基于精確響應(yīng)控制的子陣波束賦形算法

彭偉來(lái),張學(xué)敬,張 煒,何子述

(1.電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院,四川成都611731;2.電子信息控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川成都610036)

0 引言

陣列信號(hào)處理作為信號(hào)處理的一個(gè)重要分支,具有波束控制靈活、信號(hào)增益高、抗干擾能力強(qiáng)和空間分辨能力高等優(yōu)點(diǎn)[1]。而波束賦形是陣列信號(hào)處理的一個(gè)重要研究方向,其研究廣泛應(yīng)用于無(wú)線通信、聲吶、雷達(dá)和麥克風(fēng)語(yǔ)音陣列處理等領(lǐng)域[2-9]。經(jīng)過多年研究,學(xué)者們提出了許多波束賦形算法。道爾夫-切比雪夫方法可在主瓣寬度確定的情況下來(lái)獲得最低的旁瓣電平,但該算法只適用于均勻陣列[10]。對(duì)于非均勻任意陣列,遺傳算法[11]、粒子群算法[12]、模擬退火算法[13]等全局優(yōu)化變量的算法被提出來(lái)。然而,由于這類算法的計(jì)算復(fù)雜度較高、耗時(shí)間較長(zhǎng),使得在實(shí)際工程中無(wú)法得到廣泛應(yīng)用。另外,隨著凸優(yōu)化理論的發(fā)展,利用凸優(yōu)化工具實(shí)現(xiàn)波束賦形的方案被廣泛采用并取得了一定成果。如二階規(guī)劃法和半正定規(guī)劃算法[14],可以解決陣列帶來(lái)的不確定性,具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性。但上述算法均無(wú)法實(shí)現(xiàn)波束響應(yīng)的靈活控制,針對(duì)此問題,文獻(xiàn)[15]提出一種基于自適應(yīng)理論的精確陣列響應(yīng)控制(Accurate Array Response Control,A2RC)算法。該算法簡(jiǎn)單靈活,可以實(shí)現(xiàn)任意角度的精確響應(yīng)控制以及任意形狀的波束賦形。

盡管如此,上述算法需要在各個(gè)陣元上施加移相器,無(wú)法應(yīng)用于分子陣的陣列。實(shí)際上,對(duì)于大型相控陣,由于物理體積和成本因素不可能在每一陣列單元均采用延時(shí)器,故通常都采用子陣劃分的方法實(shí)現(xiàn)陣列饋電,這不僅使得整個(gè)天線陣列的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本降低,而且陣列的方向特性又能得到保證[16]。

子陣劃分后對(duì)子陣級(jí)數(shù)字波束的研究目前主要在于子陣級(jí)波束形成,對(duì)波束指向及多波束比較關(guān)注,大多基于粒子群和基因遺傳等復(fù)雜算法[17-18]。對(duì)如何控制子陣級(jí)波束旁瓣響應(yīng)的研究較少,針對(duì)該問題,本文考慮均勻劃分子陣結(jié)構(gòu)陣列,提出了一種基于A2RC的子陣波束賦形方法。該算法通過使用A2RC算法設(shè)計(jì)能夠滿足子陣級(jí)期望歸一化方向圖的子陣級(jí)最優(yōu)權(quán)向量,使輸出的子陣方向圖能夠滿足給定的輸出期望方向圖,達(dá)到精確控制劃分子陣后陣列輸出波束的陣列響應(yīng)值的目的。所提算法能夠精確控制子陣劃分的輸出波束陣列響應(yīng)值,滿足多種波束設(shè)計(jì)要求,具有通用性及簡(jiǎn)單靈活性,可用于解決實(shí)際工程中的對(duì)子陣的波束賦形問題。

1 子陣劃分模型

假設(shè)均勻線陣陣元個(gè)數(shù)為M,陣元間距為d,則其陣元級(jí)導(dǎo)向矢量a(θ)為

式中,?=2πdsinθ/λ為陣元間的空間相位差。

由于大型相控陣中陣元通道數(shù)多,進(jìn)行陣元級(jí)通道處理成本較高,且物理硬件上也較難實(shí)現(xiàn),實(shí)際工程應(yīng)用中通常需要進(jìn)行子陣劃分。考慮較簡(jiǎn)單常用的均勻劃分形式,若將均勻線陣均勻劃分為L(zhǎng)個(gè)子陣,第l個(gè)子陣包含Nl個(gè)陣元,其示意圖如圖1所示。圖中,表示對(duì)子陣的子陣級(jí)加權(quán),(·)?表示對(duì)括號(hào)內(nèi)容取共軛。將均勻線陣劃分為子陣的變換矩陣,為L(zhǎng)×M維矩陣:

圖1 均勻劃分子陣結(jié)構(gòu)

變換矩陣中元素tij取值非0即1,每一行代表一個(gè)子陣,每行中的非零值個(gè)數(shù)代表子陣所包含陣元個(gè)數(shù)。假設(shè)波束指向?yàn)棣?時(shí),其中子陣變換矩陣應(yīng)包含陣元級(jí)的移相器加權(quán)?ele(θ0),目的是為了使波束指向期望的波束方向θ0。包含了子陣劃分效果和陣元級(jí)移相器加權(quán)效果的變換矩陣為

式中,diag(·)為對(duì)角化運(yùn)算符,wele為陣元級(jí)加權(quán)。信號(hào)波長(zhǎng)為λ時(shí),其表達(dá)式為

子陣級(jí)加權(quán)為wsub=[w0w1…wL-1]T,其中[·]T表示轉(zhuǎn)置。子陣級(jí)導(dǎo)向矢量asub(θ)可由陣元級(jí)導(dǎo)向矢量a(θ)變換得到:

則對(duì)應(yīng)劃分子陣后輸出的子陣方向圖可表示為

式中,(·)H為共軛轉(zhuǎn)置符號(hào)。那么基于子陣的波束賦形問題即是通過設(shè)計(jì)合適的子陣級(jí)權(quán)向量wsub使得輸出的子陣方向圖滿足特定要求。接下來(lái)將提出一種子陣級(jí)的波束賦形方法來(lái)解決此問題。

2 子陣A 2 RC波束賦形

由第1節(jié)可知,對(duì)于均勻劃分的子陣,只要設(shè)計(jì)出合適的子陣級(jí)的權(quán)向量即可實(shí)現(xiàn)對(duì)子陣結(jié)構(gòu)陣列的子陣級(jí)波束賦形。為了達(dá)到這個(gè)目的,本文借助A2RC算法[15]對(duì)輸出的子陣方向圖進(jìn)行精確方向圖控制。本節(jié)先對(duì)A2RC算法進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹,然后再闡述基于A2RC的子陣級(jí)波束賦形算法。

2.1 A2 RC算法

由陣列自適應(yīng)理論可知,在最大化信干噪比(SINR)情況下的最優(yōu)權(quán)向量為

式中,α為與SINR無(wú)關(guān)的因子,為噪聲加干擾協(xié)方差矩陣?？紤]單個(gè)干擾以及白噪聲的情況,Rn+i可以表示為

式中,a(θ0)和a(θi)分別為信號(hào)和干擾導(dǎo)向矢量,分別為干擾和噪聲功率。

將式(8)代入式(7),并結(jié)合矩陣求逆引理,可得

式中,‖·‖2表示歐幾里得范數(shù)為一個(gè)常數(shù),可忽略不計(jì)。由此,最優(yōu)權(quán)向量可簡(jiǎn)化為下面形式:

式中,w0定義為初始權(quán)向量,為

而其中μ是一個(gè)復(fù)數(shù),推出為

對(duì)于在陣列波束賦形時(shí)需要控制多個(gè)方向角度的陣列響應(yīng),權(quán)向量對(duì)每個(gè)角度都需要迭代更新,其更新迭代表達(dá)式為

式中,wk-1為第k-1步最優(yōu)權(quán)向量,θk為第k步需要控制響應(yīng)的角度。定義歸一化響應(yīng)為

要使第k個(gè)角度θk的響應(yīng)為期望值ρk,即

滿足式(15)的復(fù)數(shù)μk在復(fù)數(shù)平面上的軌跡為以cμ為圓心、以rμ為半徑的圓,如圖2所示。圖中,cμ與rμ皆由a(θ0),a(θk),wk-1和ρk確定。文獻(xiàn)[15]證明了為使方向圖偏差最小,取μk的模值

圖2 μk在復(fù)平面分布

最小時(shí),也即是最優(yōu)的取值為

定義g(v)=v(1)+jv(2)表示將2×1維的向量第一、第二項(xiàng)表示分別為對(duì)應(yīng)為實(shí)部和虛部的復(fù)數(shù)。式(16)中:

式中,Qk(i,j)表示矩陣Qk第i行、第j列對(duì)應(yīng)的元素。Qk可由將式(14)代入式(15)后,即得到式(19)計(jì)算:

至此,所求的第k步時(shí),使歸一化響應(yīng)波束方向圖的角度θk響應(yīng)值為ρk的最優(yōu)權(quán)向量為

由式(26)求出的最優(yōu)權(quán)向量即可精確控制陣列響應(yīng)。

從上述分析可知,A2RC算法能夠精確控制任意角度方向的陣列響應(yīng),算法簡(jiǎn)單且具有較強(qiáng)靈活性。下面將闡述借助A2RC算法來(lái)實(shí)現(xiàn)子陣的波束賦形的算法。

2.2 子陣A2 RC波束賦形原理

基于子陣的波束賦形問題是通過設(shè)計(jì)合適的子陣級(jí)權(quán)向量wsub來(lái)使得劃分子陣后輸出的方向圖能夠滿足給定的期望的方向圖。本文考慮均勻劃分的均勻線陣,其模型結(jié)構(gòu)如圖1所示。將均勻線陣均勻劃分為L(zhǎng)個(gè)子陣,則第l個(gè)子陣包含Nl個(gè)陣元。子陣陣列中單個(gè)子陣正好是一個(gè)陣元間隔為半波長(zhǎng)的均勻線陣,其導(dǎo)向矢量為

當(dāng)波束指向?yàn)棣?時(shí),單個(gè)子陣的靜態(tài)權(quán)向量為

由此可以定義單個(gè)子陣的陣元的靜態(tài)歸一化方向圖:

陣列劃分為子陣后的通道陣列也是一個(gè)陣元間隔為Nl個(gè)半波長(zhǎng)的均勻線陣,用此通道陣列直接接收信號(hào)時(shí)的導(dǎo)向矢量為

同樣地,波束指向?yàn)棣?時(shí),陣列的靜態(tài)權(quán)向量為

定義此通道陣列的歸一化方向圖為

從整個(gè)陣列劃分子陣來(lái)看,L個(gè)單一子陣接收信號(hào)疊加后,再經(jīng)L個(gè)子陣級(jí)的權(quán)向量加權(quán),最終得到陣列輸出。在這里,令子陣輸出的歸一化方向圖為

由第1節(jié)可知,子陣級(jí)導(dǎo)向矢量asub(θ)可由下式得出:

而其中:

為陣元級(jí)陣元導(dǎo)向矢量。將T0,wele,a(θ)代入式(34)中可得

由矩陣?yán)碚摽芍?diag(wele2)(diag(wele2))H=EL×L,EL×L為L(zhǎng)×L維單位矩陣;又由wele1,b1(θ)分別為單個(gè)子陣中陣元靜態(tài)權(quán)向量、導(dǎo)向矢量,此兩項(xiàng)內(nèi)積亦為一個(gè)復(fù)數(shù)。將式(36)代入式(33)中,可得

由式(37)可以看出,子陣輸出歸一化方向圖可由單個(gè)子陣中陣元的歸一化方向圖和子陣級(jí)的歸一化方向圖表示。只要選擇合適的子陣級(jí)權(quán)向量就可以得到劃分子陣后輸出歸一化方向圖。

通過合適的子陣劃分,式(37)中左邊項(xiàng)為給定的陣列輸出期望歸一化方向圖Ldes(θ);右邊第一項(xiàng)L0(θ)由劃分子陣結(jié)構(gòu)確定的單個(gè)子陣的靜態(tài)方向圖,且為已知;右邊第二項(xiàng)為可求項(xiàng),求出的為子陣級(jí)期望歸一化方向圖,記作Lsub-des(θ)。將子陣級(jí)靜態(tài)方向圖調(diào)整到能夠滿足式(32)確定的Lsub-des(θ)即可在輸出端得到滿足給定的期望歸一化方向圖,即把在輸出端得到歸一化期望方向圖轉(zhuǎn)化為求滿足子陣級(jí)歸一化期望方向圖的子陣級(jí)權(quán)向量的問題。而子陣級(jí)靜態(tài)歸一化方向圖由式(38)給定:

在第k步中,從中判斷出第k次需要控制的角度及其對(duì)應(yīng)的期望響應(yīng)值ρk。則其角度對(duì)應(yīng)的子陣級(jí)導(dǎo)向矢量為

式中,?k=2πdsinθk/λ。利用式(16)可以確定μk,?,進(jìn)而可求出第k次最優(yōu)權(quán)向量:

均勻線陣均勻的劃分子陣后,對(duì)子陣輸出波束賦形,只需通過A2RC算法設(shè)計(jì)出能夠滿足子陣級(jí)期望歸一化波束方向圖的子陣級(jí)權(quán)向量wsub即可。表1為子陣級(jí)A2RC算法主要步驟。

表1 子陣級(jí)A2 RC波束賦形算法步驟

3 仿真

本節(jié)對(duì)所提算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證,首先針對(duì)均勻旁瓣賦形問題,設(shè)計(jì)了一個(gè)旁瓣均勻的輸出期望歸一化方向圖,通過使用所提算法使輸出歸一化方向圖滿足了期望要求,簡(jiǎn)述了算法仿真過程,驗(yàn)證了所提算法的有效性。另外,為了說(shuō)明所提算法的通用性,考慮了非均勻旁瓣的賦形。

實(shí)驗(yàn)一:子陣級(jí)A2RC算法原理仿真

假設(shè)陣列為均勻線陣,其陣元個(gè)數(shù)為60,陣元間距為0.5λ,λ為信號(hào)波長(zhǎng);將此均勻線陣均勻不重疊的劃分為15個(gè)子陣,則每個(gè)子陣包含陣元個(gè)數(shù)為4;波束指向?yàn)?,其歸一化期望方向圖的副瓣為均勻副瓣,且不超過-30 d B;初始權(quán)向量為b2(θ0)。圖3給出了子陣級(jí)A2RC算法過程。

首先,從輸出歸一化期望方向圖和劃分的單個(gè)子陣歸一化靜態(tài)方向圖求出子陣級(jí)的歸一化期望方向圖,如圖3(a)所示。

然后,開始進(jìn)入A2RC算法迭代求解合適的子陣級(jí)權(quán)向量過程。第1步迭代為從子陣級(jí)靜態(tài)方向圖中旁瓣值選出高出子陣級(jí)歸一化期望方向圖最大的對(duì)應(yīng)角度值,假設(shè)其為θ1,在此實(shí)驗(yàn)中θ1=-2.7°。從圖3(b)中可以看出,處理的方向圖在角度θ1的響應(yīng)值等于子陣歸一化期望方向圖對(duì)應(yīng)值。第2步迭代為從上一步中得到的處理的方向圖中找到比子陣級(jí)歸一化期望方向圖高的最大旁瓣值所對(duì)應(yīng)的角度值,設(shè)其為θ2,此步中θ2=2.8°。從圖3(c)中可以看出,在此次處理后的方向圖所選中角度處的旁瓣值正好為子陣歸一化期望方向圖對(duì)應(yīng)角度的旁瓣幅度值。經(jīng)過10步迭代后,方向圖的原本高旁瓣都相對(duì)趨于子陣歸一化期望方向圖旁瓣水平,如圖3(d)所示;經(jīng)過45步迭代后處理的方向圖所有旁瓣均不高于子陣歸一化期望方向圖,達(dá)到了較好的效果,如圖3(e)所示。

最后,由處理的子陣級(jí)歸一化方向圖和單個(gè)子陣方向圖即可求得最后輸出方向圖,如圖3(f)所示。

圖3 子陣A2 RC算法仿真過程

實(shí)驗(yàn)二:非均勻旁瓣控制

假設(shè)陣列均勻線陣,其陣元個(gè)數(shù)為64,陣元間距為0.5λ,λ為信號(hào)波長(zhǎng);將此均勻線陣均勻不重疊地劃分為16個(gè)子陣,則每個(gè)子陣包含4個(gè)陣元;波束指向?yàn)?0°;其歸一化期望方向圖的旁瓣為非均勻旁瓣,在15°～25°之間副瓣不超過-35 d B,旁瓣其他位置不超過-30 dB;初始權(quán)向量為b2(θ0)。則其經(jīng)過子陣A2RC算法波束賦形后,其效果如圖4所示。

從圖4可以看出,在隨機(jī)取得波束指向θ0=10°下,非均勻旁瓣在15°～25°角度范圍內(nèi),其旁瓣幅度值仍然低于期望值,整個(gè)波束方向圖能夠滿足給定的期望方向圖。本文所提算法在不同波束指向情況下能夠有效地控制旁瓣,并且可以滿足隨意設(shè)計(jì)的非均勻旁瓣,能夠適用不同需求的波束賦形,具有一定的通用性。

圖4 非均勻旁瓣賦形

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于A2RC算法提出了一種可以應(yīng)用于均勻劃分子陣的波束賦形方法。該算法把在輸出端設(shè)計(jì)合適權(quán)向量滿足輸出歸一化期望方向圖問題轉(zhuǎn)化為求取滿足子陣級(jí)歸一化期望方向圖的子陣級(jí)權(quán)向量的問題,借助精確控制陣列響應(yīng)算法,精確控制子陣級(jí)方向圖來(lái)達(dá)到子陣級(jí)期望方向圖,最終達(dá)到子陣輸出波束賦形目的。本文所提算法能夠在任意波束指向下控制陣列響應(yīng),以滿足多種復(fù)雜旁瓣的期望波束,具有廣泛通用性。亦彌補(bǔ)了對(duì)均勻劃分子陣波束賦形的空白,因均勻劃分子陣減少了通道數(shù),此算法具有較高工程應(yīng)用價(jià)值。

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