具有年齡結構隨機種群系統(tǒng)數(shù)值解的漸近有界性

辛志賢張啟敏李 強哈金才

(1.北方民族大學數(shù)學與信息科學學院,寧夏銀川 750021)

(2.寧夏大學數(shù)學統(tǒng)計學院,寧夏銀川 750021)

1 引言

隨機微分方程被廣泛應用于工程、生物、金融等領域[1?6],隨機種群系統(tǒng)也引起了許多學者關注.本文研究如下具有年齡結構的隨機種群系統(tǒng)模型[7]

其中Q=(0,T)×(0,A),A是種群所能達到的最大年齡,表示t時刻年齡為a的種群密度;β(t,a)表示t時刻年齡為a的種群的出生率;μ(t,a)表示t時刻年齡為a的種群的死亡率;f(t,P)是外界環(huán)境的干擾,如遷移、地震、海嘯等突發(fā)性災害對種群的影響;g(t,P)dB(t)表示隨機外界環(huán)境對系統(tǒng)的干擾;B(t)是定義在概率空間(?,Ft,P)上的Brown運動.

模型(1.1)考慮了隨機環(huán)境對系統(tǒng)的擾動影響,更符合種群模型的實際意義.由于隨機種群模型的解析解很難給出,因此數(shù)值解的計算顯得尤為重要,并且在近幾年,隨機種群模型數(shù)值解的研究取得了很多成果.文獻[8]研究了帶跳的具有年齡結構的隨機種群系統(tǒng)數(shù)值解的穩(wěn)定性,討論了帶有Markovian轉換的與年齡相關的隨機種群系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性[9];文獻[10]針對與年齡相關的隨機種群擴散系統(tǒng),討論了其數(shù)值解的指數(shù)穩(wěn)定性.然而上述文獻中,均是對隨機種群模型數(shù)值解的穩(wěn)定性進行了研究,但數(shù)值解的另一個性質漸近有界性同樣具有重要的研究價值[11].本文利用EM方法研究具有年齡結構的隨機種群系統(tǒng)的漸近有界性,在線性增長條件下,建立p階矩漸近有界性準則.最后,通過數(shù)值算例對所得的結論進行了驗證.

2 預備知識

令V=H1([0,A])其中是廣義函數(shù)意義下的偏導數(shù);V是Sobolev空間;H=L2([0,A]),滿足是V的對偶空間;|·|和‖·‖分別為V,V′的范數(shù);〈·,·〉表示V與V′空間的內積[10].

定義(?,F,{Ft}t≥0,P)是帶流的單調遞增完備的概率空間,F0包含所有的P零子集,B(t)是定義在概率空間(?,FtP)上的Brown運動.a∨b表示a和b的最大值,a∧b表示a和b的最小值.

定義2.1在概率空間(?,F,P)上的一個帶流F的隨機過程Pt被稱為方程(1.1)的解,如果滿足下列條件

(1)Pt∈I2(0,T;V)∩L2(?;(0,T;H)),其中I2(0,T;V)為所有均方可測的 (Pt)t∈[0,T]組成的空間,滿足

(2)對于任意的t∈[0,T],在概率空間V′上下列方程幾乎處處成立,

為了證明文中的結論,給出以下假設條件

(A1)方程(1.1)中f(t,P),g(t,P),滿足線性增長條件,即

其中K和α均為正常數(shù).

(A2)μ(t,a),β(t,a)在Q上是連續(xù)的且存在正常數(shù)μ0,ˉμ,ˉβ,滿足

(A3)存在正常數(shù)D,使得對于任意P∈V,

其中λ是正常數(shù),Qi(|P|)是|P|的i次多項式.

3 EM方法

本節(jié)將利用EM方法研究具有年齡結構的隨機種群系統(tǒng)的漸近有界性,并建立p階矩漸近有界性準則.

首先使用EM差分方法對方程(1.1)進行離散,可得

下面給出本文的主要定理.

定理3.1 如果條件(A1)–(A3)成立,那么對于任意的ε∈(0,λ),都存在常數(shù)p?∈(0,1)和△t?∈(0,1)使得?p∈(0,p?)和?△t∈(0,△t?),方程(3.1)的EM解滿足

其中C2′′是與K、α、D和p有關,與P0無關的常正數(shù).

證 由EM差分格式(3.1)可得

則對于常數(shù)D,有

令

那么對于任意的p∈(0,1),滿足

由基本不等式

顯然,ξk＞?1,由基本不等式可得

對(3.7)式兩邊同時取條件期望,有

因為△Bk與Fk△t獨立,所以 E(△Bk|Fk△t)=E(△Bk)=0,E((△Bk)2|Fk△t)=E((△Bk)2)=△t,因此

類似的,可得

其中C11,C21,C31,C12,C22,C32,均為正常數(shù);C11,C21,C31與K有關;C12,C22,C32與α有關.現(xiàn)在考慮下面兩個分數(shù)

當0＜p＜1時,兩個分數(shù)的分子中|Pk|的次數(shù)分別為p+1次和p+3次,均小于對應分數(shù)分母中|Pk|的次數(shù).所以對于任意的|Pk|∈R,兩個分數(shù)都存在上界.同時,當i,j=1,2,3時,顯然也有界.把(3.9)–(3.11)式代入(3.8)式,并且根據假設 (A1)–(A3)和 (3.12)式,可以得到

(1)藥物治療依從性:也就是遵醫(yī)行為,采用評價高血壓患者服藥依從的4個問題來確定:當您服藥自覺癥狀更壞時,是否曾停藥?是否有時不注意服藥?是否有忘記服藥的經歷?當您自覺癥狀改善時,是否曾停藥?4個問題回答均為“否”即為依從性佳。(2)觀察治療前后兩組收縮壓與舒張壓變化情況。

其中C1′,C1′′是與K和p有關的正常數(shù),C2′,C2′′是與K,α,D和p有關的正常數(shù).對于任意給定的ε∈(0,λ),取充分小的p?∈(0,1)使得p?K＜ε,同時取充分小的△t?∈(0,1)使得則對于任意的p∈(0,p?)和△t∈(0,△t?),有

兩邊同時取期望,可得

通過迭代,易知

又因為E(|Pk|p)≤E((D+|Pk|2)p/2),所以

令k→∞,則

定理得證.

4 數(shù)值算例

本節(jié)通過以下例子對定理進行驗證

B(t)是標準布朗運動,g(t,P)=0.125+0.25P.顯然f(t,P),g(t,P)均滿足線性增長條件,同時,所以假設條件(A2)也成立.

下面證明假設條件(A3)中D的存在性并給出D的選取過程.

記f(tk,Pk)=θ1+θ2Pk,g(tk,Pk)=σ1+σ2Pk,則對于假設條件(A3)有

因此取

所以假設條件(A3)成立,即常數(shù)D存在并且

最后根據定理1的證明過程(3.4)–(3.18)式得到P(t,a)漸近有界.

取時間步長Δt=0.01,空間步長h=0.05,采用EM方法對方程進行差分離散,分別作出該算例數(shù)值解的二維圖(圖1)和三維圖(圖2).由圖可知當時間趨于無窮時,該種群系統(tǒng)的種群密度上下波動,并存在一個上界,顯然,此種群系統(tǒng)漸近有界.

圖2:P(t,a)數(shù)值解的二維軌跡

5 結論

本文基于EM方法研究了一類具有年齡結構的隨機種群系統(tǒng)的數(shù)值解的p階矩漸近有界性.在線性增長條件下,利用基本不等式建立了漸近有界性準則.所得結論為種群的最優(yōu)控制提供了有效的工具.

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