí)變量x3和y3的波形圖，從圖中可以看出，兩個(gè)混沌系統(tǒng)的波形是相同的，即利用基于狀態(tài)觀測器的同步方法實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的混沌同步。

圖5 基于狀態(tài)觀測器同步誤差曲線和波形圖

3 結(jié) 論

為了滿足實(shí)際應(yīng)用的需求和電路設(shè)計(jì)的要求，本文研究了標(biāo)度變換后的Lorenz混沌系統(tǒng)，將其轉(zhuǎn)換成能夠使用通常電路元器件實(shí)現(xiàn)的混沌系統(tǒng)，然后用主動(dòng)控制法、自適應(yīng)控制法和基于狀態(tài)觀測器控制3種方法分別實(shí)現(xiàn)了標(biāo)度變換后的Lorenz混沌系統(tǒng)的同步。理論分析和仿真結(jié)果都證明了所設(shè)計(jì)的這些同步方案的有效性和可行性，且可以應(yīng)用于混沌保密通信的設(shè)計(jì)，為混沌保密通信的實(shí)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)，具有較高的實(shí)用價(jià)值。另外，將上述同步方法應(yīng)用到基于超混沌系統(tǒng)或復(fù)雜混沌系統(tǒng)的保密通信領(lǐng)域?qū)⑹俏覀兿乱徊窖芯康恼n題。

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