基于MATLAB的一階倒立擺PD控制算法仿真

楊慧瑩 王子辰 邵云龍 王一杰

摘 要：倒立擺系統(tǒng)是一個典型的快速、多變量、非線性、不穩(wěn)定的動態(tài)系統(tǒng)，對于倒立擺的控制研究無論在理論研究上亦或是工業(yè)復(fù)雜控制對象的控制方法上都有深遠(yuǎn)的意義。本文主要研究內(nèi)容是：首先概述倒立擺系統(tǒng)研究的背景及意義；介紹倒立擺組成并對一階倒立擺模型進行建模；研究倒立擺系統(tǒng)的PD控制方式，并設(shè)計出對應(yīng)的控制器，以MATLAB軟件為平臺經(jīng)行模擬仿真實驗并對PD控制效果進行總結(jié)。

關(guān)鍵詞：倒立擺；PD控制算法；MATLAB仿真

1、倒立擺系統(tǒng)研究背景及意義

倒立擺是處于倒置不穩(wěn)定狀態(tài)、通過人為控制使其處于動態(tài)平衡的一種擺，是一個復(fù)雜的快速、非線性、多變量、強禍合、自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，是重心在上、支點在下控制問題的抽象。倒立擺在東漢科學(xué)家張衡于公元年發(fā)明的候風(fēng)地動儀就有體現(xiàn)，其關(guān)鍵機構(gòu)就是一根稱為“都柱”的倒立擺， 頂桿雜技表演的技巧也體現(xiàn)了倒立擺系統(tǒng)的控制策略。

對倒立擺的控制涉及到控制科學(xué)中處理非線性、高階次、強禍合對象的關(guān)鍵技術(shù)，許多現(xiàn)代控制理論的研究人員一直將它視為研究對象。因而倒立擺被譽為“控制領(lǐng)域中的一顆明珠”。通過對倒立擺的研究不僅可以解決控制中的理論問題，還能將控制理論涉及的三個主要基礎(chǔ)學(xué)科—力學(xué)、數(shù)學(xué)和電學(xué)進行有機的綜合應(yīng)用。同時，其控制方法在軍工、航天、機器人和一般工業(yè)過程領(lǐng)域中都有著廣泛的用途，如機器人行走過程中的平衡控制、海上鉆井平臺的穩(wěn)定控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制、太空探測器著陸控制和測量儀器展開穩(wěn)定控制等。因此，倒立擺提供一個從控制理論通往實踐的橋梁。

2、一階倒立擺的數(shù)學(xué)模型

圖1一階倒立擺系統(tǒng)的原理圖。若不給小車施加控制力，倒擺會向左或向右傾斜，控制的目的是當(dāng)?shù)箶[出現(xiàn)偏角時，在水平方向上給小車以作用力，通過小車的水平運動，使倒擺保持在垂直的位置。即控制系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)，以保持?jǐn)[的倒立穩(wěn)定。

為了建立倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，先作如下假設(shè)：倒立擺與擺桿均為勻質(zhì)剛體；忽略倒立擺運動過程中的摩擦及空氣阻力。圖1所示系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)定義如下：M小車質(zhì)量、m擺桿質(zhì)量、b小車摩擦系數(shù)、l擺桿轉(zhuǎn)動中心到桿質(zhì)心的距離、x小車位置、θ擺桿與垂直向上方向的夾角、 擺桿與垂直向上方向的夾角。對小車和擺桿進行受力分析， 可以得到該系統(tǒng)的兩個方程：

3、PD控制及MATLAB仿真

直線一級倒立擺的輸出量主要考慮兩個，即擺桿的角度和小車的位置。因此要設(shè)計合適的控制器對擺桿的角度和小車的位置進行控制。本文所用參數(shù)為M = 0.5；m = 0.2；b = 0.1；I = 0.006；g = 9.8；l = 0.3，均為國際單位制。

從一階倒立擺傳遞函數(shù)模型中不難看出， 該系統(tǒng)因為含有不穩(wěn)定的零極點， 所以是一個“自不穩(wěn)定的非最小相位系統(tǒng)”。由于一階倒立擺系統(tǒng)位置伺服控制的核心是“在保證擺桿不倒的條件下， 使小車位置可控”。因此， 依據(jù)負(fù)反饋閉環(huán)控制原理， 可將系統(tǒng)小車位置作為外環(huán)， 而將擺桿擺角作為內(nèi)環(huán)， 擺角作為外環(huán)內(nèi)的一個擾動， 則可得到閉環(huán)系統(tǒng)的有效抑制。綜上所述， 一階倒立擺控制系統(tǒng)可按如圖2所示進行設(shè)計。

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